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Num??ro Fibonacci

Sujets connexes: Math??matiques

Saviez-vous ...

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Un pavage avec des carr??s dont les longueurs c??t?? sont des nombres de Fibonacci successifs
Une approximation de la spirale d'or cr????e par dessiner des arcs circulaires reliant les coins oppos??s de places dans le carrelage Fibonacci; celui-ci utilise des carr??s de dimensions 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 et 34.

En math??matiques , les nombres de Fibonacci ou s??ries de Fibonacci ou la s??quence de Fibonacci sont les nombres dans la suite s??quence entier:

0, \; 1, \; 1, \; 2, \; 3, \; 5, \; 8, \; 13, \; 21, \; 34, \; 55, \; 89, \; 144, \; \ Ldots \; (S??quence A000045 dans OEIS )

Par d??finition, les deux premiers nombres dans la suite de Fibonacci sont 0 et 1, et chaque nombre subs??quent est la somme des deux pr??c??dents.

En termes math??matiques, la s??quence F n des nombres de Fibonacci est d??finie par la relation de r??currence

F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}, \! \,

avec des valeurs de semences

F_0 = 0, \; F_1 = 1.

La suite de Fibonacci est nomm?? d'apr??s L??onard de Pise, qui ??tait connu comme Fibonacci. 1202 livre de Fibonacci Liber Abaci introduit la s??quence aux math??matiques Europe de l'Ouest, bien que la s??quence avait ??t?? d??crit plus t??t dans les math??matiques indiennes . Par convention moderne, la s??quence commence soit avec F 0 = 0 ou 1 F = 1. Le Liber Abaci a commenc?? la s??quence avec F 1 = 1, sans le 0 initial.

Nombres de Fibonacci sont ??troitement li??es ?? Num??ros Lucas en ce qu'ils sont une paire compl??mentaire de S??quences Lucas. Ils sont intimement li??s avec le nombre d'or ; par exemple, la les plus proches approximations rationnelles ?? le rapport sont 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, .... Les applications comprennent des algorithmes informatiques tels que le Fibonacci technique de recherche et de la Structure de donn??es de tas de Fibonacci, et les graphiques appel?? cubes de Fibonacci utilis??s pour l'interconnexion des syst??mes parall??les et distribu??s. Ils apparaissent ??galement dans les param??tres biologiques, tels que la ramification dans les arbres, phyllotaxie (la disposition des feuilles sur une tige), les germes de fruits d'un ananas, la floraison de artichaut, un d??frisage foug??re et la disposition d'un c??ne de pin.

Origines

Une page de Fibonacci de Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze montrant (dans la bo??te ?? droite) la suite de Fibonacci avec la position dans la s??quence marqu??e en latin et en chiffres romains et la valeur en chiffres indo-arabes.

La s??quence de Fibonacci appara??t dans les math??matiques indiennes , dans le cadre de Chandas. Dans la tradition orale sanscrit, il y avait beaucoup d'accent sur la dur??e (L) syllabes se m??langent avec le court (S), et en comptant les diff??rents mod??les de L et S au bout de r??sultats donn??s de longueur fixe dans les nombres de Fibonacci; le nombre de motifs qui sont courtes syllabes m est le nombre de Fibonacci de temps F m + 1.

Susantha Goonatilake ??crit que le d??veloppement de la suite de Fibonacci "est attribu??e en partie ?? Pingala (200 avant JC), ??tant associ?? plus tard Virahanka (c. 700 AD), Gopala (c. 1135), et Hemachandra (c. 1150) ". Parmanand Singh cite cryptique cha formule misrau de Pingala (" les deux sont m??lang??s ") et cite les chercheurs qui l'interpr??tent dans leur contexte comme disant que les cas pour m temps (F m + 1) est obtenu en ajoutant un [S] pour F M cas et [L] pour les m -1 cas F Il dates Pingala. avant 450 BCE.

Cependant, la plus claire exposition de la s??rie se pose dans le travail de Virahanka (c. 700 de notre ??re), dont le travail est perdu, mais il est disponible dans une citation de Gopala (c 1135.):

Variations de deux m??tres ant??rieures [est la variation] ... Par exemple, pour [un m??tre de longueur] quatre, les variations de m??tres de deux [et] ??tant m??lang?? trois, cinq se produit. [Travaux des exemples 8, 13, 21] ... De cette fa??on, le processus devrait ??tre suivie dans tous les Matra-vṛttas [combinaisons] prosodiques.

La s??rie est ??galement discut?? par Gopala (avant 1135 AD) et par le savant Jain Hemachandra (c. 1150).

Dans l'Ouest, la s??quence de Fibonacci appara??t d'abord dans le livre Liber Abaci (1202) de L??onard de Pise, connue sous le nom Fibonacci. Fibonacci consid??re la croissance d'une id??alis??e (biologiquement irr??aliste) de lapin population, en supposant que: une paire de lapins nouveau-n??, un m??le, une femelle, sont mis dans un champ; lapins sont capables de se accoupler ?? l'??ge de un mois de sorte qu'?? la fin de son deuxi??me mois une femelle peut produire une autre paire de lapins; lapins ne meurent jamais et une paire d'accouplement produit toujours une nouvelle paire (un homme et une femme) chaque mois ?? partir du deuxi??me mois de suite. Le puzzle qui Fibonacci pos??e ??tait: combien de paires qu'il y aura dans un an?

  • A la fin du premier mois, ils se accouplent, mais il ya encore seulement une paire.
  • ?? la fin du deuxi??me mois de la femelle produit une nouvelle paire, alors maintenant il ya deux paires de lapins dans le domaine.
  • A la fin du troisi??me mois, la femelle initial produit une deuxi??me paire, ce qui dans tous les trois paires sur le terrain.
  • ?? la fin du quatri??me mois, la femelle originale a produit encore une autre nouvelle paire, la femelle n?? il ya deux mois produit sa premi??re paire ??galement, faisant cinq paires.

A la fin de la n ??me mois, le nombre de paires de lapins est ??gal au nombre de nouveaux couples (qui est le nombre de paires dans le mois n - 2) plus le nombre de couples vivant dernier mois (n - 1). Ce est la n-i??me nombre de Fibonacci.

