Math??matiques indiennes

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Math??matiques indiennes -qui Voici les math??matiques qui ont ??merg?? dans Asie du Sud depuis les temps anciens jusqu'?? la fin du 18??me si??cle, a fait ses d??buts dans l' ??ge du bronze civilisation de l'Indus (2600-1900 BCE) et l' ??ge du fer Culture v??dique (1500-500 BCE). Dans la p??riode classique des math??matiques indiennes ( 400 CE pour 1200 CE), d'importantes contributions ont ??t?? faites par des savants comme Aryabhatta, Brahmagupta, et Bhaskara II. Math??maticiens indiens ont formul?? des premi??res contributions ?? l'??tude de la syst??me d??cimal de nombre , de z??ro , les nombres n??gatifs , l'arithm??tique et l'alg??bre . En outre, la trigonom??trie , ayant ??volu?? dans le Monde hell??nistique et ayant ??t?? introduit dans Inde antique ?? travers la traduction des grecs ??uvres, ??tait plus avanc??e en Inde, et, en particulier, les d??finitions modernes de sinus et cosinus y ont ??t?? d??velopp??s. Ces concepts math??matiques ont ??t?? transmises au Moyen-Orient , la Chine et l'Europe et a conduit ?? l'??volution de la qui forment aujourd'hui les fondations de nombreux domaines des math??matiques.

Travaux math??matiques indiennes antiques et m??di??vaux, tous compos??s en sanscrit , g??n??ralement consist?? d'une section de sutras dans lequel un ensemble de r??gles ou des probl??mes ont ??t?? formul??es avec une grande ??conomie dans le verset afin de faciliter la m??morisation par un ??tudiant. Elle a ??t?? suivie par une seconde section compos??e d'un commentaire en prose (parfois multiples commentaires par diff??rents chercheurs) qui explique le probl??me plus en d??tail et a fourni la justification de la solution. Dans la section de la prose, la forme (et donc sa m??morisation) n'a pas ??t?? jug?? aussi important que les id??es impliqu??es. Tous les travaux math??matiques ont ??t?? transmis oralement jusqu'?? environ 500 BCE; par la suite, elles ont ??t?? transmises oralement et sous forme de manuscrit. Le plus ancien document math??matique existant produite sur le sous-continent indien est l'??corce de bouleau Bakhshali Manuscrit, d??couvert en 1881 dans le village de Bakhshali, pr??s de Peshawar (aujourd'hui Pakistan ) et est susceptible de la septi??me si??cle de notre ??re.

Un point de rep??re plus tard en math??matiques indienne a ??t?? le d??veloppement de la d??veloppements en s??rie pour les fonctions trigonom??triques (sinus, cosinus, et arc tangente) par les math??maticiens de la Ecole Kerala au XVe si??cle de notre ??re. Leur travail remarquable, achev??e deux si??cles avant l'invention de calcul en Europe, ?? condition ce qui est maintenant consid??r?? comme le premier exemple d'une s??rie de puissance (?? l'exception de la s??rie g??om??trique). Cependant, ils ne ont pas ?? formuler une th??orie syst??matique de la diff??renciation et de l'int??gration , et il ne existe aucune preuve directe de leurs r??sultats transmis ?? l'ext??rieur Kerala .

Domaines des math??matiques indienne

Certains des domaines des math??matiques ??tudi??s dans l'Inde antique et m??di??vale sont les suivants:

Arithm??tique : Syst??me d??cimal, nombres n??gatifs (voir Brahmagupta), Z??ro (voir Hindu-Arabe syst??me num??rique), le moderne notation positionnelle syst??me de r??f??rence num??rique , Nombres ?? virgule flottante (voir Ecole Kerala), th??orie des nombres , Infinity (voir Yajur Veda), Nombres transfinis, Les nombres irrationnels (voir Sulba soutras)
G??om??trie : Racines carr??es (voir Bakhshali approximation), racines cubiques (voir Mahavira), Triplets pythagoriciens (voir Sulba Sutras; Baudhayana et Etat du Apastamba de th??or??me de Pythagore sans preuve), Transformation (voir Panini), le triangle de Pascal (voir Pingala)
Alg??bre : ??quations du second degr?? (voir Sulba soutras, Aryabhata, et Brahmagupta), ??quations cubiques (voir Mahavira et Bhaskara), ??quations quartiques (des ??quations biquadratiques, voir Mahavira et Bhaskara)
Logique math??matique: Grammaires formelles, th??orie des langages formels, le Panini-forme Backus (voir Panini), Recursion (voir Panini)
Math??matiques g??n??rales: nombres de Fibonacci (voir Pingala), premi??res formes de Code Morse (voir Pingala), logarithmes , indices (voir Jaina math??matiques), algorithmes , Algorism (voir Aryabhata et Brahmagupta)
Trigonom??trie : fonctions trigonom??triques (voir Surya Siddhanta et Aryabhata), S??ries trigonom??triques (voir Madhava et Ecole Kerala)

Math??matiques indiennes montrent de nombreuses fa??ons diff??rentes de la culture indienne.

Harappan Math??matiques (2600 BCE - 1700 avant notre ??re)

La premi??re preuve de l'utilisation des math??matiques dans Asie du Sud est dans les artefacts de la civilisation de l'Indus (IVC), ??galement appel?? la civilisation harapp??enne. Fouilles ?? Harappa, Mohenjo Daro (Pakistan) et d'autres endroits dans le fleuve Indus vall??e ont d??couvert des preuves de l'utilisation des math??matiques pratiques. Les habitants de la VCI fabriqu??s briques dont les dimensions ??taient dans la proportion 4: 2: 1, consid??r?? comme favorable ?? la stabilit?? d'une structure de briques. Ils ont utilis?? un syst??me normalis?? de pond??rations fond??es sur les ratios: 20/01, 10/01, 05/01, 02/01, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 et 500, ?? l'unit?? poids ??gal ?? environ 28 grammes (et approximativement ??gale ?? la onces anglais ou uncia grec). Ils ont produit de masse poids dans r??guliers g??om??triques formes, qui comprenait hexa??dres, barils, c??nes, et cylindres, d??montrant ainsi la connaissance de base la g??om??trie .

Les habitants de la civilisation de l'Indus ont ??galement essay?? de normaliser la mesure de la longueur ?? un haut degr?? de pr??cision. Ils ont con??u un -dont unit?? de longueur de la r??gle-du Mohenjo Daro de la r??gle (environ 1,32 pouces ou 3,4 cm) a ??t?? divis?? en dix parties ??gales. Briques fabriqu??es dans l'ancienne Mohenjo Daro ont souvent des dimensions qui ??taient multiples int??graux de cette unit?? de longueur.

La tradition orale math??matique

Les math??maticiens de l'ancienne et au d??but de l'Inde m??di??vale ??taient presque tous sanscrit pandits (PANDITA "savant homme"), qui ont ??t?? form??s dans la langue et la litt??rature sanskrite, et poss??dait "un stock commun de connaissances en grammaire ( Vyakarana), ex??g??se ( Mimamsa) et logique ( Nyaya). "M??morisation de" ce qui est entendu "( Sruti en sanskrit) ?? travers la r??citation a jou?? un r??le majeur dans la transmission des textes sacr??s de l'Inde ancienne. M??morisation et la r??citation a ??galement ??t?? utilis??s pour transmettre des ??uvres philosophiques et litt??raires, ainsi que des trait??s sur le rituel et la grammaire. Les savants modernes de l'Inde ancienne ont not?? les "r??alisations vraiment remarquables des pandits indiens qui ont conserv?? ??norm??ment textes volumineux oralement depuis des mill??naires."

