Nombre naturel

En math??matiques , un nombre naturel (aussi appel?? num??ro de comptage) peut signifier soit un ??l??ment de l'ensemble { 1 , 2, 3, ...} (la positifs entiers ) ou un ??l??ment de l'ensemble { 0 , 1, 2, 3, ...} (la des nombres entiers non n??gatifs). L'ancien est g??n??ralement utilis?? dans la th??orie des nombres , tandis que le second est pr??f??r?? dans la logique math??matique, th??orie des ensembles , et informatique . Voir ci-dessous pour une d??finition formelle.

Nombres naturels ont deux objectifs principaux: ils peuvent ??tre utilis??s pour comptant ("il ya trois pommes sur la table"), et ils peuvent ??tre utilis??s pour commande ("ce est le 3 ^??me plus grande ville dans le pays").

Propri??t??s des nombres naturels li??s ?? la divisibilit?? , tels que la r??partition des nombres premiers , sont ??tudi??s dans la th??orie des nombres . Les probl??mes concernant le comptage, comme Th??orie Ramsey, sont ??tudi??es en combinatoire .

Nombres naturels peuvent ??tre utilis??s pour compter (une pomme, deux pommes, trois pommes, ...).

Historique des nombres naturels et l'??tat de z??ro

Les nombres naturels avaient leurs origines dans les mots utilis??s pour compter les choses, en commen??ant par le num??ro un.

La premi??re avanc??e majeure dans l'abstraction ??tait l'utilisation de chiffres pour repr??senter des nombres. Cela a permis ?? des syst??mes ?? d??velopper pour enregistrer un grand nombre. Par exemple, les Babyloniens ont d??velopp?? un puissant syst??me de valeur de base essentiellement sur les chiffres de 1 et 10. L'ancienne Egyptiens avaient un syst??me de chiffres avec distincte hi??roglyphes pour 1, 10, et toutes les puissances de 10 jusqu'?? un million. Une sculpture sur pierre de Karnak, datant d'environ 1500 avant JC et maintenant ?? la Louvre ?? Paris, repr??sente 276 que deux centaines, dizaines, 7 et 6 unit??s; et de m??me pour le nombre 4622.

Une avance beaucoup plus tard dans l'abstraction ??tait le d??veloppement de l'id??e de z??ro comme un nombre avec son propre num??ro. Un z??ro chiffres avait ??t?? utilis?? dans la notation de valeur de d??s 700 avant JC par les Babyloniens, mais, ils ont omis quand il aurait ??t?? le dernier symbole du nombre. Le olm??que et civilisation maya utilis?? z??ro comme un num??ro distinct d??s le 1er si??cle avant JC, apparemment d??velopp?? ind??pendamment, mais cet usage ne se propage pas au-del?? M??so-Am??rique. Le concept tel qu'il est utilis?? dans les temps modernes avec l'origine indienne math??maticien Brahmagupta en 628. N??anmoins, m??di??vale computists (calculatrices de P??ques ), en commen??ant par Denys le Petit au 525, utilis?? ?? z??ro comme un nombre sans l'aide d'un chiffre romain pour l'??crire. Au lieu nullus, le mot latin pour ??rien??, a ??t?? employ??. La premi??re ??tude syst??matique des nombres comme abstractions (ce est, aussi abstraite entit??s) est g??n??ralement cr??dit??s aux grecs philosophes Pythagore et Archim??de . Cependant, des ??tudes ind??pendantes ont ??galement eu lieu ?? peu pr??s au m??me moment dans l'Inde , la Chine , et M??so-Am??rique.

Au XIXe si??cle, un set-th??orique d??finition des nombres naturels a ??t?? d??velopp??e. Avec cette d??finition, il est plus commode d'inclure z??ro (correspondant ?? la ensemble vide) comme un nombre naturel. Cette convention est suivie par set th??oriciens , logiciens , et des informaticiens . D'autres math??maticiens, principalement les th??oriciens des nombres , pr??f??rent souvent suivre la tradition plus ancienne et consid??rent z??ro ne pas ??tre un nombre naturel.

