La th??orie des nombres

Renseignements g??n??raux

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La th??orie des nombres est la branche de math??matiques pures concern??es avec les propri??t??s des nombres en g??n??ral, et des entiers en particulier, ainsi que les classes plus larges de probl??mes qui d??coulent de leur ??tude.

La th??orie des nombres peut ??tre subdivis?? en plusieurs champs, selon les m??thodes utilis??es et le type de questions ??tudi??es. (Voir la liste de sujets de la th??orie des nombres.)

Le terme ?? arithm??tique ??est ??galement utilis?? pour faire r??f??rence ?? la th??orie des nombres. Ce est un terme un peu plus ??g??s, qui ne est plus aussi populaire qu'elle l'??tait autrefois. La th??orie des nombres que l'on appelait l'arithm??tique plus ??lev??e, mais cela aussi est en baisse hors d'usage. N??anmoins, il appara??t toujours dans les noms de domaines des math??matiques ( fonctions arithm??tiques, arithm??tique des courbes elliptiques, th??or??me fondamental de l'arithm??tique ). Ce sens de l'arithm??tique terme ne doit pas ??tre confondue soit avec l'arithm??tique ??l??mentaire , ou avec la branche de la logique dont les ??tudes Peano comme syst??me formel. math??maticiens travaillant dans le domaine de la th??orie des nombres sont appel??s th??oriciens des nombres.

Lorsque vous organisez les nombres naturels dans une spirale et en insistant sur les nombres premiers, un mod??le enti??rement expliqu?? intrigante et non est observ??e, appel??e Spirale d'Ulam.

Les champs

Th??orie ??l??mentaire des nombres

En th??orie ??l??mentaire des nombres, entiers sont ??tudi??es sans l'utilisation de techniques d'autres domaines math??matiques. Questions de la divisibilit?? , utilisent de la Algorithme d'Euclide pour calculer plus grands communs diviseurs , factorisations entier en nombres premiers , enqu??te sur les nombres parfaits et congruences appartiennent ici. Plusieurs d??couvertes importantes de ce domaine sont Le petit th??or??me de Fermat, Le th??or??me d'Euler, le Th??or??me du reste chinois et la loi de r??ciprocit?? quadratique. Les propri??t??s de fonctions multiplicatives comme le Fonction de M??bius et La fonction φ d'Euler, s??quences enti??res, factorielles , et les nombres de Fibonacci tous entrent ??galement dans ce domaine.

Beaucoup de questions en th??orie des nombres peuvent ??tre exprim??s en termes de th??orie des nombres ??l??mentaires, mais ils peuvent exiger une attention tr??s profond et de nouvelles approches en dehors du domaine de la th??orie ??l??mentaire des nombres ?? r??soudre. Les exemples incluent:

La conjecture de Goldbach concernant l'expression de nombres pairs comme somme de deux nombres premiers.
Th??or??me de Catalan (maintenant Le th??or??me de Mihailescu) concernant les pouvoirs entiers successifs.
Le conjecture des nombres premiers jumeaux ?? propos de l'infinitude de paires premiers.
Le Collatz conjectures concernant une it??ration simple.
Le dernier th??or??me de Fermat (d??clar?? en 1637, mais pas prouv?? jusqu'en 1994) concernant l'impossibilit?? de trouver entiers non nuls x, y, z tels que $x ^ n ^ n + y = z ^ n$ pour un entier n sup??rieur ?? 2.

La th??orie de la ??quations diophantiennes a m??me ??t?? montr?? pour ??tre ind??cidable (voir Dixi??me probl??me de Hilbert).