Styles de m??morisation

Prodigieuse ??nergie a ??t?? d??pens??e par la culture indienne ancienne pour se assurer que ces textes ont ??t?? transmis de g??n??ration en g??n??ration avec une fid??lit?? excessive. Par exemple, la m??morisation du sacr?? V??das inclus jusqu'?? onze formes de r??citation du m??me texte. Les textes ont ensuite ??t?? "relecture" en comparant les diff??rentes versions cit??es. Les formes de r??citation inclus la JATA-Path?? (litt??ralement ??de la r??citation de maille") dans lequel tous les deux mots adjacents dans le texte ont d'abord ??t?? r??cit??s dans leur ordre original, puis r??p??t??es dans l'ordre inverse, et enfin ?? nouveau r??p??t?? dans l'ordre original. La r??citation a donc proc??d?? comme suit:

word1word2, word2word1, word1word2; word2word3, word3word2, word2word3; ...

Dans une autre forme de r??citation, dvaja-Path?? (litt??ralement ??la r??citation du pavillon??) une s??quence de N mots ??taient r??cit??s (et m??moris??) en associant les deux premiers et les deux derniers mots, puis proc??der comme suit:

word1word2, mot (N-1) wordN; word2word3, mot (N-3) mot (N-2); ...; mot (N-1) wordN, word1word2;

La forme la plus complexe de la r??citation, le ghana-Path?? (litt??ralement ??r??citation dense"), selon (. Filliozat 2004, p 139), a pris la forme:

word1word2, word2word1, word1word2word3, word3word2word1, word1word2word3; word2word3, word3word2, word2word3word4, word4word3word2, word2word3word4; ...

Que ces m??thodes ont ??t?? efficaces, est t??moign?? par la pr??servation de la plus ancienne texte religieux indien, le Rgveda ( ca. 1500 BCE), comme un texte unique, sans lectures variantes. Des proc??d??s similaires ont ??t?? utilis??s pour m??moriser des textes math??matiques, dont la transmission est rest?? exclusivement orale jusqu'?? la fin de la P??riode v??dique (environ 500 avant notre ??re).

Le Sutra Genre

L'activit?? math??matique dans l'Inde ancienne a commenc?? comme une partie d'une "r??flexion m??thodologique" sur le sacr?? V??das, qui a pris la forme de travaux appel?? Vedangas, ou ??Auxiliaires du Veda?? (7e au 4e si??cle avant notre ??re). La n??cessit?? de conserver le son du texte sacr?? par l'utilisation de Siksa ( phon??tique) et (Chandas m??triques); de conserver son sens par l'utilisation de Vyakarana ( grammaire) et Nirukta ( ??tymologie); et ?? ex??cuter correctement les rites au bon moment par l'utilisation de kalpa ( rituel) et jyotiṣa ( astronomie ), a donn?? lieu ?? six disciplines de la Vedangas. Math??matiques surgi comme une partie des deux derni??res disciplines, le rituel et l'astronomie (qui comprenait ??galement l'astrologie). Depuis le Vedangas imm??diatement pr??c??d?? l'utilisation de l'??criture dans l'Inde ancienne, ils ont form?? le dernier de la litt??rature exclusivement orale. Ils ont ??t?? exprim??es dans une forme mn??monique hautement compress??, le Sutra (litt??ralement, "thread"):

Les connaisseurs du Sutra connaissent comme ayant quelques phon??mes, ??tant d??pourvu d'ambigu??t??, contenant l'essence, face ?? tout ce qui, ??tant sans pause et irr??prochable.

Extr??me bri??vet?? a ??t?? atteint gr??ce ?? de multiples moyens, qui comprenaient l'aide points de suspension "au-del?? de la tol??rance du langage naturel,?? en utilisant des noms techniques au lieu des noms plus descriptifs, abr??geant listes que de mentionner les premi??res et les derni??res entr??es, et en utilisant des marqueurs et des variables. Les sutras cr??er l'impression que la communication par le texte ??tait "une partie seulement de l'ensemble instruction. Le reste de l'instruction doit avoir ??t?? transmis par la soi-disant Guru-shishya parampara, "succession ininterrompue de ma??tre (guru) ?? l'??tudiant (sisya), 'et ce ne ??tait pas ouvert au grand public secr??te" et peut-??tre m??me gard??. La bri??vet?? r??alis??s dans un sutra est d??montr?? dans l'exemple suivant de l'Baudhayana Sulba Sutra (700 BCE).

La conception de l'autel de feu domestique dans le S??tra Sulba

Le feu-autel domestique dans le P??riode v??dique a ??t?? requise par le rituel d'avoir une base carr??e et ??tre constitu?? de cinq couches de briques avec 21 briques dans chaque couche. Une m??thode de construction de l'autel ??tait de diviser un c??t?? de la place en trois parties ??gales aide d'un cordon ou de la corde, de diviser ensuite la transversale (ou perpendiculaire) c??t?? en sept parties ??gales, et ainsi sous-diviser le carr?? en 21 rectangles congruents . Les briques ont alors ??t?? con??us pour ??tre de la forme du rectangle constituant la couche et a ??t?? cr????. Pour former la couche suivante, la m??me formule a ??t?? utilis??e, mais les briques sont dispos??es transversalement. Le processus a ensuite ??t?? r??p??t?? trois fois (avec les directions altern??es) afin de compl??ter la construction. Dans le Baudhayana Sulba S??tra, cette proc??dure est d??crite dans les termes suivants:

"II.64. Apr??s divisant le quadri-lat??ral sur sept, une divise la transversale [cordon] sur trois.
II.65. Dans une autre couche on place le [briques] Nord-pointage. "

Selon (Filliozat 2004, p 144.), Le c??l??brant la construction de l'autel a seulement quelques outils et mat??riaux ?? sa disposition: un cordon (. Sanscrit, rajju, f), deux chevilles (. Sanscrit, Sanku, m), et argile pour faire les briques (sanscrit, iṣṭakā, f.). Concision est r??alis?? dans le Sutra, en ne mentionnant pas explicitement ce que l'adjectif ??transversal?? qualifie; Toutefois, ?? partir de la forme f??minine du (sanskrit) adjectif utilis??, il est facile de d??duire de se qualifier "cordon". De m??me, dans la deuxi??me strophe, ??briques?? ne sont pas explicitement mentionn??s, mais d??duits ?? nouveau par le pluriel f??minin de ??Nord-pointage." Enfin, la premi??re strophe, dit jamais explicitement que la premi??re couche de briques sont orient??es dans le sens Est-Ouest, mais cela aussi est impliqu??e par la mention explicite du "Nord-pointage" dans la deuxi??me strophe; car, si l'orientation devait ??tre le m??me dans les deux couches, il serait soit pas mentionn?? du tout, ou seulement ??tre mentionn?? dans la premi??re strophe. Toutes ces d??ductions sont faites par le c??l??brant comme il rappelle la formule de sa m??moire.

P??riode v??dique (1500 BCE - 400 BCE)

Les textes religieux de la P??riode v??dique fournir des preuves de l'utilisation de un grand nombre. Au moment de la derni??re Veda, le Yajurvedasaṃhitā (1200-900 BCE), nombres aussi ??lev??s que $10 ^ {12}$ ??taient inclus dans les textes. Par exemple, le mantra (formule sacrificielle) ?? la fin de l'annahoma (??nourriture offrande rite") effectu??e au cours de la Asvamedha (le ??sacrifice du cheval??), et prononc?? juste avant-, during-, et juste apr??s le lever du soleil, invoque puissances de dix de cent ?? un trillion:

"Hail to SATA (" cents " $10 ^ 2$ ), La gr??le ?? sahasra ("mille" $10 ^ 3$ ), La gr??le ?? Ayuta (??dix mille??, $10 ^ 4$ ), La gr??le ?? niyuta (??cent mille??, $10 ^ 4$ ), La gr??le ?? prayuta ("millions" $10 ^ 6$ ), La gr??le ?? arbuda ("dix millions" $10 ^ 7$ ), La gr??le ?? nyarbuda ("centaines de millions," $10 ^ 8$ ), La gr??le Samudra ("milliards" $10 ^ 9$ , Litt??ralement ??oc??an??), gr??le madhya ("dix milliards," $10 ^ {10}$ , Litt??ralement ??milieu??), gr??le anta (??centaines de milliards??, $10 ^ {11}$ , Allum??, "fin"), la gr??le ?? parardha (??un billion," $10 ^ {12}$ allum??e, ??au-del?? des parties"), ?? l'aube de la gr??le (CUA), la gr??le au cr??puscule (vyuṣṭi), la gr??le ?? celui qui va augmenter (udeṣyat), salut ?? celui qui est ?? la hausse (udyat), la gr??le ?? celle qui vient de se lever (udita), la gr??le vers le ciel (svarga), la gr??le au monde (loka), la gr??le ?? tous ".

