La th??orie de Galois

??variste Galois (1811-1832)

En math??matiques , plus pr??cis??ment dans l'alg??bre abstraite , la th??orie de Galois, nomm?? d'apr??s ??variste Galois, fournit une connexion entre th??orie des champs et la th??orie des groupes . En utilisant la th??orie de Galois, certains probl??mes en th??orie des champs peuvent ??tre r??duites ?? la th??orie des groupes, qui est en quelque sorte plus simple et mieux compris.

Originaire de Galois utilis?? groupes de permutation pour d??crire comment les diff??rents racines d'une donn??e polyn??me ??quation sont li??s les uns aux autres. L'approche moderne de la th??orie de Galois, d??velopp?? par Richard Dedekind, Leopold Kronecker et Emil Artin, entre autres, consiste ?? ??tudier automorphismes de extensions de terrain.

En outre abstraction de la th??orie de Galois est r??alis??e par la th??orie de connexions de Galois.

Application aux probl??mes classiques

La naissance de la th??orie de Galois a ??t?? motiv??e par la question suivante, dont la r??ponse est connue sous le nom Th??or??me Abel-Ruffini.

"Pourquoi est-il pas de formule pour les racines d'un cinqui??me (ou ult??rieure) degr?? ??quation polynomiale en termes de coefficients du polyn??me, en utilisant uniquement les op??rations habituelles alg??briques (addition, soustraction, multiplication, division) et application des radicaux (racines carr??es , racines cubiques, etc.)? "

La th??orie de Galois ne fournit pas seulement une belle r??ponse ?? cette question, il explique ??galement en d??tail pourquoi il est possible de r??soudre des ??quations de degr?? quatre ou moins de la mani??re ci-dessus, et pourquoi leurs solutions prennent la forme qu'ils font. En outre, il donne un moyen conceptuellement claires, pratiques et souvent, de dire quand une certaine ??quation particuli??re de degr?? sup??rieur peut ??tre r??solu de cette mani??re.

La th??orie de Galois donne aussi un aper??u clair des questions concernant les probl??mes en r??gle et au compas construction. Il donne une caract??risation ??l??gante des rapports de longueurs qui peuvent ??tre construits avec cette m??thode. Avec cela, il devient relativement facile de r??pondre ?? ces probl??mes classiques de la g??om??trie que

??r??guliers Quels polygones sont polygones constructibles? "

"Pourquoi est-il pas possible de trisecter tous les angles? "

Histoire

La th??orie de Galois origine dans l'??tude des fonctions sym??triques - les coefficients d'un polyn??me sont (au signe pr??s) le polyn??mes sym??triques ??l??mentaires dans les racines. Par exemple, (x - a) (x - b) = x ² - (a + b) + x ab, o?? 1, a + b et ab sont des polyn??mes de degr?? 0 ??l??mentaires, une et deux ?? deux variables.

Ce fut d'abord formalis??e par le math??maticien fran??ais du 16e si??cle Fran??ois Vi??te, dans Les formules de Vi??te, pour le cas de racines r??elles positives. De l'avis du math??maticien britannique du 18e si??cle Charles Hutton, l'expression de coefficients d'un polyn??me en termes de racines (non seulement pour les racines positives) a ??t?? entendu par le math??maticien fran??ais du 17e si??cle Albert Girard; Hutton ??crit:

... [Girard ??tait] la premi??re personne qui a compris la doctrine g??n??rale de la formation des coefficients des puissances de la somme des racines et de leurs produits. Il fut le premier qui a d??couvert les r??gles pour sommer les pouvoirs des racines de toute ??quation.

Dans cette veine, le discriminante est une fonction sym??trique dans les racines qui refl??te les propri??t??s des racines - elle est nulle si et seulement si le polyn??me a une racine multiple, et pour les polyn??mes quadratiques et cubiques il est positif si et seulement si toutes les racines sont r??els et distinct, et n??gatif si et seulement se il existe une paire de racines complexes conjugu??es distinctes. Voir Discriminante: nature des racines pour plus de d??tails.