Le nom "s??quence de Fibonacci" a ??t?? d'abord utilis?? par le nombre th??oricien du 19??me si??cle ??douard Lucas.

Liste des nombres de Fibonacci

Le premier 21 nombre de Fibonacci F n pour n = 0, 1, 2, ..., 20 sont les suivants:

F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F 16 F 17 F 18 F 19 F 20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

La s??quence peut ??galement ??tre ??tendu ?? indice n??gatif n utilisant la relation de r??currence r??arrang??e

F_ {n-2} = F_n - F_ {n-1},

ce qui donne la s??quence des num??ros de "satisfaisant" negafibonacci

F _ {- n} = (-1) ^ {n + 1} F_n.

Ainsi, la s??quence est bidirectionnelle

F -8 F -7 F -6 F -5 F -4 F -3 F -2 F -1 F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8
-21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

??v??nements en math??matiques

Les nombres de Fibonacci sont les sommes des diagonales "peu profondes" (en rouge) du triangle de Pascal .

Les nombres de Fibonacci se produisent dans les sommes d'diagonales "peu profondes?? dans le triangle de Pascal (voir coefficient binomial ).

F_ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n-1} {2} \ rfloor} \ tbinom {nk-1} k.

Les nombres de Fibonacci peuvent ??tre trouv??s dans diff??rentes mani??res dans la s??quence de binaires cordes.

  • Le nombre de cha??nes binaires de longueur n 1 cons??cutifs sans est le nombre de Fibonacci F n 2. Par exemple, sur les 16 cha??nes binaires de longueur 4, il ya F 6 = 8 sans 1 cons??cutifs - ils sont 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 et 1001. Par sym??trie, le nombre de cha??nes de longueur n est 0 cons??cutifs sans ??galement F 2 n.
  • Le nombre de cha??nes binaires de longueur n sans un nombre impair de 1 cons??cutifs est le nombre de Fibonacci F n + 1. Par exemple, sur les 16 cha??nes binaires de longueur 4, il ya F 5 = 5 sans un nombre impair de 1 cons??cutifs - ils sont 0000, 0011, 0110, 1100, 1111.
  • Le nombre de cha??nes binaires de longueur n sans un nombre pair de 0 ou 1 cons??cutifs est 2 F n. Par exemple, sur les 16 cha??nes binaires de longueur 4, il ya 2 F 4 = 6 sans un nombre pair de 0 ou 1 cons??cutifs - ils sont 0001, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010.

Rapport au nombre d'or

Solution de forme ferm??e

Comme chaque s??quence d??finie par un r??currence lin??aire ?? coefficients constants, les nombres de Fibonacci ont une solution de forme ferm??e. Il est devenu connu sous le nom La formule de Binet, m??me si elle ??tait d??j?? connue par Abraham de Moivre:

F_n = \ frac {\ varphi ^ n \ psi ^ n} {\ varphi- \ psi} = \ frac {\ varphi ^ n \ psi ^ n} {\ sqrt 5}

o??

\ Varphi = \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \ environ 1,61803 \, 39887 \ \ cdots,

est le nombre d'or (s??quence A001622 dans OEIS ), et

\ Psi = \ frac {1 - \ sqrt {5}} {2} = 1 - \ varphi = - {1 \ over \ varphi} \ approx -0,61803 \, 39887 \ cdots

Pour le voir, notons que φ et ψ sont deux solutions des ??quations

x ^ 2 = x + 1, \, x ^ n = x ^ {n-1} + x ^ {n-2}, \,

de sorte que les pouvoirs de φ et ψ satisfont la r??currence de Fibonacci. Autrement dit

\ Varphi ^ n = \ varphi ^ {n-1} + \ varphi ^ {n-2} \,

et

\ Psi ^ n = \ psi ^ {n-1} + \ psi ^ {n-2} \,.

Il se ensuit que, pour toutes les valeurs a et b, la s??quence d??finie par

U_n = a \ varphi ^ n + b \ psi ^ n \,

satisfait m??me r??cidive

U_n = a \ varphi ^ {n-1} + b \ psi ^ {n-1} + a \ varphi ^ {n-2} + b \ psi ^ {n-2} = U_ {n-1} + U_ {n-2}. \,

Si A et B sont choisis de telle sorte que U 0 = 0 et U 1 = 1 alors la s??quence r??sultante U n doit ??tre la suite de Fibonacci. Ce est le m??me comme exigeant a et b satisfaire le syst??me d'??quations:

\ \ Left {\ begin {array} {l} a + b = 0 \\ \ varphi a + \ psi b = 1 \ end {array} \ right.

solution qui a

a = \ frac {1} {\ varphi- \ psi} = \ frac {1} {\ sqrt 5}, \, b = -a

la production de la formule requise.

Calcul en arrondissant

Depuis

\ Frac {| \ psi | ^ n} {\ sqrt 5} <\ frac {1} {2}

pour tout n ≥ 0, le nombre F n est le nombre entier le plus proche de

\ Frac {\ varphi ^ n} {\ sqrt 5} \,.

Par cons??quent, il peut ??tre trouv?? par arrondissement, ou en termes de fonction de chauss??e:

F_n = \ bigg \ lfloor \ frac {\ varphi ^ n} {\ sqrt 5} + \ frac {1} {2} \ bigg \ rfloor, \ n \ geq 0.

Ou la fonction entier le plus proche:

F_n = \ bigg [\ frac {\ varphi ^ n} {\ sqrt 5} \ bigg], \ n \ geq 0.

De m??me, si nous savons d??j?? que le nombre F> 1 est un nombre de Fibonacci, nous pouvons d??terminer son indice dans la s??quence par

n (F) = \ bigg \ lfloor \ log_ \ varphi \ left (F \ cdot \ sqrt {5} + \ frac {1} {2} \ right) \ bigg \ rfloor

Limite de quotients cons??cutifs

Johannes Kepler observe que le rapport des nombres de Fibonacci cons??cutifs converge. Il a ??crit que ??5 ?? 8 est donc est de 8 ?? 13, dans la pratique, et comme 8 est ?? 13, est donc de 13 ?? 21 presque", et a conclu que la limite se approche le rapport φ or.