Le Satapatha Brahmane (9e si??cle avant notre ??re) contient des r??gles pour les constructions g??om??triques rituelles qui sont semblables aux Sulba Sutras.

Sulba S??tras

Le Sulba S??tras (litt??ralement, "Aphorismes des Accords?? dans Sanskrit v??dique) (c. 700-400 Les r??gles BCE) de la liste pour la construction des autels de feu sacrificiel. La plupart des probl??mes math??matiques consid??r??s au printemps Sulba S??tras de "une seule exigence th??ologique," celui de construire des autels du feu qui ont diff??rentes formes, mais occupent la m??me zone. Les autels ont ??t?? n??cessaires pour construire de cinq couches de briques cuites, avec la condition suppl??mentaire que chaque couche composent de 200 briques et qu'aucune deux couches adjacentes ont des arrangements congruentes de briques.

Selon (Hayashi, 2005, p. 363), les sutras Sulba contiennent "l'expression verbale existant plus t??t du th??or??me de Pythagore dans le monde, m??me se il avait d??j?? ??t?? appel?? ?? la Old Babyloniens. "

La corde diagonale (akṣṇayā-rajju) d'un oblong (rectangle) qui produit ?? la fois le flanc (pārśvamāni) et l'horizontale (tiryaṇmānī) produire s??par??ment. "

Depuis la d??claration est un sutra, il est n??cessairement comprim?? et ce que les cordes produisent ne est pas ??labor??, mais le contexte implique clairement les domaines carr??s construits sur leurs longueurs, et aurait ??t?? expliqu?? de mani??re par l'enseignant ?? l'??l??ve.

Ils contiennent des listes de Triplets pythagoriciens, qui sont des cas particuliers de ??quations diophantiennes. Ils contiennent ??galement des d??clarations (qui avec le recul que nous savons ??tre approximative) ?? propos de la quadrature du cercle et ??le tour de la place."

Baudhayana (. C 8e si??cle avant notre ??re) a compos?? la Baudhayana Sulba Sutra, le plus connu Sutra Sulba, qui contient des exemples de triplets pythagoriciens simples, tels que: $(3, 4, 5)$ , $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ , $(7, 24, 25)$ Et $(12, 35, 37)$ ainsi qu'un ??nonc?? du th??or??me de Pythagore pour les c??t??s d'un carr??: ??La corde qui se ??tire ?? travers la diagonale d'un carr?? en r??sulte une zone doubler la taille de la place d'origine." Il contient ??galement l'??tat g??n??ral du th??or??me de Pythagore (pour les c??t??s d'un rectangle): ". La corde tendue le long de la longueur de la diagonale d'un rectangle pr??sente une surface dont les c??t??s verticaux et horizontaux forment ensemble" Baudhayana donne une formule pour le racine carr??e de deux,

$\ Sqrt {2} = 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {3 \ cdot4} - \ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34} \ environ 1,4142156 \ cdots$

La formule est exacte jusqu'?? cinq d??cimales, la valeur r??elle $1.41421356 \ cdots$ Cette formule est une structure semblable ?? la formule trouv??e sur une tablette m??sopotamienne de la p??riode pal??o-babylonienne (1900-1600 BCE):

$\ Sqrt {2} = 1 + \ frac {24} {60} + \ frac {51} {60} ^ 2 + \ frac {10} {60} ^ 3 = 1,41421297.$

qui exprime $\ Sqrt {2}$ dans le syst??me sexag??simal, et qui est trop pr??cise jusqu'?? 5 d??cimales (apr??s arrondissement).

Selon math??maticien SG Dani, la tablette cun??iforme babylonienne Ca. Plimpton 322 ??crite 1850 BCE "contient quinze triplets pythagoriciens avec assez grandes entr??es, dont 13 500 (12 709,, 18541) qui est un triple primitif, indiquant, en particulier, qu'il y avait connaissance approfondie sur le sujet" en M??sopotamie en 1850 BCE. "Depuis ces comprim??s sont ant??rieurs ?? la p??riode Sulbasutras par plusieurs si??cles, en tenant compte de l'aspect contextuelle de certains des triplets, il est raisonnable de se attendre ?? ce que la compr??hension similaire aurait ??t?? l?? en Inde." Dani poursuit en disant:

"Comme ce ??tait le principal objectif de la Sulvasutras pour d??crire les constructions d'autels et les principes g??om??triques qui y participent, le sujet des triplets pythagoriciens, m??me si elle avait ??t?? bien comprise peut toujours pas avoir pr??sent?? dans le Sulvasutras. L'apparition des triplets dans le Sulvasutras est comparable aux math??matiques que l'on peut rencontrer dans un livre d'introduction sur l'architecture ou d'une autre zone d'application similaire, et ne correspondrait pas directement ?? l'ensemble des connaissances sur le sujet ?? ce moment-l??. Depuis, malheureusement, pas d'autres sources contemporaines ont ??t?? trouv??s il peut ne jamais ??tre possible de r??gler cette question de fa??on satisfaisante ".

Dans les trois Sulba Sutras ont ??t?? compos??es. Les deux autres, le Manava Sulba Sutra compos??e par Manava (fl. 750-650 BCE) et le Apastamba Sulba Sutra, compos??e par Apastamba (c. 600 avant notre ??re), contenait des r??sultats similaires ?? l'Baudhayana Sulba Sutra.

Vyakarana

Une ??tape importante de la p??riode v??dique fut l'??uvre de Grammairien sanscrit, Pāṇini (c. 520-460 BCE). Sa grammaire comprend l'utilisation pr??coce de la logique bool??enne , de la op??rateur nulle, et grammaires libres de contexte, et comprend un pr??curseur de la Forme Backus-Naur (utilis??s dans la description des langages de programmation ).

Jaina Math??matiques (400 BCE - 200 CE)

Bien que Ja??nisme comme une religion et de la philosophie ant??rieure ?? son plus c??l??bre repr??sentant, Mahavira ( 6??me si??cle avant JC), qui ??tait un contemporain de Bouddha Gautama , la plupart des textes de Jaina sur topcs math??matiques ont ??t?? compos?? apr??s la 6e si??cle avant notre ??re. Jaina math??maticiens sont historiquement important que des liens cruciaux entre les math??matiques de la p??riode v??dique et celle de la ??p??riode classique."

Une contribution historique significative de Jaina math??maticiens r??side dans leur lib??rant les math??matiques indiennes de ses contraintes religieuses et rituelles. En particulier, leur fascination pour l'??num??ration de tr??s grands nombres et infinis , les conduisit ?? classer num??ros en trois classes: ??num??rables, innombrables et infinie. Non content d'une simple notion de l'infini, ils sont all??s ?? d??finir cinq types diff??rents de l'infini: l'infini dans un sens, l'infini dans les deux sens, l'infini dans la zone, l'infini partout, et l'infini perp??tuellement. En outre, les math??maticiens Jaina con??us pour des puissances notations simples (et exposants) de nombres comme des carr??s et des cubes, ce qui leur a permis de d??finir simples ??quations alg??briques (beezganit samikaran). Math??maticiens Jaina ??taient apparemment aussi le premier ?? utiliser le mot shunya (litt??ralement vide dans le sanskrit ) se r??f??rer ?? z??ro. Plus d'un mill??naire plus tard, leur appellation est devenu le mot anglais "z??ro" apr??s un voyage tortueux de traductions et des transcriptions de l'Inde ?? l'Europe. (Voir z??ro: ??tymologie .)