Th??orie analytique des nombres

Th??orie analytique des nombres emploie le m??canisme de calcul et analyse complexe de se attaquer ?? des questions sur des nombres entiers. Le th??or??me des nombres premiers (VCN) et la connexes Hypoth??se de Riemann sont des exemples. Le probl??me de Waring (repr??sentant un nombre entier donn?? comme une somme de carr??s, cubes, etc.), la conjecture des nombres premiers jumeaux (trouver une infinit?? de paires de premier choix avec la diff??rence 2) et la conjecture de Goldbach (??crit entiers pairs comme somme de deux nombres premiers) sont attaqu??s avec des m??thodes analytiques ainsi. Les preuves de la transcendance de constantes math??matiques, comme π ou e, sont ??galement class??s comme la th??orie analytique des nombres. Alors que des d??clarations sur nombres transcendants peuvent sembler ??tre retir?? de l'??tude des nombres entiers, ils ??tudient vraiment les valeurs possibles de polyn??mes ?? coefficients entiers ??valu??s ??, disons, e; ils sont aussi ??troitement li??es au domaine de la Approximation diophantienne, o?? on ??tudie ??comment bien" un nombre r??el donn?? peut ??tre approch??e par une rationnelle une.

Th??orie alg??brique des nombres

En th??orie alg??brique des nombres, le concept d'un certain nombre est ??tendu au nombres alg??briques qui sont racines de polyn??mes ?? rationnels coefficients. Ces domaines contiennent des ??l??ments analogues ?? des nombres entiers, ce que l'on appelle entiers alg??briques. Dans ce cadre, les caract??ristiques famili??res des nombres entiers (par exemple de factorisation uniques) ne sont pas tenus. La vertu de la machinerie employed- th??orie de Galois , cohomologie des groupes, la th??orie du corps de classes, repr??sentations de groupe et L-fonctions est qu'elle permet de r??cup??rer cet ordre en partie pour cette nouvelle classe de nombres.

Beaucoup nombre des questions th??oriques sont mieux attaqu??s par les ??tudiant modulo p pour tous les nombres premiers p (voir corps finis). Ceci est appel?? la localisation et elle conduit ?? la construction de la nombres p-adiques; ce domaine d'??tude est appel?? analyse locale et il d??coule de la th??orie alg??brique des nombres.

La th??orie des nombres g??om??trique

La th??orie des nombres g??om??trique (traditionnellement appel?? le g??om??trie des nombres) int??gre certains concepts g??om??triques de base, tels que les r??seaux, dans les questions num??riques th??orie. Il commence par Le th??or??me de Minkowski points de r??seau dans convexe fixe, et conduit ?? des ??preuves de base du caract??re fini du num??ro de classe et Unit?? th??or??me de Dirichlet, deux th??or??mes fondamentaux en th??orie alg??brique des nombres.

La th??orie des nombres combinatoire

Combinatoires th??orie des nombres traite de nombre th??orique probl??mes qui impliquent combinatoires id??es dans leurs formulations ou solutions. Paul Erdős est le principal fondateur de cette branche de la th??orie des nombres. Sujets typiques incluent Syst??me de rev??tement, probl??mes ?? somme nulle, divers sumsets restreintes, et progressions arithm??tiques dans un ensemble de nombres entiers. M??thodes alg??briques ou analytiques sont puissants dans ce domaine.

Th??orie algorithmique des nombres

Th??orie algorithmique des nombres ??tudie algorithmes pertinents en th??orie des nombres. Algorithmes rapides pour Premier test et factorisation d'entiers ont des applications importantes dans la cryptographie .

Histoire

La th??orie des nombres v??dique

Math??maticiens dans l'Inde se sont int??ress??s ?? trouver des solutions int??grales de ??quations diophantiennes depuis le ??poque v??dique. L'utilisation g??om??trique premi??re des ??quations diophantiennes peut ??tre retrac??e ?? la Sulba soutras, qui ont ??t?? ??crit entre le 8e et 6e si??cles avant JC. Baudhayana (c. 800 BC) a trouv?? deux ensembles de solutions int??grales positifs ?? un ensemble d'??quations diophantiennes simultan??es, et ??galement utilis?? des ??quations diophantiennes simultan??es avec jusqu'?? quatre inconnues. Apastamba (c. 600 BC) utilis?? ??quations diophantiennes simultan??es avec jusqu'?? cinq inconnues.

