??quation lin??aire

Renseignements g??n??raux

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??chantillon de graphique d'??quations lin??aires

Une ??quation lin??aire est un ??quation alg??brique dans laquelle chaque terme est soit un constante ou le produit d'une constante multipli??e par la puissance d'un premier variable. Une telle ??quation est ??quivalente ?? assimiler une polyn??me du premier degr?? ?? z??ro. Ces ??quations sont appel??s ??lin??aire??, car ils repr??sentent des lignes droites en coordonn??es cart??siennes . Une forme courante d'une ??quation lin??aire dans les deux variables $x$ et $y$ est

$y = mx + b. \,$

Sous cette forme, la constante $m$ d??terminera le pente ou gradient de la ligne; et le terme constant $b$ permettra de d??terminer le moment o?? la ligne traverse l'axe des y. ??quations impliquant des termes tels que x ??, y ^1/3, et xy sont non lin??aire.

Formulaires pour 2D ??quations lin??aires

??quations lin??aires complexes, telles que celles ci-dessus, peuvent ??tre r????crites en utilisant les lois de l'alg??bre ??l??mentaire en plusieurs formes plus simples. Dans ce qui suit x, y et t sont des variables; autres lettres repr??sentent constantes (non pr??cis??es mais les num??ros fixes).

Forme g??n??rale

$Ax + By + C = 0, \,$

o?? A et B ne sont pas tous deux ??gaux ?? z??ro. L'??quation est g??n??ralement ??crite de telle sorte que A ≥ 0, par convention. Le graphique de l'??quation est une ligne droite , et chaque ligne droite peut ??tre repr??sent??e par une ??quation dans le formulaire ci-dessus. Si A ne est pas nul, alors le x ordonn??e ?? l'origine, ce est le x - coordonn??e du point o?? la courbe croise la axe des x (y vaut z??ro), est - C / A. Si B est diff??rent de z??ro, alors l'ordonn??e ?? l'origine, ce est le -Coordonner y du point o?? la courbe croise la axe des y (x est ??gal ?? z??ro), est - C / B, et la pente de la ligne est - A / B.

Forme standard

$Ax + By = C, \,$

o?? A, B, et C sont des nombres entiers dont le plus grand facteur commun est 1, A et B ne sont pas tous deux ??gaux ?? z??ro et A est non-n??gatif (et si A = 0, alors B doit ??tre positif). Le formulaire standard peut ??tre convertie ?? la forme g??n??rale, mais pas toujours ?? toutes les autres formes si A ou B est z??ro.

Forme d'une pente

Y axe formule

$y = mx + b, \,$

o?? m est la pente de la droite et b est l'ordonn??e ?? l'origine de y, qui est la y -Coordonner du point o?? la ligne coupe l'axe des y. Ceci peut ??tre vu en laissant $x = 0$ , Ce qui donne imm??diatement $y = b$ .

Formule axe X

$x = \ frac {y} {} m + c, \,$

o?? m est la pente de la droite et c est l'ordonn??e ?? l'origine x, o?? x est le -Coordonner du point o?? la ligne coupe l'axe x. Ceci peut ??tre vu en laissant $y = 0$ , Ce qui donne imm??diatement $x = c$ .

Point-forme pente

$y - y_1 = m \ cdot (x - x 1),$

o?? m est la pente de la droite et (x _1, y ₁₎ est ne importe quel point sur la ligne. Les formulaires points-pente et la pente d'interception sont facilement interchangeables.

La forme de point pente exprime le fait que la diff??rence de coordonn??e y entre deux points sur une ligne (ce est-?? $y - y_1$ ) Est proportionnelle ?? la diff??rence de la coordonn??e x (ce est- $x - x_1$ ). La constante de proportionnalit?? est m (la pente de la droite).

Intercept forme

$\ Frac {x} {c} + \ frac {y} {b} = 1$

o?? c et b doivent ??tre non nulle. Le graphique de l'??quation a ordonn??e ?? l'origine x c et y b ordonn??e ?? l'origine. La forme d'interception peut ??tre converti en la forme standard en r??glant A = 1 / c, B = 1 / b et C = 1.

Sous forme de deux points

$y - k = \ frac {q - k} {p - h} (x - h),$

o?? p ≠ h. Le graphique passe par les points (h, k) et (p, q), et a une pente m = (q - k) / (p - h).

Forme param??trique

$x = T t + U \,$

$y = V t + W. \,$

Deux ??quations simultan??es en termes d'un param??tre variable t, avec une pente m = V / T, x ordonn??e ?? l'origine (VU - WT) / V et ordonn??e ?? l'origine (WT - VU) / T.