\ N \ {lim_ ?? \ infty} \ frac {{F_ n + 1}} {} F_n = \ varphi

Cette convergence ne d??pend pas des valeurs initiales choisies, ?? l'exclusion de 0, 0. Par exemple, les valeurs initiales 19 et 31 g??n??rent la s??quence 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555 ... etc. Le rapport de mandats cons??cutifs de cette s??quence montre la m??me convergence vers le nombre d'or.

En fait, ce est valable pour ne importe quelle s??quence qui satisfait ?? la r??apparition de Fibonacci autre qu'une s??quence de 0 ce. Cela peut ??tre d??riv??e de la formule de Binet .

Une autre cons??quence est que la limite du rapport de deux nombres de Fibonacci compens??e par un ??cart d'indice fini particulier correspond au nombre d'or soulev??e par cette d??viation. Ou, en d'autres termes:

\ N \ {lim_ ?? \ infty} \ frac {{n + F_ \ alpha}} {} F_n = \ varphi ^ \ alpha

D??composition des pouvoirs du nombre d'or

??tant donn?? que le nombre d'or satisfait ?? l'??quation

\ Varphi ^ 2 = \ varphi + 1, \,

Cette expression peut ??tre utilis??e pour d??composer des puissances sup??rieures φ n comme une fonction lin??aire de puissances inf??rieures, qui ?? son tour peut ??tre d??compos?? tout en bas ?? une combinaison lin??aire de φ et 1. La r??sultante relations de r??currence donnent les nombres de Fibonacci que les coefficients lin??aires:

\ Varphi ^ n = F_n \ varphi + F_ {n-1}.

Cette ??quation peut ??tre prouv?? par r??currence sur n.

Cette expression est ??galement vrai pour n <1 si la s??quence de Fibonacci F n est ??tendu aux entiers n??gatifs en utilisant la r??gle de Fibonacci F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2}.

forme matricielle

Un syst??me de deux dimensions lin??aire ??quations aux diff??rences qui d??crit la suite de Fibonacci est

\ Begin {align} {{k + F_ 2} \ choisir F_ {k + 1}} & = \ begin {} pmatrix 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {} {pmatrix F_ {k + 1} \ choisir F_ {k}} \\ \ vec F_ {k + 1} & A = \ vec F_ {k} \ end {align}

Les valeurs propres de la matrice A sont \ Scriptstyle \ varphi = \ frac12 (1+ \ sqrt5) \, \! et \ Scriptstyle 1- \ varphi = \ frac12 (1- \ sqrt5) Et les ??l??ments des vecteurs propres de A, \ Scriptstyle {\ varphi \ choisissez 1} et \ Scriptstyle {1- \ varphi \ choisissez 1} , Sont dans les ratios φ et φ-1 L'utilisation de ces faits, et les propri??t??s des valeurs propres, nous pouvons tirer une formule directe pour la n-i??me ??l??ment de la s??rie de Fibonacci comme un fonction analytique de n:

F_ {n} = \cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\cfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot\left(\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n

La matrice a un facteur de -1, et par cons??quent ce est un 2 ?? 2 matrice unimodulaire. Cette propri??t?? peut ??tre compris en termes de continu?? la repr??sentation de la fraction du nombre d'or:

\ Varphi = 1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \; \; \ \ ddots,}}}

Les nombres de Fibonacci se produire comme le rapport entre convergents successifs de la fraction continue de φ, et la matrice form??e ?? partir de ne importe quel convergents successifs de fraction continue a un facteur de 1 ou -1.

La repr??sentation de la matrice donne la suivante expression ferm?? pour les nombres de Fibonacci:

\ Begin {} pmatrix 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} ^ n = \ begin {} pmatrix F_ {n + 1} & F_n \\ F_n & F_ {n-1} \ end {} pmatrix.

Prenant le d??terminant des deux c??t??s de cette ??quation rendements L'identit?? de Cassini

(-1) ^ N = F_ {n + 1} {F_ n-1} - F_n ^ 2 \ ,.

En outre, ??tant donn?? que A ^ n ^ m A = A ^ {m + n} pour toute matrice carr??e A, les identit??s suivantes peuvent ??tre d??riv??es:

\ Begin {align} {} {f_m F_n} + {{F_ m-1}} {{F_ n-1}} = & F_ {m + n-1} \\ F_ {n + 1} F_ {m} + F_n F_ {m-1} = & F_ {m + n} \ end {align}

En particulier, avec m = n,

\ Begin {align} {F_ 2n-1} = & F_n ^ 2 + F_ {n-1} ^ 2 \\ F_ {2n} & = (F_ {n-1} + F_ {n + 1}) F_n \ \ & = (2F_ {n-1} + F_n) F_n \ end {align}

Ces deux derni??res identit??s fournissent un moyen de calculer les nombres de Fibonacci de mani??re r??cursive en O (log (n)) op??rations arithm??tiques et en temps O (M (n) log (n)), o?? M (n) est le temps pour la multplication de deux nombres de n chiffres. Cela correspond ?? l'heure de calcul de la n-i??me nombre de Fibonacci de la formule de matrice de forme ferm??e, mais avec moins d'??tapes redondantes si l'on ??vite de recalculer un d??j?? calcul?? nombres de Fibonacci (de r??currence avec m??morisation).

Reconnaissant les nombres de Fibonacci

La question peut se poser de savoir si un nombre entier positif z est un nombre de Fibonacci. Etant donn?? que F (n) est le nombre entier le plus proche de \ Varphi ^ n / \ sqrt {5} , Test de force brute la plus simple est l'identit??

F \ left (\ bigg \ lfloor \ log_ \ varphi \ bigg (z \ cdot \ sqrt {5} + \ frac {1} {2} \ bigg) \ bigg \ rfloor \ right) = z,

ce qui est vrai si et seulement si z est un nombre de Fibonacci. Dans cette formule, F (n) peut ??tre calcul?? en utilisant rapidement l'une des forme ferm??e expressions pr??c??demment.