La th??orie des nombres Jaina

En Inde, Jaina math??maticiens ont d??velopp?? la th??orie syst??matique premi??re des num??ros ?? partir du 4??me si??cle avant JC au 2??me si??cle de notre ??re. (C. 400 BC) Le texte Jaina Surya Prajinapti classe tous les num??ros en trois ensembles: ??num??rables, innombrables et infinis. Chacun de ces a ??t?? subdivis??e en trois ordres:

Enumerable moins, interm??diaire et ??lev??.
Innombrables: presque innombrables, vraiment innombrables et innombrablement innombrables.
Infini: presque infinie, v??ritablement infini, infiniment infinie.

Les ja??ns ont ??t?? les premiers ?? rejeter l'id??e que tous les infinis ??taient les m??mes ou ??gal. Ils ont reconnu cinq types diff??rents de l'infini: infinies dans une et deux directions (une dimension), infinie dans la zone (deux dimensions), infini partout (trois dimensions), et infini perp??tuellement (nombre infini de dimensions).

Le plus d??nombrable nombre N de la ja??ns correspond au concept moderne de aleph-null $\ Aleph_0$ (Le nombre cardinal de l'ensemble infini de nombres entiers 1, 2, ...), le plus petit cardinal Num??ro transfinite. Le ja??ns ??galement d??fini tout un syst??me de nombres cardinaux transfinis, dont $\ Aleph_0$ est la plus petite.

Dans le travail Jaina sur la th??orie des ensembles , deux types de base de nombres transfinis sont distingu??s. Sur la fois physique et motifs ontologiques, une distinction a ??t?? faite entre asmkhyata et ananata, entre infinis rigide born??es et vaguement born??es.

La th??orie des nombres grec

La th??orie des nombres ??tait une ??tude pr??f??r??e parmi les Math??maticiens grecs de l'??poque hell??nistique tardive (3e si??cle) ?? Alexandrie , en Egypte , qui ??taient au courant de la Concept de l'??quation diophantienne dans de nombreux cas particuliers. Le premier math??maticien grec pour ??tudier ces ??quations ??tait Diophante.

Diophante aussi regard?? une m??thode de trouver des solutions enti??res de lin??aire ??quations ind??termin??es, des ??quations qui ne ont pas suffisamment d'informations pour produire un seul ensemble discret de r??ponses. L'??quation $x + y = 5$ est une telle ??quation. Diophante d??couvert que de nombreuses ??quations ind??termin??es peuvent ??tre r??duites ?? une forme o?? une certaine cat??gorie de r??ponses est connu m??me si une r??ponse ne est pas sp??cifique.

La th??orie des nombres classique indienne

??quations diophantiennes ont ??t?? largement ??tudi??s par les math??maticiens dans l'Inde m??di??vale, qui ont ??t?? les premiers ?? ??tudier syst??matiquement les m??thodes pour la d??termination des solutions int??grales d'??quations diophantiennes. Aryabhata (499) a donn?? la premi??re description explicite de la solution int??grale g??n??rale de l'??quation lin??aire diophantienne une $y +$ b $x =$ c, qui se produit dans son texte Aryabhatiya. Cet algorithme de kuttaka est consid??r??e comme l'une des contributions les plus importantes de Aryabhata en math??matiques pures, qui ont trouv?? des solutions aux ??quations diophantiennes au moyen de fractions continues. La technique a ??t?? appliqu??e par Aryabhata pour donner des solutions int??grales de simulataneous ??quations diophantiennes lin??aires, un probl??me avec des applications importantes dans l'astronomie. Il a ??galement trouv?? la solution g??n??rale ?? la ind??termin??e ??quation lin??aire en utilisant cette m??thode.