Notation

Les math??maticiens utilisent N ou (N dans un tableau noir gras, affich?? comme ℕ en Unicode) se r??f??rer ?? la ensemble des nombres naturels. Cet ensemble est infini d??nombrable: il est infini, mais d??nombrable par d??finition. Ce est ??galement exprim?? en disant que le nombre cardinal de l'ensemble est Module: Aleph_number ( parler ?? ?? hist ?? ?? liens ?? sous-pages essais - (r??sultats) ).

Pour ??tre sans ambigu??t?? quant ?? savoir si z??ro est inclus ou non, parfois un indice "0" est ajout?? dans le premier cas, et un exposant "*" est ajout??e dans ce dernier cas:

ℕ ₀ = {0, 1, 2, ...}; ℕ ^* = {1, 2, ...}.

(Parfois, un indice ou exposant ??+?? est ajout?? pour signifier ??positive??. Toutefois, cela est souvent utilis?? pour "non n??gatif" dans les autres cas, R ⁺ = [0, ∞) et Z ⁺ = {0, 1, 2, ...}, au moins dans la litt??rature europ??enne. La notation "*", cependant, est la norme pour une valeur non nulle ou non ??l??ments inversibles.)

Certains auteurs qui excluent z??ro des naturels utilisent les nombres entiers terme, not??e , Pour l'ensemble des entiers positifs. D'autres utilisent la notation pour les entiers positifs.

Set th??oriciens d??signent souvent l'ensemble des nombres naturels par une lettre minuscule grecque omega: ω. Lorsque cette notation est utilis??e, z??ro est explicitement inclus comme un nombre naturel.

Propri??t??s alg??briques

Les d??finitions officielles

Historiquement, la d??finition math??matique pr??cise des nombres naturels d??velopp?? avec une certaine difficult??. Le Peano postule conditions de l'Etat que toute d??finition retenue doit satisfaire. Certaines constructions montrent que, compte tenu de la th??orie des ensembles , mod??les des postulats Peano doivent exister.

Axiomes de Peano

• Il se agit d'un nombre naturel 0.
• Chaque un nombre naturel a un successeur de nombre naturel, not??e S (a).
• Il n'y a pas nombre naturel dont le successeur est 0.
• Nombres naturels distincts ont successeurs distinctes: si a ≠ b, alors S (a) ≠ S (b).
• Si une propri??t?? est poss??d?? par 0 et aussi par le successeur de chaque nombre naturel qui poss??de, alors il est poss??d?? par tous les nombres naturels. (Ce postulat se assure que la technique de preuve induction math??matique est valide.)

Il convient de noter que le "0" dans la d??finition ci-dessus ne correspondant pas n??cessairement ?? ce que nous consid??rons normalement ??tre le num??ro z??ro. "0" signifie simplement un objet que lorsqu'il est combin?? avec une fonction successeur appropri??, satisfait les axiomes de Peano. Tous les syst??mes qui r??pondent ?? ces axiomes sont isomorphes, le nom de ??0?? est utilis?? ici pour le premier ??l??ment, qui est le seul ??l??ment qui ne est pas un successeur. Par exemple, les nombres naturels commen??ant par une satisfont ??galement aux axiomes.

Constructions bas?? sur la th??orie des ensembles

Une construction standard

Une construction standard dans la th??orie des ensembles , un cas particulier de l' ordinal von Neumann construction, est de d??finir les nombres naturels comme suit:

Nous avons mis en 0: = {}, le ensemble vide,

et d??finir S (A) = A ∪ {a} pour chaque ensemble a. S (a) est le successeur d'un, et S est appel??e la fonction successeur.

Si le axiome de l'infini est v??rifi??e, alors l'ensemble des nombres naturels existe et est l'intersection de tous les ensembles contenant 0 qui sont ferm??s sous cette fonction successeur.

Si l'ensemble des nombres naturels existe, alors il satisfait la Axiomes de Peano.

Chaque nombre naturel est alors ??gal ?? l'ensemble des nombres naturels inf??rieurs ?? elle, de sorte que

• 0 = {}
• 1 = {0} = {{}}
• 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{}, {{}}}
• 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}
• n = {0,1,2, ..., n-2, n-1} = {0,1,2, ..., n} -2 ∪ {n} -1 = (n-1) ∪ {n} -1

et ainsi de suite. Quand vous voyez un certain nombre naturel utilis?? comme un ensemble, ce est typiquement ce que l'on entend. Selon cette d??finition, il ya exactement n ??l??ments (au sens na??ve) dans l'ensemble n et n ≤ m (au sens na??ve) si et seulement si n est ??gal ?? un sous-ensemble de m.