Une des cons??quences de l'expression ci-dessus est le suivant: si l'on sait qu'un certain nombre z est un nombre de Fibonacci, on peut d??terminer un n tel que F (n) = z par ce qui suit:

\ Left \ lfloor \ log_ \ varphi \ bigg (z \ cdot \ sqrt {5} + \ frac {1} {2} \ bigg) \ right \ rfloor = n

En variante, un nombre entier positif z est un nombre de Fibonacci si et seulement si l'une des 5z ^ 2 + 4 ou 5z ^ 2-4 est un carr?? parfait.

Un test peu plus sophistiqu?? utilise le fait que la convergents de la continu?? repr??sentation fraction de φ sont des rapports de nombres de Fibonacci successifs. Autrement dit, l'in??galit??

\ Bigg | \ varphi- \ frac {p} {q} \ bigg | <\ frac {1} {q ^ 2}

(Avec coprime entiers positifs p, q) est vrai si et seulement si p et q sont des nombres de Fibonacci successifs. Du m??me une d??rive du crit??re selon lequel z est un nombre de Fibonacci si et seulement si le intervalle ferm??

\ Bigg [\ varphi z \ frac {1} {z}, \ varphi z + \ frac {1} {z} \ bigg]

contient un nombre entier positif. Pour z ≥ 2, il est facile de montrer que cet intervalle contient au plus un nombre entier, et dans le cas o?? z est un nombre de Fibonacci, le contenu entier est ??gal au nombre de Fibonacci successifs apr??s z. Assez remarquablement, ce r??sultat tient toujours pour le cas z = 1, mais il doit ??tre d??clar?? attentivement depuis le 1er appara??t deux fois dans la suite de Fibonacci, et a donc deux successeurs distinctes.

Identit??s combinatoires

La plupart des identit??s des nombres de Fibonacci peuvent ??tre prouv??es ?? l'aide arguments combinatoires en utilisant le fait que F n peut ??tre interpr??t?? comme le nombre de s??quences de 1s et 2s cette somme ?? n - 1. Cela peut ??tre consid??r?? comme la d??finition de F n, avec la convention que F 0 = 0, ce qui signifie qu'aucune somme va ajouter jusqu'?? -1, et que F 1 = 1, ce qui signifie la somme sera vide "ajouter" ?? 0. Voici l'ordre des questions de summand. Par exemple, 1 + 2 + 1 et 2 sont consid??r??es comme deux sommes diff??rentes.

Par exemple, la relation de r??currence

F_ {n} = {F_ n-1} + F_ {n-2}, \,

ou des mots, la n-i??me nombre de Fibonacci est la somme des deux nombres de Fibonacci pr??c??dentes, peut ??tre repr??sent??e en divisant le f (n) des sommes de 1s et 2s qui ajoutent ?? n -1 en deux groupes non chevauchants. Un groupe contient les sommes dont le mandat premier est une et l'autre de ces sommes dont le mandat premier est 2. Dans le premier groupe, les termes restants ajouter ?? n - 2, il a donc F (n -1) sommes, et dans le deuxi??me groupe les termes restants ajouter ?? n -3, donc il ya des sommes F (-2 n). Donc, il ya un total de F (n -1) + F n -2) sommes tout ?? fait, cette montre est ??gal ?? F (n).

De m??me, il peut ??tre ??tabli que la somme des nombres de Fibonacci premi??re jusqu'?? la n-i??me est ??gale ?? la (n + 2) -i??me nombre de Fibonacci moins 1. Dans symboles:

\ Sum_ {i = 1} ^ n = f_i F_ {n + 2} - 1

Cela se fait en divisant les sommes d'addition ?? n + 1 d'une mani??re diff??rente, cette fois par l'emplacement de la premi??re 2. Plus pr??cis??ment, le premier groupe se compose de ces montants qui commencent par 2, le deuxi??me groupe ceux qui commencent 1 + 2 , la troisi??me 1 + 1 + 2, et ainsi de suite, jusqu'?? ce que le dernier groupe qui se compose de la somme simple o?? seules de 1 sont utilis??s. Le nombre de montants dans le premier groupe est F (n), F (n - 1) dans le second groupe, et ainsi de suite, avec une somme dans le dernier groupe. Ainsi, le nombre total des sommes est F (n) + F (n-1) + ... + F (1) 1 et donc cette quantit?? est ??gale ?? F (n 2)

Un argument similaire, regroupant les sommes par la position de la premi??re 1 plut??t que le premier deux, donne deux autres identit??s:

\ Sum_ {i = 0} ^ {n-1} {F_ 2i + 1} = {2n} F_

et

\ Sum_ {i = 1} ^ {n} {F_ 2i} = {F_ 2n + 1} -1.

En mots, la somme des premiers nombres de Fibonacci avec un indice impair jusqu'?? F 2 n -1 est le (2n) i??me nombre de Fibonacci, et la somme des premiers nombres de Fibonacci avec encore indexer jusqu'?? 2 F n est la (2n + 1) -St nombre Fibonacci moins 1.

Un truc diff??rent peut ??tre utilis?? pour prouver

\ Sum_ {i = 1} ^ {n} f_i ^ 2 = F_ {n} {F_ n + 1},

ou des mots, la somme des carr??s des premiers nombres de Fibonacci jusqu'?? F n est le produit de la n-i??me et (n + 1) -i??me nombres de Fibonacci. Dans ce cas, la note que Fibonacci rectangle de taille F n F (n + 1) peut ??tre d??compos?? en carr??s de taille F n, F n-1, et ainsi de suite pour F 1 = 1, d'o?? se ensuit l'identit?? par des zones de comparaison .