Brahmagupta en 628 manipul?? ??quations diophantiennes plus difficiles. Il a utilis?? le chakravala m??thode pour r??soudre quadratiques ??quations diophantiennes, y compris les formulaires de L'??quation de Pell, comme $61x ^ 2 + 1 = y ^ 2$ . Son Brahma Sphuta Siddhanta a ??t?? traduit en arabe en 773 et a ensuite ??t?? traduit en latin en 1126. L'??quation $61x ^ 2 + 1 = y ^ 2$ a ensuite ??t?? pos?? comme un probl??me en 1657 par le Fran??ais math??maticien Pierre de Fermat . La solution g??n??rale de cette forme particuli??re de l'??quation de Pell a ??t?? trouv?? plus de 70 ans plus tard par Leonhard Euler , tandis que la solution g??n??rale de l'??quation de Pell a ??t?? trouv?? plus de 100 ans plus tard par Joseph Louis Lagrange dans il ya 1767. Pendant ce temps, de nombreux si??cles, la solution g??n??rale de l'??quation de Pell a ??t?? enregistr?? par Bhaskara II en 1150, en utilisant une version modifi??e de la m??thode chakravala de Brahmagupta, dont il est ??galement utilis?? pour trouver la solution g??n??rale ?? d'autres ??quations du second degr?? pour une p??riode ind??termin??e et les ??quations diophantiennes quadratiques. La m??thode chakravala de Bhaskara pour trouver la solution g??n??rale de l'??quation de Pell ??tait beaucoup plus simple que la m??thode utilis??e par Lagrange plus de 600 ans plus tard. Bhaskara ??galement trouv?? des solutions ?? d'autres quadratique ind??termin??e, cubique, quartique, et d'ordre sup??rieur polyn??mes ??quations. Narayana Pandit encore am??lior??e sur la m??thode chakravala et trouv?? des solutions plus g??n??rales ?? d'autres quadratique ind??termin??e et d'ordre sup??rieur ??quations polynomiales.

La th??orie des nombres islamique

Du 9??me si??cle, Math??matiques islamiques avaient un vif int??r??t pour la th??orie des nombres. Le premier de ces math??maticiens ??tait Thabit ibn Qurra, qui a d??couvert un algorithme qui a permis de paires nombres amiables se trouvent, soit deux des nombres tels que chacun d'eux est la somme des diviseurs de l'autre. Au 10??me si??cle, Al-Baghdadi regarda une l??g??re variante de la m??thode de Thabit ibn Qurra.

Au 10??me si??cle, al-Haitham semble avoir ??t?? le premier ?? tenter de classer tous les m??me nombres parfaits (num??ros ??gal ?? la somme de leurs diviseurs propres) que ceux de la forme $2 ^ {k-1} (2 ^ k - 1)$ o?? $2 ^ k - 1$ est premier. Al-Haytham est ??galement la premi??re personne ?? d??clarer Th??or??me de Wilson, ?? savoir que si p est premier alors $1+ (p-1)!$ est divisible par $p$ . On ne sait pas se il savait comment prouver ce r??sultat. Il est appel?? le th??or??me de Wilson en raison d'un commentaire fait par Edward Waring en 1770 que John Wilson avait remarqu?? le r??sultat. Il ne existe aucune preuve que John Wilson savait comment le prouver et tr??s certainement Waring n'a pas fait. Lagrange a donn?? la premi??re preuve en 1771.

Nombres amiables ont jou?? un grand r??le dans les math??matiques islamiques. Au 13??me si??cle, Math??maticien persan Al-Farisi a donn?? une nouvelle preuve du th??or??me de Thabit ibn Qurra, introduire des id??es nouvelles importantes concernant factorisation et les m??thodes combinatoires. Il a ??galement donn?? la paire de nombres amiables 17 296, 18 416, qui ont ??t?? attribu??s ?? Euler, mais nous savons qu'ils ont ??t?? connus plus t??t que al-Farisi, peut-??tre m??me par Thabit ibn Qurra lui-m??me. Au 17??me si??cle, Muhammad Baqir Yazdi a donn?? la paire de nombres amiables 9.363.584 et 9.437.056 encore de nombreuses ann??es avant que la contribution d'Euler.