Le cube a d'abord ??t?? en partie r??solu par la 15 / math??maticien italien du 16??me si??cle Scipione del Ferro, qui ne ont cependant pas publier ses r??sultats; cette m??thode seulement r??solu une des trois classes, comme les autres personnes impliqu??es de prendre racines carr??es des nombres n??gatifs et les nombres complexes ne ??taient pas connus ?? l'??poque. Cette solution a ensuite ??t?? red??couvert en 1535 par Niccol?? Fontana Tartaglia, qui a partag?? avec J??r??me Cardan, lui demandant de ne pas publier. Cardano ensuite ??tendu cela aux deux autres cas, en utilisant des racines carr??es de n??gatifs comme des ??tapes interm??diaires; voir les d??tails au La m??thode de Cardan. Apr??s la d??couverte du travail de Ferro, il a estim?? que la m??thode de Tartaglia ne ??tait plus un secret, et donc il a publi?? son solution compl??te dans son 1545 Ars Magna. Son ??l??ve Lodovico Ferrari r??solu le polyn??me quartique, quelle solution Cardano ??galement inclus dans Ars Magna.

Une autre ??tape a ??t?? la 1770 papier R??flexions sur la r??solution des ??quations alg??brique par le math??maticien fran??ais-italien Joseph Louis Lagrange , dans son mode de R??solvantes de Lagrange, o?? il a analys?? la solution de Cardano et Ferrarri des cubiques et quartiques en les consid??rant en termes de permutations des racines, qui a donn?? un polyn??me auxiliaire de degr?? inf??rieur, fournissant une compr??hension unifi??e des solutions et de jeter les bases de la th??orie des groupes et de Galois th??orie. Fondamentalement, cependant, qu'il ne consid??rait pas la composition de permutations. La m??thode de Lagrange ne pas se ??tendre aux ??quations quintiques ou plus, parce que la r??solvante avait degr?? plus ??lev??.

Le quintique ??tait presque prouv?? ne pas avoir de solutions g??n??rales de radicaux par Paolo Ruffini en 1799 , dont l'id??e ma??tresse ??tait d'utiliser groupes de permutation, et pas seulement une seule permutation. Sa solution contenait un ??cart, qui Cauchy consid??r?? comme mineur, mais cela n'a pas ??t?? patch?? jusqu'?? ce que le travail de math??maticien norv??gien Niels Henrik Abel, qui a publi?? une preuve en 1824, ??tablissant ainsi la Th??or??me Abel-Ruffini.

Alors que Ruffini et Abel ??tabli que les quintique g??n??rale ne pouvait ??tre r??solu, certains quintiques particuliers peuvent ??tre r??solus, tels que (x - 1) ^5, et le crit??re pr??cis par lequel un polyn??me quintique ou plus donn?? pourrait ??tre jug??e solvable ou non a ??t?? donn??e par ??variste Galois, qui a montr?? que si un polyn??me est solvable ou non ??tait ??quivalente ?? savoir si ou non le groupe de permutation de ses racines - en termes modernes, son Groupe de Galois - eu une certaine structure - en termes modernes, si oui ou non ce ??tait une groupe r??soluble. Ce groupe ??tait toujours solvable pour les polyn??mes de degr?? quatre ou moins, mais pas toujours aussi pour les polyn??mes de degr?? cinq ans et plus, ce qui explique pourquoi il n'y a pas de solution g??n??rale au plus haut degr??.

L'approche du groupe de permutation ?? la th??orie de Galois

Etant donn?? un polyn??me, il se peut que certaines des racines sont reli??es par diverses ??quations alg??briques. Par exemple, il se peut que pour deux des racines, disent A et B, que A ² + ³ = 5 B 7. L'id??e centrale de la th??orie de Galois est de consid??rer ces permutations (ou r??arrangements) des racines ayant la propri??t?? toute ??quation alg??brique satisfait par les racines est toujours satisfait apr??s les racines ont ??t?? permut??es. Une condition importante est que nous nous limitons ?? des ??quations alg??briques dont les coefficients sont des nombres rationnels . (On pourrait au lieu de sp??cifier un certain domaine dans lequel les coefficients doit mentir, mais, pour les exemples simples ci-dessous, nous allons nous limiter au domaine des nombres rationnels.)

Ces permutations forment ensemble un groupe de permutation, aussi appel?? le Groupe de Galois du polyn??me (sur les nombres rationnels). Pour illustrer ce point, consid??rons les exemples suivants:

Premier exemple - une ??quation quadratique

Prenons l' ??quation quadratique

En utilisant la formule quadratique , nous constatons que les deux racines sont

Exemples d'??quations alg??briques satisfaits par A et B comprennent

et

??videmment, dans l'une de ces ??quations, si nous ??changeons A et B, nous obtenons une autre d??claration vrai. Par exemple, l'??quation A + B = 4 devient tout simplement B + A = 4. En outre, il est vrai, mais beaucoup moins ??vident que cela est possible pour chaque ??quation alg??brique rationnelle coefficients satisfaits par les racines A et B; cela n??cessite de prouver la th??orie de polyn??mes sym??triques.