D'autres identit??s

Il existe de nombreuses autres identit??s qui peuvent ??tre d??riv??es en utilisant diverses m??thodes. Parmi les plus remarquables sont:

Catalan de l'identit??:

F_n ^ 2 - F_ {n + r} F_ {n-r} = (-1) ^ {n-r} ^ 2 F_r

Cassini de l'identit??:

F_n ^ 2 - F_ {n + 1} {F_ n-1} = (-1) ^ {n-1}

l'identit?? d'Ocagne:

F_m F_ {n + 1} - F_ {m + 1} F_n = (-1) ^ n F_ {m-n}
F_ {2n} = {F_ n + 1} ^ 2 - F_ {n-1} ^ 2 = F_n \ left (F_ {n + 1} + F_ {n-1} \ right) = F_nL_n

o?? L n est la n i??me Nombre Lucas. La derni??re est une identit?? pour doubler n; d'autres identit??s de ce type sont

F_ {} = 3n 2F_n ^ 3 + 3F_n F_ {n + 1} {F_ n-1} = 5F_n ^ 3 + 3 (-1) ^ n F_n

par l'identit?? de Cassini.

\ Begin {align} {F_ 3n + 1} = & F_ {n + 1} ^ 3 + 3 F_ {n + 1} F_n ^ 2 - F_n ^ 3 \\ F_ {3n + 2} et {n = F_ + 1} ^ 3 + 3 F_ {n + 1} ^ 2F_n + F_n ^ 3 \\ F_ {} & 4n = 4F_nF_ {n + 1} \ left (F_ {n + 1} ^ 2 + 2F_n ^ 2 \ right) - 3F_n ^ 2 \ gauche (F_n ^ 2 + 2F_ {n + 1} ^ 2 \ right) \ end {align}

Ceux-ci peuvent ??tre trouv??es exp??rimentalement en utilisant r??duction de treillis, et sont utiles dans la mise en place du tamis sp??ciale de champ num??rique pour factoriser un nombre de Fibonacci.

Plus g??n??ralement,

F_ {kn + c} = \ sum_ {i = 0} ^ k {k \ i} choisir F_ {ci} F_n ^ i F_ {n + 1} ^ {ki}.

Mettre k = 2 dans cette formule, on obtient ?? nouveau les formules de la fin de la section ci-dessus sous forme de matrice .

s??rie Power

Le fonction g??n??ratrice de la suite de Fibonacci est la s??rie de puissance

s (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} F_k x ^ k.

Cette s??rie est convergente pour | X | <\ frac {1} {\ varphi}, et sa somme a une forme ferm??e simple:

s (x) = \ frac {x} {1-x-x ^ 2}

Ceci peut ??tre prouv?? en utilisant la r??currence de Fibonacci ?? ??tendre chaque coefficient dans la somme infinie:

\ Begin {align} s (x) = & \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} F_k x ^ k = \\ & F_0 + F_1x + \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} \ left ( F_ {k-1} {k + F_-2} \ right) x ^ k \\ & = x + \ sum_ {k = 2} ^ {\ infty} {F_ k-1} x ^ k + \ {sum_ k = 2} ^ {\ infty} {k-F_ 2} x ^ k \\ & = x + x \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} F_k x ^ k + x ^ 2 \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} F_k x ^ k \\ & = x + xs (x) + x ^ 2 s (x). \ End {align}

R??soudre l'??quation

s (x) = x + xs (x) + x ^ 2s (x)

S (x) les r??sultats ci-dessus dans la forme ferm??e.

Si x est l'inverse d'un nombre entier, la forme ferm??e de la s??rie devient

\ Sum_ {n = 0} ^ \ infty \, \ frac {} {k F_n ^ {n}} \, = \, \ frac {k} {k ^ {2} k-1}.

En particulier,

\ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {} {F_n 10 ^ {(k + 1) (n + 1)}}} = \ frac {1} {10 ^ {2k + 2} - 10 ^ {k + 1} - 1}

pour tous les entiers non-n??gatifs k.

Certains math??matiques puzzle livres pr??sente aussi curieux la valeur particuli??re \ frac {s (\ frac {1} {10})} {10} = \ frac {1} {89} .

Sommes r??ciproques

Sommes infinies plus de nombres de Fibonacci r??ciproques peuvent parfois ??tre ??valu??s en termes de fonctions th??ta. Par exemple, nous pouvons ??crire la somme de tous les nombres de Fibonacci r??ciproque impair r??pertori??

\ Sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {{F_ 2k + 1}} = \ frac {\ sqrt {5}} {4} \ vartheta_2 ^ 2 \ gauche (0, \ frac {3- \ sqrt 5} {2} \ right),

et la somme des nombres de Fibonacci au carr?? comme r??ciproques

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2} F_k ^ = \ frac {5} {24} \ left (\ vartheta_2 ^ 4 \ gauche (0, \ frac {3- \ sqrt 5} {2} \ right) - \ vartheta_4 ^ 4 \ gauche (0, \ frac {3- \ sqrt 5} {2} \ right) + 1 \ right).

Si l'on ajoute 1 ?? chaque nombre de Fibonacci dans la premi??re somme, il ya aussi la forme ferm??e

\ Sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {1} {1 + F_ {2k + 1}} = \ frac {\ sqrt {5}} {2},

et il ya une belle somme imbriqu??e de nombres de Fibonacci carr??s donnant l'inverse de la proportion dor??e ,

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} {\ sum_ {j = 1} ^ k {{F_ j}} ^ 2} = \ frac {\ sqrt { 5} -1} {2}.

De tels r??sultats font plausible qu'une formule ferm??e pour la somme plaine de nombres de Fibonacci r??ciproques n'a pu ??tre trouv??e, mais aucun ne est encore connu. Malgr?? cela, le r??ciproque constante Fibonacci

\ Psi = \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {} = 3,359885666243 F_k \ dots

a ??t?? prouv?? irrationnelle par Richard Andr??-Jeannin.

Millin s??rie donne une identit?? remarquable:

\ Sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {{F_ 2 ^ n}} = \ frac {7 - \ sqrt {5}} {2}

qui r??sulte de la forme ferm??e pour ses sommes partielles comme N tend vers l'infini:

\ Sum_ {n = 0} ^ N \ frac {1} {{F_ 2 ^ n}} = 3 - \ frac {{F_ 2 ^ N-1}} {{F_ 2 ^ N}}.

Primes et la divisibilit??

propri??t??s de divisibilit??