Cela peut aussi ??tre li??e ?? la forme de deux points, o?? T = P - H, U = H, V = q - k, et W = k:

$x = (p - h) t + h \,$

$y =. (q - k) t + k \,$

Dans ce cas t varie de 0 au point (h, k) ?? 1 au point (p, q), avec des valeurs de t entre 0 et 1 fournissant interpolation et d'autres valeurs de t fournir extrapolation.

Forme normale

$y \ sin \ phi + x \ cos \ phi - p = 0, \,$

o?? φ est l'angle d'inclinaison de la normale et p est la longueur de la normale. La normale est d??finie comme ??tant le segment le plus court entre la ligne en question et l'origine. Forme normale peut ??tre d??riv??e de forme g??n??rale en divisant tous les coefficients par $\ Frac {| C |} {- C} \ sqrt {A ^ 2 + B ^ 2}$ . Cette forme aussi appel?? Hesse formulaire standard, nomm?? d'apr??s un math??maticien allemand Ludwig Otto Hesse.

Cas particuliers

$y = b. \,$

Ce est un cas particulier de la forme standard o?? A = 0 et B = 1, ou de la forme d'une pente o?? la pente M = 0. Le graphique est une ligne horizontale avec ordonn??e ?? l'origine ??gale ?? b. Il n'y a pas x ordonn??e ?? l'origine, ?? moins que b = 0, auquel cas la courbe de la ligne est la axe des x, et ainsi de tout nombre r??el x est une ordonn??e ?? l'origine.

$x = c. \,$

Ce est un cas particulier de la forme standard o?? A = 1 et B = 0. Le graphique est une ligne verticale avec x ordonn??e ?? l'origine ??gale ?? c. La pente ne est pas d??finie. Il ne est pas ordonn??e ?? l'origine, ?? moins que c = 0, auquel cas la courbe de la ligne est l'axe des y, et de fa??on tout nombre r??el est une ordonn??e ?? l'origine.

$y = y \$ et $x = x. \,$

Dans ce cas, toutes les variables et les constantes ont annul??, laissant un trivialement vraie d??claration. L'??quation originale, donc, serait appel?? identit?? et une ne envisageraient pas normalement son graphe (ce serait la toute-Plane xy). Un exemple est de 2 x 4 + y = 2 (x + y) 2. Les deux expressions de chaque c??t?? du signe ??gal sont toujours ??gaux, peu importe ce que les valeurs sont utilis??es pour x et y.

$e = f. \,$

Dans les situations o?? la manipulation alg??brique conduit ?? un ??nonc?? tel que 1 = 0, alors l'??quation originale est appel?? incompatibles, ce qui signifie qu'il ne est pas vrai pour toutes les valeurs de x et y (ie son graphe serait le vide set) Un exemple serait 3 x + 2 = 3 x - 5.

Connexion avec des fonctions lin??aires et op??rateurs

Dans toutes les formes nomm??s ci-dessus (en supposant que le graphique ne est pas une ligne verticale), la variable y repr??sente une fonction de x, et le graphe de cette fonction est le graphe de l'??quation.

Dans le cas particulier que la ligne traverse l'origine, si l'??quation lin??aire est ??crit sous la forme y = f (x) alors f a les propri??t??s:

$f (x + y) = f (x) + f (y) \,$

$f (a x) = a f (x), \,$

o?? a est ne importe quel scalaire. Une fonction qui satisfait ?? ces propri??t??s est appel?? une fonction lin??aire, ou plus g??n??ralement un lin??aire. Cette propri??t?? rend ??quations lin??aires particuli??rement facile ?? r??soudre et de raisonner sur.

??quations lin??aires se produisent avec une grande r??gularit?? en math??matiques appliqu??es . Alors qu'ils se posent tout naturellement lors de la mod??lisation de nombreux ph??nom??nes, ils sont particuli??rement utiles car beaucoup ??quations non lin??aires peuvent ??tre r??duites ?? des ??quations lin??aires en supposant que les quantit??s d'int??r??t varient dans une faible mesure seulement d'un ??tat "de fond".

??quations lin??aires ?? plus de deux variables

Une ??quation lin??aire peut impliquer plus de deux variables. L'??quation lin??aire g??n??rale n variables est:

$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \ cdots + a_n x_n = b.$

Sous cette forme, a _1, a _2, ..., c _n sont des coefficients, x _1, x _2, ..., x _n sont des variables, et b est ??gal ?? la constante. Lorsqu'il se agit de trois ou moins de variables, il est fr??quent de remplacer x ₁ avec juste x, x _2, avec y et z x ₃ avec, le cas ??ch??ant.

Une telle ??quation repr??sentera une (n-1) de dimension hyperplan de dimension n dans l'espace euclidien (par exemple, un plan dans l'espace 3).

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