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Diviseur

Sujets connexes: Math??matiques

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En math??matiques , un diviseur d'un nombre entier n, aussi appel?? un facteur de n, est un nombre entier qui divise uniform??ment sans laisser de n reste.

Explication

Par exemple, la figure 7 est un diviseur de 42 parce 42/7 = 6. On dit ??galement 42 est divisible par 7 ou 42 est une multiple de 7 ou 7 ou 42 divise 7 est un facteur de 42 et on ??crit habituellement 7 | 42. Par exemple, les diviseurs positifs de 42 sont 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

En g??n??ral, nous disons m | n (lire: m divise n) pour des entiers non nuls m et n ssi il existe un entier k tel que n = km. Ainsi, diviseurs peuvent ??tre n??gatifs aussi bien que positifs, bien souvent, nous limitons notre attention aux diviseurs positifs. (Par exemple, il ya six diviseurs de quatre, 1, 2, 4, -1, -2, -4, mais seraient habituellement ne citer que les aspects positifs, 1, 2 et 4.)

1 et -1 fracture (sont diviseurs de) tout entier, tout entier (et sa n??gation) est un diviseur de lui-m??me, et tout entier est un diviseur de 0, sauf par convention 0 lui-m??me (voir aussi division par z??ro). Nombres divisibles par 2 sont appel??s m??me et les num??ros non divisible par 2 sont appel??s impair.

Un diviseur de n qui ne est pas 1, -1, n ou - n (qui sont des diviseurs triviaux) est connu comme un diviseur non n??gligeable; num??ros avec diviseurs non triviaux sont connus comme nombres compos??s, tout en nombres premiers ne ont pas de diviseurs non triviaux.

Le nom vient de l' arithm??tique fonctionnement de la division : si un / b = c alors un est le dividende , le diviseur b, et c la quotient.

Il y a propri??t??s qui permettent de reconna??tre certains diviseurs d'un nombre compris entre les chiffres de ce num??ro.

D'autres notions et des faits

Quelques r??gles ??l??mentaires:

  • Si a | b et a | c, alors a | (b + c), en effet, a | (mb + nc) pour tous les entiers m, n.
  • Si a | b et b | c, alors a | c. ( transitive relation)
  • Si a | b et b | a, alors a = b ou a = - b.

La propri??t?? suivante est important:

  • Si a | bc et pgcd (a, b) = 1, puis a | c. ( D'Euclide lemme)

Un diviseur positif de n qui est diff??rent de n est appel?? un diviseur appropri?? (ou partie aliquote) de n. (Un nombre qui ne divise pas uniform??ment n, mais laisse un reste, est appel?? un cadre aliquant de n.)

Un entier n> 1 dont le seul d??nominateur est une bonne est appel?? un nombre premier . ??quivalente, on dirait que un nombre premier est celui qui a exactement deux facteurs: 1 et lui-m??me.

Toute diviseur positif de n est un produit de diviseurs premiers de n soulev?? une certaine puissance. Ce est une cons??quence du th??or??me fondamental de l'arithm??tique .

Si un nombre ??gal ?? la somme de ses diviseurs propres, il est dit d'??tre un nombre parfait . Les nombres inf??rieurs ?? la somme de leurs diviseurs propres sont dits abondante; tandis que les nombres sup??rieurs ?? cette somme sont dits d??ficient.

Le nombre de diviseurs positifs de n est un fonction multiplicative d (n) (par exemple D (42) = 8 = 2 ?? 2 ?? 2 = d (2) ?? d (3) x d (7)). La somme des diviseurs positifs de n est une autre fonction multiplicative σ (n) (par exemple, σ (42) = 96 = 3 x 4 x 8 = σ (2) x σ (3) x σ (7)). Ces deux fonctions sont des exemples de fonctions de diviseur.

Si le Premier factorisation de n est donn??e par

n = p_1 ^ {\ nu_1} \, p_2 ^ {\ nu_2} \ cdots p_k ^ {\ nu_k}

puis le nombre de diviseurs positifs de n est

d (n) = (\ nu_1 + 1) (\ nu_2 + 1) \ cdots (\ nu_k + 1),

et chacun des diviseurs est de la forme

p_1 ^ {\ mu_1} \, p_2 ^ {\ mu_2} \ cdots p_k ^ {\ mu_k}

o?? 0 \ le \ mu_i \ le \ nu_i pour chaque 0 \ le i \ le k .

On peut montrer que

d (1) + d (2) + \ cdots + d (n) = n \ ln n + (2 \ gamma -1) n + O (\ sqrt {n}).

Une interpr??tation de ce r??sultat est que un nombre entier positif choisi de mani??re al??atoire un nombre n a pr??vu des diviseurs d'environ \ N ln .

Divisibilit?? des nombres

La relation de divisibilit?? tourne l'ensemble N des non-n??gatifs entiers dans un partiellement ordonn?? ensemble, en fait, dans un compl??ter treillis distributif. L'??l??ment le plus important de ce r??seau est ??gal ?? 0 et le plus petit est ??gal ?? 1. Le fonctionnement de la comp??tition ^ est donn?? par le plus grand commun diviseur et le fonctionnement de la jointure v moins commun multiple. Ce r??seau est isomorphe au double de la r??seau de sous-groupes de l'infini groupe cyclique Z .

G??n??ralisation

On peut parler de la notion de divisibilit?? en tout int??gre. Se il vous pla??t voir cet article pour les d??finitions dans ce r??glage.

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