Chaque troisi??me num??ro de s??quence est le m??me et, plus g??n??ralement, chaque k-i??me num??ro de la s??quence est un multiple de k F. Ainsi, la suite de Fibonacci est un exemple d'un s??quence de la divisibilit??. En fait, la s??quence de Fibonacci satisfait la propri??t?? de divisibilit?? fort

\ Gcd (f_m, F_n) = F _ {\ pgcd (m, n)} \,.

nombres premiers de Fibonacci

Un premier Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est privil??gi?? . La premi??re quelques-uns sont:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ... (s??quence A005478 dans OEIS ).

Fibonacci amorce avec des milliers de chiffres ont ??t?? trouv??s, mais on ne sait pas se il existe une infinit?? de nombres.

F kn est divisible par n F, de sorte que, en dehors de F 4 = 3, ne importe quel premier Fibonacci doit avoir un indice prime. Comme il ya arbitrairement longues s??ries de nombres compos??s, il ya donc aussi arbitrairement longues s??ries de nombres de Fibonacci composites.

A l'exception de 1, 8 et 144 (F 1 = F 2, F 6, F 12) chaque nombre de Fibonacci a un facteur premier qui ne est pas un facteur d'un nombre plus petit de Fibonacci ( Le th??or??me de Carmichael).

Le seul non triviale carr?? nombre Fibonacci est 144. Attila Pethő prouv?? en 2001 qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres de Fibonacci puissance parfaites. En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte, et S. Siksek prouv?? que 8 et 144 sont les seuls de tels pouvoirs parfaits non triviales.

Aucun num??ro de Fibonacci sup??rieure ?? F 6 = 8 est une plus ou un de moins que un nombre premier.

Les trois nombres de Fibonacci cons??cutifs, prises deux ?? la fois, sont relativement premier, ce est-

pgcd (F n, F n 1) = pgcd (F n, F n 2) = 1.

Plus g??n??ralement,

pgcd (F n, F m) = F pgcd (n, m).

Diviseurs premiers de nombres de Fibonacci

La divisibilit?? des nombres de Fibonacci par un nombre premier p est li??e ?? la Symbole de Legendre \ Left (\ frac {p} {5} \ right) qui est ??valu?? comme suit:

\ Left (\ frac {p} {5} \ right) = \ begin {} 0 cas et \ textrm {if} \; p = 5 & 1 \\ \ textrm {if} \; p \ equiv \ PM1 \ pmod 5 -1 \\ & \ textrm {if} \; p \ equiv \ PM2 \ pmod 5. \ end {} cas

Si p est un nombre premier, alors

F_p \ equiv \ gauche (\ frac {p} {5} \ right) \ pmod p \ quad \ text {et} \ quad F_ {p \ left (\ frac {p} {5} \ right)} \ equiv 0 \ pmod p.

Par exemple,

\ Begin {align} (\ frac {2} {5}) & = -1, et F_3 & = 2, et F_2 & = 1, \\ (\ frac {3} {5}) & = -1, et F_4 & = 3 , et F_3 & = 2, \\ (\ frac {5} {5}) & = 0, & F_5 & = 5, \\ (\ frac {7} {5}) & = -1, et F_8 & = 21, et F_7 & = 13, \\ (\ frac {11} {5}) & = 1, et F_ {10} = & 55, & F_ {11} = 89 &. \ End {align}

On ne sait pas se il existe un nombre premier p tel que

F_ {p \ left (\ frac {p} {5} \ right)} \ equiv 0 \ pmod {p ^ 2}.

Ces nombres premiers (si il y en a) seront appel??s Wall-Sun-Sun amorce.

En outre, si p ≠ 5 est un nombre premier impair alors:

5F ^ 2 _ {\ frac {p \ h 1} {2}} \ equiv \ begin {cas} \ frac {1} {2} \ left (5 \ gauche (\ frac {p} {5} \ right) \ 5 h \ right) \ pmod p & \ textrm {if} \; p \ equiv 1 \ 4 pmod \\ \ frac {1} {2} \ left (5 \ gauche (\ frac {p} {5} \ right ) \ mp 3 \ right) \ pmod p & \ textrm {if} \; p \ equiv 3 \ pmod 4. \ end {} cas

Exemple 1. p = 7, en l'occurrence p ≡ 3 (mod 4), et on a:

(\ Frac {7} {5}) = -1: \ qquad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {7} {5}) + 3 \ right) = -1, \ quad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {7} {5}) - 3 \ right) = - 4.
F_3 = 2 \ text {et} F_4 = 3.
5F_3 ^ 2 = 20 \ equiv -1 \ pmod {7} \; \; \ text {et} \; \; 5F_4 ^ 2 = 45 \ equiv -4 \ pmod {7}

Exemple 2. p = 11, dans ce cas p ≡ 3 (mod 4), et on a:

(\ Frac {11} {5}) = 1: \ qquad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {11} {5}) + 3 \ right) = 4, \ quad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {11} {5}) - 3 \ right) = 1.
F_5 = 5 \ text {et} F_6 = 8.
5F_5 ^ 2 = 125 \ equiv 4 \ pmod {11} \; \; \ text {et} \; \; 5F_6 ^ 2 = 320 \ equiv 1 \ pmod {11}

Exemple 3. p = 13, dans ce cas p ≡ 1 (mod 4), et on a:

(\ Frac {13} {5}) = -1: \ qquad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {13} {5}) - 5 \ right) = -5, \ quad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {13} {5}) + 5 \ right) = 0.
F_6 = 8 \ text {et} F_7 = 13.
5F_6 ^ 2 = 320 \ equiv -5 \ pmod {13} \; \; \ text {et} \; \; 5F_7 ^ 2 = 845 \ equiv 0 \ pmod {13}

Exemple 4. p = 29, dans ce cas p ≡ 1 (mod 4), et on a:

(\ Frac {29} {5}) = 1: \ qquad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {29} {5}) - 5 \ right) = 0, \ quad \ frac {1} {2} \ left (5 (\ frac {29} {5}) + 5 \ right) = 5.
F_ {14} = 377 \ text {et} F_ {15} = 610.
5F_ {14} ^ 2 = 710645 \ equiv 0 \ pmod {29} \; \; \ text {et} \; \; 5F_ {15} ^ 2 = 1860500 \ equiv 5 \ pmod {29}

Pour impair n, toutes les diviseurs premiers impairs de F n ?? 1 sont congruents modulo 4, ce qui implique que tous les diviseurs impairs de F n (comme les produits de diviseurs premiers impairs) sont congruents modulo 1 ?? 4.