Early th??orie des nombres europ??enne

La th??orie des nombres a commenc?? en Europe, dans les 16e et 17e si??cles, avec Fran??ois Vi??te, Bachet de Meziriac, et surtout Fermat , dont m??thode de descente infinie ??tait la premi??re preuve g??n??rale de questions diophantiennes. dernier th??or??me de Fermat a ??t?? pos??e comme un probl??me en 1637, une preuve de ce qui n'a pas ??t?? trouv?? jusqu'en 1994. Fermat a ??galement pos?? l'??quation $61x ^ 2 + 1 = y ^ 2$ comme un probl??me en 1657.

Au XVIIIe si??cle, Euler et Lagrange fait d'importantes contributions ?? la th??orie des nombres. Euler a fait un travail sur th??orie analytique des nombres, et trouv?? une solution g??n??rale de l'??quation $61x ^ 2 + 1 = y ^ 2$ . Lagrange a trouv?? une solution ?? l'??quation de Pell plus g??n??rale. Euler et Lagrange r??solus ces ??quations Pell au moyen de fractions continues, si ce ??tait plus difficile que l' indienne chakravala m??thode.

Les d??buts de la th??orie des nombres moderne

Vers le d??but des livres du XIXe si??cle de Legendre (1798), et Gauss mis ensemble les premi??res th??ories syst??matiques en Europe. Gauss Disquisitiones Arithmeticae (1801) peut ??tre dit de commencer la th??orie moderne des nombres.

La formulation de la th??orie de congruences commence avec Disquisitiones de Gauss. Il a introduit le symbolisme

$un \ equiv b \ c pmod,$

et explor?? plus du domaine. Chebyshev publi?? en 1847 un ouvrage en russe sur le sujet, et en France Serret a popularis??.

Outre r??sumant les travaux ant??rieurs, Legendre a d??clar?? le loi de r??ciprocit?? quadratique. Cette loi, d??couvert par induction et ??nonc??e par Euler, a d'abord ??t?? r??v??l??e par Legendre dans sa Th??orie des Nombres (1798) pour les cas sp??ciaux. Ind??pendamment de Euler et Legendre, Gauss a d??couvert la loi ?? propos de 1795, et a ??t?? le premier ?? donner une preuve g??n??rale. L'ont ??galement contribu?? ?? le sujet suivant: Cauchy; Dirichlet dont Vorlesungen ??ber Zahlentheorie est un classique; Jacobi, qui a pr??sent?? le Symbole de Jacobi; Liouville, Zeller (?), Eisenstein, Kummer, et Kronecker. La th??orie se ??tend pour inclure cubique et quartique r??ciprocit??, (Gauss, Jacobi qui le premier se est av??r?? la loi de r??ciprocit?? cube, et Kummer).

Pour Gauss est ??galement due la repr??sentation des nombres par le binaire formes quadratiques.

Th??orie des nombres premiers

Un th??me r??current et productif dans la th??orie des nombres est l'??tude de la r??partition des nombres premiers. Carl Friedrich Gauss conjectur?? la limite du nombre de nombres premiers ne d??passant pas un nombre donn?? (la th??or??me des nombres premiers) comme un adolescent.

Chebyshev (1850) a donn?? les limites utiles pour le nombre des nombres premiers entre deux limites donn??es. Riemann introduit analyse complexe sur la th??orie de la Fonction z??ta de Riemann. Cela a conduit ?? une relation entre les z??ros de la fonction z??ta et de la distribution des nombres premiers, pour aboutir finalement ?? une preuve de th??or??me des nombres premiers ind??pendamment par Hadamard et de la Vall??e Poussin en 1896. Toutefois, une preuve ??l??mentaire a ??t?? donn?? plus tard par Paul Erdős et Atle Selberg en 1949. Voici des moyens ??l??mentaires qu'il ne utilise pas de techniques d'analyse complexes; Toutefois, la preuve est encore tr??s ing??nieuse et difficile. Le Hypoth??se de Riemann, ce qui donnerait des informations beaucoup plus pr??cises, est encore une question ouverte.