Nous concluons que le groupe de Galois du polyn??me x ² - 4 x + 1 est constitu?? de deux permutations: l' identit?? permutation qui laisse intacte A et B, et la transposition permutation qui ??change A et B. Il se agit d'un groupe cyclique d'ordre deux, et par cons??quent isomorphe ?? Z / 2 Z.

On pourrait objecter que A et B sont li??s par une autre ??quation alg??brique,

qui ne reste pas vrai lorsque A et B sont ??chang??es. Cependant, cette ??quation ne nous concerne pas, parce qu'il n'a pas coefficients rationnels; en particulier, est pas rationnel.

Un d??bat similaire se applique ?? tout polyn??me ax ² + bx + c quadratique, o?? a, b et c sont des nombres rationnels.

• Si le polyn??me a une seule racine, par exemple x ^2-4 x + 4 = (x-2) ^2, puis le groupe de Galois est sans importance; autrement dit, il ne contient que la permutation identit??.
• Si elle a deux racines rationnelles distinctes, par exemple x ^2-3 x + 2 = (x -2) (x-1), le groupe de Galois est encore n??gligeable.
• Si elle a deux racines irrationnelles (y compris le cas o?? les racines sont complexe ), puis le groupe de Galois contient deux permutations, comme dans l'exemple ci-dessus.

Deuxi??me exemple

Consid??rons le polyn??me

qui peut ??galement se ??crire

Nous tenons ?? d??crire le groupe de Galois de ce polyn??me, ?? nouveau sur le champ de nombres rationnels . Le polyn??me a quatre racines:

Il ya 24 fa??ons possibles de permuter ces quatre racines, mais pas tous de ces permutations sont membres du groupe de Galois. Les membres du groupe de Galois doivent pr??server toute ??quation alg??brique ?? coefficients rationnels impliquant A, B, C et D. Une telle ??quation est

A + D = 0.

Toutefois, ??tant donn??

,

la permutation

(A, B, C, D) → (A, B, D, C)

ne est pas autoris?? (parce qu'il transforme l'??quation valable A + D = 0 dans l'??quation invalide A + C = 0).

Une autre ??quation que les racines satisfont est

Cela exclure d'autres, tels que les permutations

(A, B, C, D) → (A, C, B, D).

Poursuivant dans cette voie, nous constatons que les seules permutations (satisfaisant les deux ??quations simultan??ment) restants sont

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A),

et le groupe de Galois est isomorphe au Groupe de Klein.

L'approche moderne en th??orie des champs

Dans l'approche moderne, on part d'un champ extension L / K (lire: L sur K), et examine le groupe de champ automorphismes de L / K (ceux-ci sont mappages α: L → L avec α (x) = x pour tout x dans K). Voir l'article sur groupes de Galois pour de plus amples explications et des exemples.

La liaison entre les deux approches est la suivante. Les coefficients du polyn??me en question devraient ??tre choisis dans le domaine de base K. Le champ sup??rieur L devrait ??tre le champ obtenu en adjoignant les racines du polyn??me en question dans le champ base. Toute permutation des racines qui respecte les ??quations alg??briques comme d??crit ci-dessus donne lieu ?? une automorphismes de L / K, et vice versa.

Dans le premier exemple ci-dessus, nous avons ??tudi?? l'extension Q (√3) / Q, o?? Q est le domaine des nombres rationnels , et Q (√3) est le champ obtenu ?? partir de Q en adjoignant √3. Dans le deuxi??me exemple, nous avons ??tudi?? l'extension Q (A, B, C, D) / Q.

Il ya plusieurs avantages ?? l'approche moderne ?? l'approche du groupe de permutation.

• Il permet une d??claration beaucoup plus simple de la th??or??me fondamental de la th??orie de Galois.
• L'utilisation de champs de base autres que Q est crucial dans de nombreux domaines des math??matiques. Par exemple, dans th??orie alg??brique des nombres, on fait souvent en utilisant la th??orie de Galois les champs num??riques, champs finis ou champs locaux que le champ de base.
• Il permet d'??tudier plus facilement les extensions infinies. Encore une fois ce qui est important en th??orie alg??brique des nombres, o??, par exemple on discute souvent le groupe absolue de Galois de Q, d??finie comme le groupe de Galois de K / Q o?? K est un cl??ture alg??brique de Q.
• Il permet de tenir compte des extensions ins??parables. Ce probl??me ne se pose pas dans le cadre classique, car il a toujours ??t?? implicitement suppos?? que l'arithm??tique a eu lieu en caract??ristique z??ro, mais caract??ristique non nulle se pose fr??quemment dans la th??orie des nombres et g??om??trie alg??brique.
• Il supprime la d??pendance plut??t artificielle sur la chasse racines de polyn??mes. Ce est, diff??rents polyn??mes peuvent produire les m??mes champs d'extension, et l'approche moderne reconna??t le lien entre ces polyn??mes.