En plus de Surya Prajnapti important Jaina fonctionne sur les math??matiques comprenaient la Vaishali Ganit (c de BCE 3??me si??cle.); l'Sthananga Sutra (fl 300 BCE - 200 CE.); l'Anoyogdwar Sutra (fl 200 BCE - 100 CE.); et l'Satkhandagama (c. de CE 2??me si??cle). Math??maticiens Jaina importants inclus Bhadrabahu (d 298 av.), L'auteur de deux ouvrages astronomiques, le Bhadrabahavi-Samhita et un commentaire sur l'Surya Prajinapti; Yativrisham Acharya (c 176 avant notre ??re.), Qui a r??dig?? un texte math??matique appel?? Tiloyapannati; et Umasvati (c. 150 BCE), qui, bien que mieux connu pour ses ??crits influents sur la philosophie et Jaina la m??taphysique, compos?? une ??uvre math??matique appel?? Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya.

Pingala

Parmi d'autres savants de cette p??riode qui ont contribu?? ?? les math??matiques, le plus notable est Pingala (pingala) ( fl. 300-200 BCE), un th??oricien de la musique qui a r??dig?? le Chandas Shastra (chandaḥ-śāstra, ??galement Chandas Sutra chandaḥ-s??tra), un sanscrit trait?? sur la prosodie. Il est prouv?? que dans son ouvrage sur l'??num??ration des combinaisons syllabiques, Pingala tr??buch?? ?? la fois du triangle de Pascal et coefficients binomiaux , m??me se il n'a pas eu connaissance de la Bin??me lui-m??me. Le travail de Pingala contient ??galement les id??es de base de nombres de Fibonacci (appel?? maatraameru). Bien que le sutra Chandah n'a pas surv??cu dans son int??gralit??, un commentaire si??cle 10e par Halāyudha a. Halāyudha, qui se r??f??re ?? la triangle de Pascal que Meru-prastāra (litt??ralement "l'escalier Mont Meru "), a ceci ?? dire:

"Dessinez un carr?? partir ?? la moiti?? de la place, tirer deux autres places similaires dessous;. Dessous de ces deux, trois autres places, et ainsi de suite Le marquage devrait commencer par mettre 1 dans le premier carr?? Mettez une dans chacun des.. deux places de la deuxi??me ligne. Dans la troisi??me ligne mis une dans les deux carr??s aux extr??mit??s et, dans le carr?? du milieu, la somme des chiffres dans les deux carr??s situ??s au-dessus. Dans la quatri??me ligne mis une dans les deux places aux extr??mit??s. Au Moyen ceux mis la somme des chiffres dans les deux carr??s dessus de chaque. proc??der de cette fa??on. Parmi ces lignes, la seconde donne les combinaisons avec une syllabe, la troisi??me les combinaisons avec deux syllabes, ... "

Le texte indique ??galement que Pingala ??tait conscient de la combinatoire identit??:

${N \ choisissez 0} + {n \ choisissez 1} + {n \ choisir 2} + \ cdots + {n \ choisissent n-1} + {n \ n choisir} = 2 ^ n$

K??ty??yana

Bien que pas un math??maticien Jaina, K??ty??yana (c. 3e si??cle avant notre ??re) est connu pour ??tre le dernier des math??maticiens v??diques. Il a ??crit le K??ty??yana Sulba Sutra, qui pr??sentait beaucoup g??om??trie , y compris le grand th??or??me de Pythagore et un calcul de la racine carr??e de 2 correcte ?? cinq d??cimales.

La tradition ??crite: Commentaire Prose

Avec la complexit?? croissante des math??matiques et autres sciences exactes, l'??criture et le calcul ont ??t?? tenus. Par cons??quent, de nombreux travaux math??matiques ont commenc?? ?? ??tre ??crit dans les manuscrits qui ont ensuite ??t?? copi??s et recopi??s de g??n??ration en g??n??ration.

"L'Inde est aujourd'hui estim??e ?? environ trente millions manuscrits, le plus grand corps de mat??riel de lecture manuscrite ne importe o?? dans le monde. La culture de l'??crit de la science indienne remonte ?? au moins le cinqui??me si??cle avant JC ... comme le montrent les ??l??ments de m??sopotamienne la litt??rature et l'astronomie pr??sage qui est entr?? en Inde ?? ce moment et (??tait) certainement pas ... pr??serv??s par voie orale. "

Le premier commentaire en prose math??matique, ce est que sur le travail, Aryabhatiya (??crit 499 CE), un travail sur l'astronomie et les math??matiques. La partie math??matique de la Aryabhatiya ??tait compos?? de 33 sūtras (en forme de vers) constitu??s de d??clarations ou de r??gles math??matiques, mais sans preuves. Toutefois, selon (Hayashi 2003, p. 123), ??cela ne signifie pas n??cessairement que leurs auteurs ne ont pas les prouver. Ce est probablement une question de style de l'exposition." A partir du moment de Bhaskara I (600 CE et suivants), commentaires prose plus en plus commenc?? ?? inclure des d??rivations (upapatti). Le commentaire de Bhaskara I sur la Aryabhatiya, avait la structure suivante:

R??gle (??soutra??) dans le verset par Aryabhata
Commentaire de Bhāskara I, compos?? de:
- ??lucidation des r??gles (d??rivations ??taient encore rares alors, mais il est devenu plus fr??quent tard)
- Exemple (uddeśaka) g??n??ralement en vers.
- R??glage (Nyasa / sthāpanā) des donn??es num??riques.
- Travail (Karana) de la solution.
- V??rification (pratyayakaraṇa, litt??ralement ??faire condamnation??) de la r??ponse. Ils sont devenus rares par les 13??me si??cle, les d??rivations ou des preuves ??tant favoris?? par l??.

Typiquement, pour ne importe quel sujet math??matique, les ??l??ves de l'Inde ancienne premi??re m??moris??s les sutras, qui, comme expliqu?? pr??c??demment, ??taient ??d??lib??r??ment inad??quate" dans les d??tails explicatifs (afin de transmettre de mani??re concise les r??gles math??matiques nu-os). Les ??l??ves ont ensuite travaill?? ?? travers les th??mes du commentaire en prose par ??crit (et dessiner des diagrammes) sur chalk- et de poussi??re-conseils (c.-conseils couverts de poussi??re). Cette derni??re activit??, un aliment de base de travail math??matique, ??tait d'invite tard math??maticien astronome, Brahmagupta ( fl. 7e si??cle de notre ??re), pour caract??riser les calculs astronomiques que "le travail de la poussi??re" (sanskrit: dhulikarman).

Chiffres et le syst??me de nombre d??cimal

La plus ancienne existant script utilis?? dans l'Inde ??tait le Sc??nario kharosth?? utilis?? dans le Gandhara la culture du nord-ouest. On pense que cela soit de Origine aram??enne et il ??tait en usage depuis le quatri??me si??cle avant notre ??re au IVe si??cle. Presque simultan??ment, un autre script, le Brahmi, est apparu sur une grande partie du sous-continent, et deviendra plus tard la fondation de nombreux scripts d'Asie du Sud et Asie du Sud-est. Les deux scripts avaient des symboles num??riques et syst??mes de num??ration, qui ??taient initialement pas fond??es sur un syst??me de valeur de. La premi??re preuve datable de l'utilisation du syst??me de valeur de d??cimale en Inde se trouve dans le Yavanajātaka ( ca. 270 CE) du Sphujidhvaja, une versification d'un plus t??t (environ 150 CE) l'adaptation de la prose indienne d'une ??uvre perdue de l'astrologie hell??nistique.