D??veloppements du XIXe si??cle

Cauchy, Poinsot (1845), Lebesgue (1859, 1868), et notamment Hermite ont ajout?? ?? ce sujet. Dans la th??orie des formes ternaires, Eisenstein a ??t?? un leader, et ?? lui et ?? HJS Smith est aussi en raison d'une avanc??e notable dans la th??orie des formes en g??n??ral. Smith a donn?? une classification compl??te des formes quadratiques ternaires, et ??tendu les recherches de Gauss concernant r??el formes quadratiques ?? formes complexes. Les enqu??tes concernant la repr??sentation des nombres par la somme de 4, 5, 6, 7, 8 places ont ??t?? avanc??s par Eisenstein et la th??orie a ??t?? achev??e par Smith.

Dirichlet a ??t?? la premi??re ?? donner des conf??rences sur le sujet dans une universit?? allemande. Parmi ses contributions est l'extension du dernier th??or??me de Fermat :

$x ^ n + y ^ n \ NEQ z ^ n, (x, y, z \ NEQ 0, n> 2)$

Euler et Legendre, qui avaient ??prouv?? pour $n = 3, 4$ (Et donc par voie de cons??quence, tous les multiples de 3 et 4), montrant que Dirichlet $x ^ 5 + y ^ 5 \ neq z ^ 5$ . Parmi les ??crivains fran??ais sont plus tard Borel; Poincar??, dont les m??moires sont nombreux et pr??cieux; Tannery, et Stieltjes. Parmi les principaux contributeurs en Allemagne ??taient Kronecker, Kummer, Schering, Bachmann, et Dedekind. En Autriche Vorlesungen ??ber allgemeine la Arithmetik de Stolz (1885-1886), et en Angleterre La Th??orie des Nombres de Mathews (Partie I, 1892) ??taient des ??uvres savantes g??n??rales. Genocchi, Sylvester, et JWL Glaisher ont ??galement ajout?? ?? la th??orie.

Fin des d??veloppements du XIXe et du d??but du XXe si??cle

Ce ??tait l'??poque des grands progr??s dans la th??orie des nombres gr??ce au travail des Axel Thue sur ??quations diophantiennes, de David Hilbert en th??orie alg??brique des nombres (il a ??galement prouv?? la De Waring nombre premier de conjecture), et ?? la cr??ation de la th??orie des nombres g??om??trique par Hermann Minkowski, mais aussi gr??ce ?? Adolf Hurwitz, Georgy F. Voronoy, Waclaw Sierpinski, Derrick Lehmer Norman et plusieurs autres.

D??veloppements du XXe si??cle

Grandes figures en th??orie des nombres XXe si??cle comprennent Hermann Weyl, Nikolai Chebotaryov, Emil Artin, Erich Hecke, Helmut Hasse, Alexandre Gelfond, Yuri Linnik, Paul Erdős, Gerd Faltings, GH Hardy, Edmund Landau, Louis Mordell, John Edensor Littlewood, Srinivasa Ramanujan, Andr?? Weil, Ivan Vinogradov, Atle Selberg, Carl Siegel, Igor Shafarevich, John Tate, Robert Langlands, Goro Shimura, Kenkichi Iwasawa, Jean-Pierre Serre, Pierre Deligne, Enrico Bombieri, Alan Baker, Peter Swinnerton-Dyer, Bryan Birch, Vladimir Drinfeld, Laurent Lafforgue, Andrew Wiles, et Richard Taylor.

Jalons en th??orie des nombres XXe si??cle comprennent la preuve de th??or??me de Fermat par Andrew Wiles en 1994 et la preuve de la connexes Taniyama-Shimura conjecture en 1999.

Citations

Les math??matiques sont la reine des sciences et la th??orie des nombres est la reine des math??matiques -. Gauss
Dieu a invent?? les nombres entiers; tout le reste est l'??uvre de l'homme. - Kronecker

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