Par exemple,

F_1 = 1, F_3 = 2, F_5 = 5, F_7 = 13, F_9 = 34 = 2 \ cdot 17, F_ {11} = 89, F_ {13} = 233, F_ {15} = 610 = 2 \ cdot 5 \ cdot 61.

Tous les facteurs connus de Fibonacci num??ros F (i) pour tout i <50000 sont recueillies ?? des r??f??rentiels pertinents.

P??riodicit?? modulo n

On peut voir que, si les membres de la suite de Fibonacci sont prises mod n, la s??quence r??sultante doit ??tre p??riodique de p??riode au plus n 2 -1. Les longueurs des p??riodes diff??rentes pour n forment ce qu'on appelle P??riodes Pisano (s??quence A001175 dans OEIS ). La d??termination des p??riodes Pisano est en g??n??ral un probl??me ouvert, bien que pour tout n particulier, il peut ??tre r??solu comme une instance de d??tection de cycle.

Triangles rectangles

?? partir de 5, chaque second nombre de Fibonacci est la longueur de l'hypot??nuse d'un triangle rectangle dont les c??t??s sont des nombres entiers, ou en d'autres termes, le plus grand nombre dans un Triplet pythagoricien. La longueur de la branche la plus longue de ce triangle est ??gale ?? la somme des trois c??t??s du triangle pr??c??dentes, dans cette s??rie de triangles, et la branche la plus courte est ??gale ?? la diff??rence entre le nombre de Fibonacci pr??c??dentes contourn?? et la jambe plus courte de ce qui pr??c??de triangle.

Le premier triangle dans cette s??rie a des c??t??s de longueur 5, 4 et 3. Sauter 8, la prochaine triangle a des c??t??s de longueur 13, 12 (5 + 4 + 3), et 5 (8-3). Saut 21, la prochaine triangle a des c??t??s de longueur 34, 30 (13 + 12 + 5), et 16 (21-5). Cette s??rie se poursuit ind??finiment. Les c??t??s du triangle a, b, c peuvent ??tre calcul??s directement ??:

\ Displaystyle a_n = F_ {2n-1}
\ Displaystyle b_n = 2 F_n F_ {n-1}
\ Displaystyle c_n = F_n ^ 2 - F_ {n-1} ^ 2.

Ces formules r??pondent a_n ^ 2 = b_n ^ 2 + c_n ^ 2 pour tout n, mais ils ne repr??sentent qu'une c??t??s du triangle lorsque n> 2.

Tous les quatre nombres de Fibonacci cons??cutifs F n, F n + 1, F 2 et F n n 3 peut ??galement ??tre utilis?? pour g??n??rer un triplet de Pythagore d'une mani??re diff??rente:

a = F_n F_ {n + 3} \,; \, B = 2 F_ {n + 1} {F_ n + 2} \,; \, C = F_ {n + 1} ^ 2 + F_ {n + 2} ^ 2 \,; \, A ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \ ,.

Exemple 1: laissez les nombres de Fibonacci ??tre 1, 2, 3 et 5. Puis:

\ Displaystyle a = 1 \ times 5 = 5
\ Displaystyle b = 2 \ fois 2 \ times 3 = 12
\ Displaystyle c = 2 ^ 2 + 3 = 13 ^ 2 \,
\ Displaystyle 5 ^ 2 + 2 = 12 ^ 13 ^ 2 \ ,.

Ampleur

Etant donn?? que F n est ?? asymptotique \ Varphi ^ n / \ sqrt5 , Le nombre de chiffres par F n est asymptotique ?? n \, \ log_ {10} \ varphi \ approx0.2090 \ n . En cons??quence, pour tout entier d> 1 il ya 4 ou 5 avec des nombres de Fibonacci d chiffres d??cimaux.

Plus g??n??ralement, dans la repr??sentation de base b, le nombre de chiffres par F n est asymptotique ?? n \, \ log_b \ varphi .

Applications

Les nombres de Fibonacci sont importantes dans le calcul l'analyse d'ex??cution de L'algorithme d'Euclide pour d??terminer le plus grand commun diviseur de deux entiers: le pire cas pour l'entr??e de cet algorithme est une paire de nombres de Fibonacci cons??cutifs.

Yuri Matiyasevich a pu montrer que les nombres de Fibonacci peuvent ??tre d??finies par un Diophantienne ??quation, qui a conduit ?? sa solution originale de Dixi??me probl??me de Hilbert.

Les nombres de Fibonacci sont ??galement un exemple d'un s??quence compl??te. Cela signifie que chaque entier positif peut ??tre ??crit comme une somme de nombres de Fibonacci, o?? un seul num??ro est utilis?? qu'une seule fois au plus. Plus pr??cis??ment, chaque entier positif peut ??tre ??crit de mani??re unique comme ??tant la somme d'un ou plusieurs nombres de Fibonacci distincts de telle mani??re que la somme ne comprend pas deux nombres de Fibonacci cons??cutifs tout. Ceci est connu comme Th??or??me de Zeckendorf, et une somme de nombres de Fibonacci qui r??pond ?? ces conditions est appel?? une repr??sentation Zeckendorf. La repr??sentation Zeckendorf d'un certain nombre peut ??tre utilis?? pour tirer son Codage de Fibonacci.

Nombres de Fibonacci sont utilis??s par certains des g??n??rateurs de nombres pseudo-al??atoire.

Les nombres de Fibonacci sont utilis??s dans une version de la polyphas?? fusionner algorithme de tri dans lequel une liste non tri??s est divis??e en deux listes dont les longueurs correspondent aux nombres de Fibonacci s??quentiel - en divisant la liste de sorte que les deux parties ont des longueurs dans la proportion φ approximative. Une mise en ??uvre de lecteur de bande de la polyphas?? tri par fusion a ??t?? d??crit dans L'Art de la programmation informatique.