Bakhshali Manuscrit

Le plus ancien manuscrit math??matique existant en Asie du Sud est la Bakhshali Manuscrit, un manuscrit de l'??corce de bouleau ??crit dans ??hybride sanskrit bouddhique" dans le script sarada, qui a ??t?? utilis?? dans la r??gion nord-ouest du sous-continent indien entre le 8e et 12e si??cles de notre ??re. Le manuscrit a ??t?? d??couvert en 1881 par un agriculteur en creusant dans une enceinte en pierre dans le village de Bakhshali, pr??s de Peshawar (alors en Inde britannique et maintenant le Pakistan ). L'auteur est inconnu et maintenant conserv?? dans la Bodleian Library d' Oxford University , le manuscrit a ??t?? diversement du-d??s les "premiers si??cles de l'??re chr??tienne" et aussi tard que entre le 9??me et 12??me si??cle de notre ??re. La CE 7??me si??cle est maintenant consid??r?? comme une date plausible, mais avec la probabilit?? que le "manuscrit dans sa forme actuelle constitue un commentaire ou une copie d'un travail math??matique ant??rieure."

Le manuscrit survivant a soixante-dix feuilles, dont certaines sont en fragments. Son contenu math??matique comprend des r??gles et des exemples, ??crits en vers, en prose, assortis de commentaires, qui comprennent des solutions aux exemples. Les sujets trait??s comprennent arithm??tiques (fractions, des racines carr??es, profits et pertes, l'int??r??t simple, les r??gle de trois, et la fausse position) et l'alg??bre (simultan??e des ??quations lin??aires et ??quations du second degr?? ), et des progressions arithm??tiques. En outre, il ya une poign??e de probl??mes g??om??triques (y compris les probl??mes concernant les volumes de solides irr??guliers). Le manuscrit Bakhshali ??galement "utilise un syst??me lieu de valeur d??cimale avec un point z??ro." Beaucoup de ses probl??mes sont les probl??mes dits p??r??quation qui conduisent ?? des syst??mes d'??quations lin??aires. Un exemple de fragment III-5-3v est la suivante:

??Un marchand a sept chevaux de Asava, un deuxi??me a neuf chevaux de Haya, et un troisi??me a dix chameaux. Ils sont ??galement bien nantis de la valeur de leurs animaux si chacun donne deux animaux, un pour chacun des autres. Trouver le prix de chaque animal et la valeur totale pour les animaux poss??d??es par chaque marchand ".

Le commentaire en prose accompagnant l'exemple r??sout le probl??me en le convertissant en trois (sous-d??termin??) ??quations dans quatre inconnues et en supposant que les prix sont tous les entiers.

P??riode classique (400 - 1200)

Cette p??riode est souvent connu comme l'??ge d'or de math??matiques indiennes. Cette p??riode a vu math??maticiens tels que Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhaskara I, Mahavira, et Bhaskara II donner une forme plus large et plus claire ?? de nombreuses branches des math??matiques. Leurs contributions seraient ??tendre ?? l'Asie , le Moyen-Orient , et finalement ?? l'Europe . Contrairement math??matiques v??diques, leurs travaux comprenaient deux contributions astronomiques et math??matiques. En fait, les math??matiques de cette p??riode a ??t?? inclus dans la ??science astrale?? (de jyotiḥśāstra) et se composait de trois sous-disciplines: sciences math??matiques (de ganita ou tantra), horoscope astrologie (Hora ou jātaka) et la divination (samhita). Cette division tripartite est vu dans VIe si??cle de Varahamihira compilation- Pancasiddhantika (litt??ralement panca, ??cinq??, Siddhānta, ??conclusion de la d??lib??ration", en date du 575 CE) -de cinq ??uvres ant??rieures, Surya Siddhanta, Romaka Siddhanta, Paulisa Siddhanta, Vasishtha Siddhanta et Paitamaha Siddhanta, qui ??taient des adaptations d'??uvres encore plus t??t l'astronomie m??sopotamienne, grecque, ??gyptienne, romaine et indienne. Comme expliqu?? pr??c??demment, les principaux textes ont ??t?? compos??s en sanscrit verset, et ont ??t?? suivis par des commentaires en prose.

Ve et VIe si??cles

Surya Siddhanta

Bien que son auteur est inconnu, la Surya Siddhanta (c. 400) contient les racines de moderne trigonom??trie . Certains auteurs consid??rent que sa a ??t?? ??crit sous l'influence de la M??sopotamie et de la Gr??ce. Mais selon Flavius Filostratus enregistre Pythagore dans le 5??me si??cle avant JC et Apollonius de Tyane au 1er si??cle de notre ??re est all?? ??tudier dans India.Furthermore n'y a aucune preuve difficile de prouver que les math??maticiens grecs avaient une forte influence sur l'astronomie grecque.

Ce texte ancien utilise ce qui suit comme des fonctions trigonom??triques pour la premi??re fois:

Sine (Jya).
Cosinus (Kojya).
Sinus inverse (Otkram de jya).

Il contient ??galement les premi??res utilisations de:

Tangent .
Secant.

Les cycles de temps cosmologiques hindous expliqu??es dans le texte, qui a ??t?? copi?? ?? partir d'un travail ant??rieur, donne:
- La dur??e moyenne de la ann??e sid??rale que 365.2563627 jours, soit seulement 1,4 secondes de plus que la valeur moderne de 365,2563627 jours.
- La dur??e moyenne de la ann??e tropicale 365.2421756 jours, ce qui est seulement 2 secondes plus courte que la valeur moderne de 365,2421988 jours.

Plus tard math??maticiens indiens comme Aryabhata faites r??f??rences ?? ce texte, tandis que plus tard arabes et latino traductions ??taient tr??s influente en Europe et au Moyen-Orient.

Calendrier Chhedi

Ce calendrier Chhedi (594) contient une utilisation pr??coce de la modernit?? de valeur de Hindu-Arabe syst??me de num??ration maintenant utilis?? universellement (voir aussi Chiffres indo-arabes).

Je Aryabhata

Aryabhata (476-550) a ??crit la Aryabhatiya. Il a d??crit les importants principes fondamentaux des math??matiques en 332 shlokas. Le trait?? contient:

??quations du second degr??
Trigonom??trie
La valeur de π , correcte ?? quatre d??cimales.

Aryabhata a ??galement ??crit le Siddhanta Arya, qui est maintenant perdu. Les contributions des Aryabhata comprennent:

Trigonom??trie:

Introduit les fonctions trigonom??triques .
D??fini le sinus (jya) que la relation moderne entre une demi-angle et un demi accord.
D??fini le cosinus (kojya).
D??finition de la Versine (ukramajya).
D??fini le sinus inverse (otkram jya).
Gave m??thodes de calcul de leurs valeurs num??riques approximatives.
Contient les premiers tableaux de valeurs de sinus, cosinus et Versine, ?? 3,75 ?? intervalles de 0 ?? ?? 90 ??, 4 d??cimales de pr??cision.
Contient le p??ch?? trigonom??trique formule (n + 1) x - sin nx = sin nx - sin (n - 1) x - (1/225) sin nx.
Trigonom??trie sph??rique.

Arithm??tique:

Fractions continues.

Alg??bre:

Solutions d'??quations du second degr?? simultan??es.
Solutions de nombre entier d'équations linéairespar une méthode équivalente à la méthode moderne.
Solution générale de l'équation linéaire indéterminée.

L'astronomie mathématique:

Proposé pour la première fois, unhéliocentrique système solaireavec les planètes tournant sur ??????leursaxes et après unelliptiqueorbite autour du Soleil
Des calculs précis pour les constantes astronomiques, comme le:
- Éclipse solaire.
- L'éclipse lunaire.
- La formule pour la somme descubes, ce qui était une étape importante dans le développement du calcul intégral.