Aussi, avec cette d??finition, diff??rentes interpr??tations possibles de notations comme R ⁿ (n-tuples contre mappages de n dans R) co??ncident.

M??me si l'axiome de l'infini ne existe pas et ne l'ensemble des nombres naturels, il est possible de d??finir ce que cela signifie d'??tre un de ces ensembles. Un ensemble n est un nombre naturel signifie que ce est soit 0 (vide) ou d'un successeur, et chacun de ses ??l??ments est soit 0, soit le successeur d'un autre de ses ??l??ments.

D'autres constructions

Bien que la construction standard est utile, ce ne est pas la seule construction possible. Par exemple:

on pourrait d??finir 0 = {}

et S (a) = {a},

production

0 = {}

1 = {0} = {{}}

2 = {1} = {{{}}}, etc.

Ou nous pourrions m??me d??finir 0 = {{}}

et S (A) = U {a}

production

0 = {{}}

1 = {{}, {0} = {}, {{}}}

2 = {{}, 0, 1}, etc.

Sans doute la plus ancienne d??finition d'ensemble th??orie des nombres naturels est la d??finition commun??ment attribu?? ?? Frege et Russell en vertu duquel chaque concr??te nombre naturel n est d??fini comme l'ensemble de tous les ensembles ?? n ??l??ments. Cela peut para??tre circulaire, mais peut ??tre fait avec soin rigoureuse. D??finir 0 comme (Clairement l'ensemble de tous les ensembles avec 0 ??l??ments) et de d??finir (Pour tout ensemble A) . Puis 0 sera l'ensemble de tous les ensembles avec 0 ??l??ments, sera l'ensemble de tous les ensembles avec 1 ??l??ment, sera l'ensemble de tous les ensembles avec deux ??l??ments, et ainsi de suite. L'ensemble des nombres naturels peut ??tre d??finie comme l'intersection de tous les ensembles contenant 0 comme ??l??ment et close par (Qui est, si l'ensemble contient un ??l??ment n, il contient ??galement ). Cette d??finition ne fonctionne pas dans les syst??mes habituels de la th??orie des ensembles axiomatique parce que les collections impliqu??es sont trop grandes (il ne fonctionnera pas dans ne importe quelle th??orie des ensembles avec le axiome de s??paration); mais il ne fonctionne dans Nouvelles Fondations (et dans les syst??mes connexes connus pour ??tre conforme) et, dans certains syst??mes de tapez th??orie.

Pour le reste de cet article, nous suivons la construction standard d??crit ci-dessus.

Propri??t??s

On peut d??finir de fa??on r??cursive une addition sur des nombres naturels en ??ditant 0 = a + a + a et S (b) = S (a + b) pour tout a, b. Cela transforme les nombres naturels (N, +) dans un commutative Monoid avec 0 ??l??ment d'identit??, la soi-disant mono??de libre avec un g??n??rateur. Ce monoid satisfait la la propri??t?? d'annulation et peut ??tre int??gr?? dans un groupe . Le plus petit groupe contenant les nombres naturels sont les entiers .

Si nous d??finissons une: S = (0), puis b + 1 = b + S (0) = S (B + 0) = S (b). Ce est, b + 1 est tout simplement le successeur de b.

De mani??re analogue, ??tant donn?? que l'addition a ??t?? d??finie, une multiplication ?? peuvent ??tre d??finies par une ?? 0 = 0 et a ?? S (b) = (A ?? B) + un. Cela transforme (N ^*, ??) dans un mono??de commutatif gratuit avec une ??l??ment d'identit??; un groupe ??lectrog??ne pour cette mono??de est l'ensemble des nombres premiers . Addition et la multiplication sont compatibles, qui se exprime dans le droit de la distribution: a ?? (b + c) = (a ?? b) + (a ?? c). Ces propri??t??s de l'addition et la multiplication des nombres naturels font une instance d'un commutative semiring. Semi-anneaux sont une g??n??ralisation alg??brique des nombres naturels o?? la multiplication est pas n??cessairement commutative.