Les nombres de Fibonacci se posent dans l'analyse de la La structure de donn??es en tas de Fibonacci.

Le Est un cube de Fibonacci graphe non orient?? avec un nombre de Fibonacci de noeuds qui a ??t?? propos??e comme un topologie de r??seau pour calcul parall??le.

Proc??d?? d'optimisation ?? une dimension, appel?? le Fibonacci technique de recherche, utilise les nombres de Fibonacci.

La s??rie de nombres de Fibonacci est utilis?? pour option compression avec perte dans le IFF 8SVX format de fichier audio utilis?? sur Ordinateurs Amiga. La s??rie de num??ros compands l'onde audio d'origine similaire aux m??thodes logarithmiques telles que μ-loi.

Depuis la facteur de conversion des miles ?? 1.609344 kilom??tres est proche du rapport d'or (φ not??e), la d??composition de la distance en miles en une somme de nombres de Fibonacci devient presque la somme de kilom??tres lorsque les nombres de Fibonacci sont remplac??s par leurs successeurs. Cette m??thode revient ?? une radix num??ro 2 se inscrire ?? or φ de base de rapport ??tant d??cal??. Pour convertir des kilom??tres en miles, d??caler le registre bas de la suite de Fibonacci ?? la place.

Dans la nature

T??te de camomille jaune montrant l'agencement dans 21 (bleu) et 13 (Aqua) spirales. De tels agencements comportant des nombres de Fibonacci cons??cutifs apparaissent dans une grande vari??t?? de plantes.

S??quences de Fibonacci apparaissent dans les param??tres biologiques, dans deux nombres de Fibonacci cons??cutifs, comme ramification dans les arbres, disposition des feuilles sur une tige, les petits fruits d'un ananas, la floraison de artichaut, une foug??re d??frisage et l'agencement d'un c??ne de pin. En outre, de nombreuses r??clamations mal fond??es de nombres de Fibonacci ou sections d'or dans la nature se trouvent dans les sources populaires, par exemple, relatives ?? l'??levage de lapins en propre exemple irr??aliste de Fibonacci, les graines sur un tournesol, les spirales de coquillages, et la courbe de vagues. Les nombres de Fibonacci sont ??galement pr??sents dans l'arbre de la famille des abeilles.

Przemysław Prusinkiewicz a avanc?? l'id??e que les cas r??els peuvent en partie ??tre compris comme l'expression de certaines contraintes alg??briques sur groupes libres, en particulier que certains Grammaires Lindenmayer.

Illustration du mod??le de Vogel pour n = 1 500 ...

Un mod??le pour le mod??le de fleurons dans la t??te d'un tournesol a ??t?? propos??e par H. Vogel en 1979. Ce est de la forme

\ Theta = \ frac {2 \ pi} {\ phi ^ 2} n, \ r = c \ sqrt {n}

n est le numéro d'index de la fleur et c est un facteur d'échelle constant; les fleurons se trouvent donc sur la spirale de Fermat. L'angle de divergence, d'environ 137,51 °, est l' angle d'or, divisant le cercle dans le nombre d'or. Parce que ce ratio est irrationnel, pas fleuron a un voisin exactement au même angle du centre, de sorte que les fleurons emballer efficacement. Parce que les approximations rationnelles à la proportion dorée sont de la forme F ( j ): F ( j + 1), les plus proches voisins de numéro de fleuron n sont ceux au n ± F ( j ) pour un indice j qui dépend de r , la la distance du centre. Il est souvent dit que les tournesols et les arrangements similaires ont 55 spirales dans un sens et 89 dans l'autre (ou d'une autre paire de nombres de Fibonacci adjacentes), mais c'est vrai que d'un éventail de rayons, généralement le plus à l'extérieur et donc plus visible.

Le code de l'ascendance d'abeille

nombres de Fibonacci apparaissent également dans la description de la reproduction d'une population d'abeilles idéalisées, selon les règles suivantes:

  • Si un ??uf est pondu par une femelle déconnectés, il élabore un mâle oubourdon abeille.
  • Toutefois, si un oeuf est fertilisé par un mâle, une femelle l'éclosion.

Ainsi, une abeille mâle aura toujours un parent, et une abeille femelle aura deux.

Si l'on retrace l'origine de toute abeille mâle (1 d'abeille), il dispose de 1 parent (1 abeille), 2 grands-parents, grands-parents 3, 5 arrière-grands-parents, et ainsi de suite. Cette séquence de nombre de parents est la suite de Fibonacci. Le nombre d'ancêtres à chaque niveau, F n , est le nombre d'ancêtres féminins, qui est F n-1 , plus le nombre d'ancêtres mâles, qui est F n-2 . Ceci est dans l'hypothèse irréaliste que les ancêtres à chaque niveau sont par ailleurs sans rapport.

La culture populaire

G??n??ralisations

La suite de Fibonacci a été généralisé à de nombreux égards. Ceux-ci comprennent:

  • Généraliser l'index entiers négatifs pour produire lesNegafibonaccinuméros.
  • Généraliser l'indice à des nombres réels en utilisant une modification de la formule de Binet.
  • A partir des nombres entiers avec les autres.nombres Lucas ontL 1= 1,L 2= 3, etLn=L n-1+L n-2.Primefree séquences utilisent la récurrence de Fibonacci avec d'autres points de départ afin de générer des séquences dans lesquelles tous les chiffres sontcomposite.
  • Laisser un nombre être une fonction linéaire (autre que la somme) des deux nombres précédents. Le Pell numéros ontPn= 2P n- 1+P n- 2.
  • Sans adjonction des numéros précédents. Le Padovan séquence etles numéros ont PerrinP(n) =P(n- 2) +P(n- 3).
  • Génération du prochain numéro en ajoutant 3 numéros (numéros de tribonacci), 4 numéros (numéros de tetranacci), ou plus. Les séquences résultantes sont connus comme n-Step nombres de Fibonacci .
  • Ajout d'autres objets que des nombres entiers, par exemple des fonctions ou des chaînes-un exemple essentiel estpolynômes de Fibonacci.
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