Calcul:

Infinitesimals:
- Dans le cadre de l'élaboration d'une cartographie précise de l'éclipse lunaire, Aryabhatta a été obligé d'introduire le concept de infinitésimales (tatkalika gati) pour désigner le mouvement quasi instantanée de la lune.
Équations différentielles:
- Il a exprimé le mouvement quasi instantanée de la lune sous la forme d'une équation différentielle de base.
Fonction exponentielle:
- Il a utilisé lafonction exponentielle edans son équation différentielle du mouvement quasi instantanée de la lune.

Varahamihira

Varahamihira (505-587) a produit le Pancha Siddhanta ( Les Cinq Canons astronomiques ). Il a fait d'importantes contributions à la trigonométrie , y compris les sinus et cosinus tables à 4 décimales de précision et les formules suivantes relatives sinus et cosinus fonctions:

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

$\ Sin (x) = \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} -x \ right)$

$\ frac {1- \ cos (2x)} {2} = \ sin ^ 2 (x)$

Septi??me et huiti??me si??cles

Le th??or??me de Brahmagupta stipule que AF = FD.

Au septi??me si??cle, deux domaines distincts, l'arithm??tique (qui comprenait mensuration ) et l'alg??bre , a commenc?? ?? ??merger en math??matiques indiennes. Les deux champs qu'on appellera plus tard Pati-ganita (litt??ralement ??les math??matiques d'algorithmes??) et BIJA-ganita (litt??ralement "les math??matiques de graines??, avec ??graines?? -comme les graines de plantes-repr??sentant inconnues avec le potentiel de g??n??rer, dans ce cas, les solutions d'??quations). Brahmagupta, dans son travail astronomique Brahma Sphuṭa Siddhānta (628 CE), inclus deux chapitres (12 et 18) consacr??s ?? ces domaines. Chapitre 12, contenant 66 versets en sanskrit, a été divisé en deux sections: "les opérations de base" (y compris les racines cubiques, les fractions, rapport et proportions, et de troc) et «mathématiques pratiques» (y compris les mélanges, série mathématique, figures planes, des briques d'empilage, sciage du bois, et l'empilage de céréales). Dans ce dernier article, il a déclaré son célèbre théorème sur les diagonales d'un quadrilatère cyclique:

Le th??or??me de Brahmagupta: Si un quadrilatère cyclique a diagonales qui sontperpendiculaires l'un à l'autre, alors la ligne perpendiculaire tracée à partir du point d'intersection des diagonales de n'importe quel côté du quadrilatère bissecte toujours du côté opposé.

Chapitre 12 comprend également une formule de l'aire d'un quadrilatère cyclique (une généralisation dela formule de Heron), ainsi qu'une description complète detriangles rationnels (c.-à-triangles dont les côtés sont rationnels et les zones rationnels).

La formule de Brahmagupta:La zone,A, d'unquadrilatère cyclique avec des côtés de longueursde,b,c,d, respectivement, est donnée par

$A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

oùs, l'semiperimeter, donnée par: $s=\frac{a+b+c+d}{2}.$

Théorème de Brahmagupta sur triangles rationnels:Un triangle dont les côtés rationnels $a, b, c$ et rationnelle zone est de la forme:

$a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w)$

pour certains nombres rationnels $u, v,$ et $w$ .

Chapitre 18 contenait 103 versets en sanskrit qui a commencé avec les règles pour les opérations arithmétiques impliquant zéro et les nombres négatifs et est considéré comme le premier traitement systématique du sujet. Les règles (qui inclus $a + 0 = \ a$ et $a \times 0 = 0$ ) étaient tous corrects, à une exception près: $\frac{0}{0} = 0$ . plus tard dans le chapitre, il a donné la première solution explicite (bien que pas encore tout à fait général) de l' équation quadratique :

$\ ax^2+bx=c$

Pour le nombre absolu multiplié par quatre fois la [coefficient de la] place, ajouter le carré de la [coefficient de la] à moyen terme; la racine carrée de la même, moins le [coefficient de la] à moyen terme, étant divisée par deux fois le [coefficient de la] carré est la valeur. ( Brahmasphutasiddhanta (traduction Colebrook, 1817, Page 346)

Ceci est équivalent à:

$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}$

Aussi dans le chapitre 18, Brahmagupta était en mesure de faire des progrès dans la recherche de solutions (intégrale) de l'équation de Pell,

$\ x^2-Ny^2=1,$

o?? $N$ est un nombre entier non carrés. Il l'a fait en découvrant l'identité suivante:

Brahmagupta de l'identité: $\ (x^2-Ny^2)(x'^2-Ny'^2) = (xx'+Nyy')^2 - N(xy'+x'y)^2$ qui était une généralisation d'une identité antérieure deDiophante: Brahmagupta utilisé son identité pour prouver le lemme suivant:

Lemme (Brahmagupta):Si $x=x_1,\ \ y=y_1 \ \$ est une solution de $\ \ x^2 - Ny^2 = k_1,$ et, $x=x_2, \ \ y=y_2 \ \$ est une solution de $\ \ x^2 - Ny^2 = k_2,$ , puis:

$x=x_1x_2+Ny_1y_2,\ \ y=x_1y_2+x_2y_1 \ \$ est une solution de $\ x^2-Ny^2=k_1k_2$

Il a ensuite utilisé ce lemme à la fois de générer une infinité de solutions (intégrale) de l'équation de Pell, étant donné qu'une solution, et énoncer le théorème suivant:

Théorème (Brahmagupta):Si l'équation $\ x^2 - Ny^2 =k$ a une solution entière pour une quelconque $\ k=\pm 4, \pm 2, -1$ puis équation de Pell:

$\ x^2 -Ny^2 = 1$

poss??de ??galement une solution enti??re.

Brahmagupta n'a pas réellement prouver le théorème, mais plutôt travaillé sur des exemples utilisant sa méthode. Le premier exemple, il a présenté était:

Exemple (Brahmagupta):Trouver entiers $\ x,\ y\$ tel que:

$\ x^2 - 92y^2=1$

Dans son commentaire, Brahmagupta ajouté, "une personne de résoudre ce problème dans un an est un mathématicien." La solution qu'il était prévu:

$\ x=1151, \ y=120$

Je Bhaskara

Bhaskara I (c. 600-680) a élargi le travail de Aryabhata dans ses livres intitulés Mahabhaskariya , Aryabhattiya Bhashya et Laghu Bhaskariya . Il a produit:

Solutions d'équations indéterminées.
Une approximation rationnelle de lafonction sinus.
Une formule pour calculer le sinus d'un angle aigu sans l'utilisation d'une table, de rectification à 2 décimales.

Neuvième à douzième siècles

Virasena

Virasena (9e siècle) était un mathématicien Jaina dans la cour du roi Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta, Karnataka. Il a écrit le Dhavala , un commentaire sur les mathématiques Jaina, qui:

Offres avec logarithmes à la base 2 (ardhaccheda) et décrit ses lois.
Première utilise logarithmes de fonder 3 (trakacheda) et la base 4 (caturthacheda).

Virasena également donné:

La dérivation de lavolumiqued'untronc de cône par une sorte de procédure infini.