Groupes r??solubles et la solution par les radicaux

La notion de groupe r??soluble dans la th??orie des groupes permet de d??terminer si un polyn??me est soluble dans les radicaux, selon que son groupe de Galois a la propri??t?? de solvabilit??. En substance, chaque champ extension L / K correspond ?? une groupe de facteurs dans un suite de composition du groupe de Galois. Si un groupe de facteur de la s??rie composition est cyclique d'ordre n, puis si l'extension du champ correspondant est une extension d'un champ contenant un racine primitive de l'unit??, il est alors une extension radicale, et les ??l??ments de L peut alors ??tre exprim?? en utilisant le n i??me racine d'un ??l??ment de K.

Si tous les groupes de facteurs dans sa s??rie de composition sont cycliques, le groupe de Galois est appel?? r??soluble, et tous les ??l??ments du champ correspondant peut ??tre trouv??e en prenant plusieurs reprises racines, des produits et des sommes d'??l??ments du champ de base (g??n??ralement Q) .

L'un des grands triomphes de la th??orie de Galois ??tait la preuve que pour tout n> 4, il existe des polyn??mes de degr?? n qui ne sont pas r??soluble par les radicaux-le Th??or??me Abel-Ruffini. Cela est d?? au fait que, pour n> 4, le groupe sym??trique S _n contient un simple, non cyclique, sous-groupe normal.

Le polyn??me . La vraie racine solitaire = 1,1673 ... est alg??brique, mais pas exprimable que les radicaux. Les quatre autres racines sont les nombres complexes .

Un exemple quintique non-r??soluble

Van der Waerden cite le polyn??me . Par le Racine ??vidente qu'il n'a pas de z??ros rationnels. Elle ne dispose pas des facteurs lin??aires modulo 2 ou 3.

a la factorisation modulo 2. Cela signifie que son groupe de Galois modulo 2 est cyclique d'ordre six.

a aucun facteur quadratique modulo 3. Ainsi son groupe de Galois modulo 3 est d'ordre 5.

Nous savons qu'un groupe de Galois modulo un premier est isomorphe ?? un sous-groupe du groupe de Galois sur les rationnels. Un groupe de permutation sur les cinq objets avec des op??rations de commandes 6 et 5 doit ??tre le groupe sym??trique , Qui doit ??tre le groupe de Galois de . Ce est l'un des exemples les plus simples d'un quintique polyn??me non solvable. Serge Lang dit que Artin aimait cet exemple.

Le probl??me inverse de Galois

Tous les groupes finis ne produisent que des groupes de Galois. Il est facile de construire des extensions de champ avec ne importe quel groupe fini comme groupe de Galois donn??, tant que l'on ne sp??cifie pas ??galement la champ de terrain.

Pour cela, choisissez un champ K et un groupe fini G. Th??or??me de Cayley dit que G est (?? isomorphisme pr??s) un sous-groupe de la groupe sym??trique S sur les ??l??ments de G. Choisissez ind??termin??es {x} _α, un pour chaque ??l??ment α de G, et jouxtent les ?? K pour obtenir le champ F = K ({x} _α). Contenue dans F est le champ L de sym??trie fonctions rationnelles dans le {x} _α. Le groupe de Galois de F / L est S, par un r??sultat de base de Emil Artin. G agit sur F par restriction d'action de S. Si le champ fixe de cette action est M, puis, par la th??or??me fondamental de la th??orie de Galois, le groupe de Galois de F / M est G.

Ce est un probl??me ouvert ?? prouver l'existence d'une extension du champ du champ rationnelle Q avec un groupe fini donn?? que le groupe de Galois. Hilbert a jou?? un r??le dans la r??solution du probl??me pour tous les groupes sym??triques et en alternance. Igor Shafarevich prouv?? que chaque groupe fini r??soluble est le groupe de Galois de certains extension de Q. Diverses personnes ont r??solu l'inverse de Galois probl??me pour non-ab??lienne s??lectionn??e groupes simples. Existence de solutions a ??t?? montr?? pour tous, mais peut-??tre un ( Groupe de Mathieu M ₂₃₎ des 26 groupes simples sporadiques. Il ya m??me un polyn??me ?? coefficients entiers dont le groupe de Galois est le Groupe Monstre.