Si nous interpr??tons les nombres naturels comme ??l'exclusion de 0", et "?? partir de 1", les d??finitions des + et ?? sont comme ci-dessus, sauf que nous commen??ons avec un + 1 = S (A) et une ?? 1 = a.

Pour le reste de l'article, nous ??crivons ab pour indiquer le produit a ?? b, et nous ne assumons ??galement la norme ordre des op??rations.

En outre, on d??finit un ordre total sur les nombres naturels en ??crivant un ≤ b si et seulement si il existe un autre nombre naturel avec un c + c = b. Cette commande est compatible avec les op??rations arithm??tiques dans le sens suivant: si a, b et c sont des nombres naturels et a ≤ b, alors a + c ≤ b + c et ac ≤ bc. Une propri??t?? importante des nombres naturels, ce est qu'ils sont bien ordonn??: chaque ensemble non vide de nombres naturels a un plus petit ??l??ment. Le rang parmi les ensembles bien ordonn??s est exprim?? par un nombre ordinal ; pour les nombres naturels ce est exprim?? en " ??.

Se il est en g??n??ral pas possible de diviser un nombre naturel par un autre et obtenir un nombre naturel ?? la suite, la proc??dure de division avec reste est disponible comme un substitut: pour tout deux nombres naturels a et b avec b ≠ 0, nous pouvons trouver naturelle nombres q et r de telle sorte que

a = bq + r et r <b

Le nombre q est appel?? quotient et r est appel?? le reste de la division de a par b. Les nombres q et r sont d??termin??s de fa??on unique par a et b. Ceci, la algorithme de division, est essentielle pour plusieurs autres propri??t??s ( divisibilit?? ), des algorithmes (par exemple, la Algorithme d'Euclide), et des id??es dans la th??orie des nombres.

Les nombres naturels, y compris sous forme d'un z??ro mono??de commutatif sous addition (avec ??l??ment ayant une identit?? z??ro), et la multiplication (avec un ??l??ment d'identit??).

G??n??ralisations

Deux g??n??ralisations des nombres naturels proviennent des deux utilisations:

• Un nombre naturel peut ??tre utilis?? pour exprimer la taille d'un ensemble fini; plus g??n??ralement un nombre cardinal est une mesure de la taille d'un ensemble convient ??galement pour des ensembles infinis; cela fait r??f??rence ?? une notion de "taille" de telle sorte que se il existe une bijection entre deux jeux qu'ils ont de la m??me taille. L'ensemble des nombres naturels lui-m??me et tout autre ensemble infini d??nombrable a cardinalit?? Module: Aleph_number ( parler ?? ?? hist ?? ?? liens ?? sous-pages essais - r??sultats)

( ).

• Les nombres ordinaux ??premier??, ??deuxi??me??, ??troisi??me?? peuvent ??tre attribu??s ?? des ??l??ments d'un ensemble fini totalement ordonn??, et aussi pour les ??l??ments de bien-ensembles ordonn??s infini d??nombrable comme l'ensemble des nombres naturels lui-m??me. Cela peut ??tre g??n??ralis??e ?? nombres ordinaux qui d??crivent la position d'un ??l??ment dans un ordre ??tabli bien en g??n??ral. Un nombre ordinal est ??galement utilis?? pour d??crire la ??taille?? d'un ensemble bien ordonn??, dans un sens diff??rent de cardinal: se il ya une isomorphisme d'ordre entre deux ensembles bien ordonn??s, ils ont le m??me nombre ordinal. Le premier nombre ordinal qui ne est pas un nombre entier naturel est exprim??e en ; ce est ??galement le num??ro d'ordre de l'ensemble des nombres naturels lui-m??me.

et doivent ??tre distingu??es parce que de nombreux ensembles bien ordonn??s avec nombre cardinal avoir un num??ro d'ordre plus ??lev?? que , Par exemple, ; est la valeur la plus faible possible (la ordinal initial).

Pour finis ensembles bien ordonn??s il ya un-??-un la correspondance entre le nombre ordinal et cardinal; par cons??quent, ils peuvent ??tre exprim??s ?? la fois par le m??me nombre entier naturel, le nombre d'??l??ments de l'ensemble. Ce nombre peut ??galement ??tre utilis?? pour d??crire la position d'un ??l??ment dans un plus grand fini ou infini, s??quence .

Autres g??n??ralisations sont discut??s dans l'article sur les num??ros .