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800-870) de Karnataka, le dernier des mathématiciens Jaina notables, vivait dans le 9ème siècle et a été patronné par le roi Rashtrakuta Amoghavarsha. Il a écrit un livre intitulé Ganit Sarre Sangraha sur les mathématiques numériques, et a également écrit des traités sur un large éventail de sujets mathématiques. Ceux-ci comprennent les mathématiques de:

Zéro.
Squares.
Cubes.
racines carrées,racines cubiques, et lesséries dépassant ceux-ci.
géométrie plane.
Géométrie solide.
Les problèmes liés à la coulée del'ombre.
Formules dérivé pour calculer l'aire d'uneellipseetl'intérieur d'un quadrilatèrecercle

Mahavira aussi:

A affirmé que laracine carréed'unnombre négatifn'a pas existé
A donné la somme d'unesérie dont les termes sontdes carrés d'uneprogression arithmétique, et a donné des règles empiriques pourla zoneet depérimètre d'uneellipse.
Équations cubiques résolu.
Équations quartiques résolu.
Résolu certaineséquations quintiques et d'ordre supérieurpolynômes.
Gave les solutions générales des équations polynomiales d'ordre supérieur:
- $\ ax^n = q$
- $a \frac{x^n - 1}{x - 1} = p$
Équations du second degré indéterminées résolu.
Équations cubiques indéterminées résolu.
Résolu indéterminées équations d'ordre supérieur.

Shridhara

Shridhara (c. 870-930), qui a vécu dans le Bengale, a écrit les livres intitulés Nav Shatika , Tri Shatika et Pati Ganita . Il a donné:

Une bonne règle pour trouver levolume ded'unesphère.
La formule pour résoudredes équations du second degré.

Le Pati Ganita est un travail sur l'arithmétique et la mensuration . Il traite de diverses opérations, y compris:

Opérations élémentaires
Extraction de racines carrées et cubiques.
Les fractions.
Huit règles données pour les opérations impliquant zéro.
Méthodes desommation de l'arithmétique différent et série géométrique, qui devait devenir références standard dans les ??uvres ultérieures.

Manjula

Les équations différentielles de Aryabhata ont été élaborés dans le 10ème siècle par Manjula (égalementMunjala), qui a réalisé que l'expression

$\ \sin w' - \sin w$

peut être exprimée approximativement comme

$\ (w' - w)\cos w$

Il a compris le concept de différenciation après la résolution de l'équation différentielle qui a résulté de la substitution de cette expression dans l'équation différentielle de Aryabhata.

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920 à 1000) a écrit un commentaire sur Shridhara, et un traité d'astronomie Maha-Siddhanta . Le Maha-Siddhanta a 18 chapitres, et discute:

Mathématiques numériques (Ank Ganit).
Algebra.
Solutions d'équations indéterminées (de kuttaka).

Shripati

Shripati Mishra (1019-1066) a écrit les livres Siddhanta Shekhara , un ouvrage majeur sur l'astronomie en 19 chapitres, et Ganit tilaka , incomplète arithmétique traité en 125 versets basé sur une ??uvre de Shridhara. Il a travaillé principalement sur:

Permutations et combinaisons.
Solution générale de l'équation linéaire simultanée indéterminée.

Il était également l'auteur deDhikotidakarana, un travail de vingt versets sur:

LeDhruvamanasaest une ??uvre de 105 versets sur:

Calcul planétaireslongitudes
??clipses.
planétairestransits.

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) l'auteur d'un traité de mathématiques intituléGome-mat Sarre.

Bhaskara II

Bhaskara II (1114-1185) était un mathématicien astronome qui a écrit un certain nombre de traités importants, à savoir le Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam et Karan Kautoohal . Un certain nombre de ses contributions ont ensuite été transmis au Moyen-Orient et en Europe. Ses contributions incluent:

Arithm??tique:

calcul d'intérêt.
Progressions arithmétiques et géométriques.
géométrie plane.
Géométrie solide.
L'ombre de la gnomon.
Solutions de combinaisons.
A donné une preuve de la division parzéroêtreinfini.

Alg??bre:

La reconnaissance d'un nombre positif ayant deux racines carrées.
Sourdes.
Opérations avec des produits de plusieurs inconnues.
Les solutions consistant à:
- Équations du second degré.
- Équations cubiques.
- Équations du quatrième degré.
- Les équations ayant plus d'une inconnue.
- Équations du second degré avec plus d'une inconnue.
- La forme générale del'équation de Pell utilisant le chakravalaméthode.
- L'équation quadratique générale et indéterminée en utilisant lechakravalaméthode.
- Équations cubiques indéterminée.
- Équations quartiques indéterminée.
- Indéterminée ordre supérieurpolynômeséquations.

Géométrie:

A donné une preuve de lathéorème de Pythagore.

Calcul:

Conçue le calcul diff??rentiel.
Découvert ledérivé.
Découvert lecoefficient différentiel.
D??velopp?? différenciation.
A déclaréle théorème de Rolle, un cas particulier de lathéorème de la moyenne (l'un des plus importants théorèmes de calcul et d'analyse).
Dérivé l'écart de la fonction sinus.
Calculé??, correcte à 5 décimales.
Calculé la longueur de la révolution de la Terre autour du Soleil à 9 décimales.

Trigonom??trie:

Développements detrigonométrie sphérique
Les formules trigonométriques:
- $\ \sin(a+b)=\sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$
- $\ \sin(a-b)=\sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)$

Kerala Mathématiques (1300 - 1600)

Le L'école du Kerala de l'astronomie et les mathématiques a été fondée par Madhava de Sangamagrama dans Kerala , Inde du Sud et comptait parmi ses membres: Parameshvara, Neelakanta Somayaji, Jyeshtadeva, Achyuta Pisharati, Melpathur Narayana Bhattathiri et Achyuta Panikkar. Elle a prospéré entre les 14e et 16e siècles et les découvertes originales de l'école semble avoir pris fin avec Narayana Bhattathiri ( 1559- 1632). En tentant de résoudre des problèmes astronomiques, les astronomes de l'école du Kerala indépendamment créé un certain nombre de concepts mathématiques importants. Les résultats les plus importants, expansion de série pour les fonctions trigonométriques , ont été donnés en sanscrit verset dans un livre par Neelakanta appelé Tantrasangraha et un commentaire sur ce travail appelés Tantrasangraha-vakhya l'auteur est inconnu. Les théorèmes ont été formulées sans preuve, mais les preuves pour la série pour sine , cosinus , et inverse tangente ont été fournis un siècle plus tard dans le travail Yuktibhasa (c.1500-c.1610), écrit en malayalam, par Jyesthadeva, et aussi dans un commentaire sur Tantrasangraha .

Leur découverte de ces trois développements en séries importantes de calcul -plusieurs siècles avant le calcul a été développé en Europe par Isaac Newton et Gottfried Leibniz -Est une réalisation historique dans les mathématiques. Cependant, l'école du Kerala ne peut pas être dit avoir inventé le calcul , parce que, alors qu'ils étaient en mesure de développer Taylor développements en série pour les fonctions trigonométriques importantes, ils ont développé ni une théorie complète de la différenciation ou l'intégration , ni le théorème fondamental du calcul . Les résultats obtenus par l'école Kerala comprennent:

Le (infinie)série géométrique: $\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + \infty$ pour $|x|<1$ Cette formule était déjà connu, par exemple, dans les travaux du mathématicien arabe du 10ème siècleAlhazen (la forme latinisée du nom Ibn Al-Haytham (965-1039)).
Une preuve semi-rigoureux (voir «induction» remarque ci-dessous) du résultat: $1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}$ pour les grands n . Ce résultat a été également connu pour Alhazen.
Utilisation intuitive del'induction mathématique, cependant, l' hypothèse de récurrencen'a pas été formulée ou employé dans les preuves.
Applications d'idées de (ce qui allait devenir) différentiel et intégralcalculpour obtenir(Taylor-Maclaurin) série infiniepour $\sin x$ , $\cos x$ Et $\arctan x$ LeTantrasangraha-vakhyadonne la série en vers, qui, lorsqu'il est traduit en notation mathématique, peut être écrite comme:

$r\arctan(\frac{y}{x}) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,$ o?? $y/x \leq 1.$

$\sin x = x - x\cdot\frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x\cdot \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdot$

$r - \cos x = r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r\cdot \frac{x^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots ,$ où, pour $r = 1$ , réduire la série à la série de puissance standard pour ces fonctions trigonométriques, par exemple:

- $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ et
- $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$
Utilisation de rectification (calcul de longueur) de l'arc de cercle pour donner une preuve de ces résultats. (La méthode de Leibniz plus tard, en utilisant quadrature ( c.-à- calcul de l'aire sous l'arc de cercle, a été pas utilisé.)
L'utilisation de l'expansion de série de $\arctan x$ d'obtenir une expression de série infinie (plus tard connu comme la série Gregory) pour $\ Pi$ :

$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots + \infty$

Une approximation rationnelle de l' erreur pour la somme finie de leur série d'intérêt. Par exemple, l'erreur $f_i(n+1)$ (pour n impair, et i = 1, 2, 3 ) de la série:

$\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)$

o?? $f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.$

Manipulation du terme d'erreur pour dériver une série convergente plus rapide pour $\ Pi$ :

$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots \infty$

Utilisation de la série améliorée afin de dériver une expression rationnelle, $104348/33215$ pour $\ Pi$ corriger jusqu'àneufdécimales,c.-à- $3.141592653$
Utilisez d'une notion intuitive de limite pour calculer ces résultats.
Un semi-rigoureux (voir la remarque sur les limites ci-dessus) la méthode de différenciation de certaines fonctions trigonométriques. Cependant, ils ne formuler la notion de fonction , ou avoir connaissance des fonctions exponentielles ou logarithmiques.

Les travaux de l'école du Kerala ont d'abord été écrits pour le monde occidental par l'Anglais CM Whish en 1835 . Selon Whish, les mathématiciens Kerala avaient « jeté les bases d'un système complet de fluxions »et ces ??uvres abondé" avec des formes et fluxionnels série se trouve dans aucun travail de pays étrangers. " Cependant, les résultats de Whish ont été presque complètement négligés, jusqu'à ce que plus d'un siècle plus tard, quand les découvertes de l'école du Kerala ont été étudiées à nouveau par C. Rajagopal et ses associés. Leur travail comprend des commentaires sur les épreuves de la série arctan dans Yuktibhasa donné dans deux documents, un commentaire sur le 'Yuktibhasa preuve s de la série de sinus et cosinus et deux documents qui fournissent les sanskrits versets du Tantrasangrahavakhya pour la série pour arctan, le péché , et le cosinus (avec traduction anglaise et commentaire).

Les mathématiciens Kerala inclus Narayana Pandit (c. 1340-1400), qui a composé deux ??uvres, un traité d'arithmétique, Ganita Kaumudi , et un traité algébrique, Bijganita Vatamsa . Narayana est aussi pensé pour être l'auteur d'un commentaire élaborée de Bhaskara II Lilavati, intitulé Karmapradipika (ou Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagramma (c. 1340-1425) fut le fondateur de l' école du Kerala. Bien qu'il soit possible qu'il écrivit Karana Paddhati un ouvrage écrit quelque part entre 1375 et 1475, tout ce que nous savons vraiment de son travail provient de travaux des spécialistes ultérieures.

Parameshvara (c. 1370-1460) a écrit des commentaires sur les travaux de Bhaskara I, Aryabhata et Bhaskara II. sa Lilavati Bhasya , un commentaire sur de Bhaskara II Lilavati , contient l'un de ses importantes découvertes: une version du valeur moyenne th??or??me. Nilakantha Somayaji (1444-1544) a composé le Tantra Samgraha (qui ' engendré «un commentaire anonyme tard Tantrasangraha-vyakhya et un autre commentaire par le nom Yuktidipaika , écrit en 1501). Il a élaboré et étendu les contributions de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) était un mathématicien du 16ème siècle du Kerala qui a donné solutions entières à 21 types de systèmes de deux équations algébriques simultanées à deux inconnues. Ces types de toutes les paires possibles de sept équations des formes suivantes:

$\ x + y = a, x - y = b, xy = c, x^2 + y^2 = d, x^2 - y^2 = e, x^3 + y^3 = f, x^3 - y^3 = g$

Pour chaque cas, Citrabhanu a donné une explication et une justification de son règne ainsi que d'un exemple. Certains de ses explications sont algébrique, tandis que d'autres sont géométriques. Jyesthadeva (c. 1500-1575) était un autre membre de l'École Kerala. Son travail a été la clé Yukti-bhasa (écrit en malayalam, la langue régionale du Kerala ). Jyesthadeva présenté des preuves de la plupart des théorèmes mathématiques et série infinie précédemment découverts par Madhava et d'autres mathématiciens Kerala scolaires.

Les accusations de l'eurocentrisme

Il a été suggéré que les contributions aux mathématiques indiennes ont pas été dûment accusé dans l'histoire moderne et que de nombreuses découvertes et inventions par les mathématiciens indiens sont actuellement attribués culturellement à leurs homologues occidentaux, à la suite de l'eurocentrisme. Selon Joseph GG:

[Leur travail] prend en compte certaines des objections soulevées à propos de la trajectoire eurocentrique classique. La prise de conscience [des mathématiques indiennes et arabe] est trop susceptible d'être tempérée par le rejet dédaigneux de leur importance par rapport aux mathématiques grecques. Les contributions d'autres civilisations - notamment la Chine et l'Inde, sont perçus soit comme des emprunteurs à partir de sources grecques ou ayant fait seulement des contributions mineures au développement mathématique mainstream. Une ouverture aux résultats des recherches les plus récentes, en particulier dans le cas des mathématiques indiennes et chinoises, est malheureusement manquant "

L'historien des mathématiques,Florian Cajori, a suggéré qu'il "doutait [s] queDiophante a obtenu son premier aperçu de la connaissance algébrique de l'Inde. "

Plus récemment, comme expliqué dans la section ci-dessus, la série infinie de calcul pour les fonctions trigonométriques (redécouvert par Gregory, Taylor et Maclaurin à la fin du 17ème siècle) ont été décrits (avec des preuves) en Inde, par des mathématiciens de l' école du Kerala, remarquablement quelques deux siècles plus tôt. Certains chercheurs ont récemment suggéré que la connaissance de ces résultats aurait été transmis à l'Europe par la voie du commerce de Kerala par les commerçants et les missionnaires jésuites. Kerala était en contact permanent avec la Chine et l'Arabie, et, à partir d'environ 1500, avec l'Europe. L'existence de voies de communication et une chronologie appropriée certainement faire une telle transmission une possibilité. Cependant, il n'y a aucune preuve directe par voie de manuscrits pertinents qu'une telle transmission a effectivement eu lieu. En effet, selon David Bressoud, "il n'y a aucune preuve que le travail indien de série a été connu au-delà de l'Inde, ou même à l'extérieur du Kerala, jusqu'au XIXe siècle."

Les deux savants arabes et indiens ont fait des découvertes avant la 17ème siècle qui sont maintenant considéré comme une partie du calcul. Cependant, ils ne pouvaient pas, comme Newton et Leibniz étaient, à "combiner plusieurs idées différentes sous les deux thèmes fédérateurs de la dérivée et l' intégrale , montrer le lien entre les deux, et tourner dans le calcul excellent outil de résolution de problème, nous ont aujourd'hui ". Les carrières intellectuelles des deux Newton et Leibniz sont bien documentés et il n'y a aucune indication de leur travail ne pas être leur propre; Cependant, on ne sait pas avec certitude si les immédiats prédécesseurs de Newton et Leibniz », y compris, en particulier, Fermat et de Roberval, a appris de certaines des idées des mathématiciens islamiques et indiennes par des sources nous ne sommes pas conscients maintenant." Ceci est un domaine de recherche actif en cours, en particulier dans les manuscrits des collections de l'Espagne et du Maghreb , de la recherche qui est actuellement poursuivi, entre autres, au Centre National de Recherche Scientifique dans Paris .

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