Nombre rationnel

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En math??matiques , un nombre rationnel est un nombre qui peut ??tre exprim?? en tant que rapport de deux nombres entiers . Non enti??res des nombres rationnels (commun??ment appel??s des fractions ) sont g??n??ralement ??crits comme fraction vulgaire $a / b$ , O?? b ne est pas z??ro . un est appel?? le num??rateur , et B du d??nominateur .

Chaque nombre rationnel peut ??tre ??crit en une infinit?? de formes, telles que $3/6 = 2/4 = 1/2$ , Mais il est dit d'??tre en forme la plus simple lorsque A et B ne ont pas communs diviseurs sauf 1 (ce est ?? dire, ils sont premiers entre eux). Chaque nombre rationnel non nul a exactement une forme la plus simple de ce type avec un d??nominateur positif. Une fraction de cette forme la plus simple est dit ??tre un fraction irr??ductible, ou d'une fraction sous forme r??duite.

Le d??veloppement d??cimal d'un nombre rationnel est ??ventuellement p??riodique (dans le cas d'une extension finie les z??ros qui suivent implicitement forment la partie p??riodique). Le m??me est vrai pour toute autre base int??grale ci-dessus un, et ce est ??galement vrai lorsque des nombres rationnels sont consid??r??s comme nombres p-adiques plut??t que des nombres r??els . En revanche, si l'expansion d'un nombre de base est une p??riodiquement, il est p??riodique ?? toutes les bases et le nombre est rationnel. Un nombre r??el qui ne est pas un nombre rationnel est appel?? un nombre irrationnel .

Quarters

Le ensemble de tous les nombres rationnels, qui constitue une terrain, est not??e $\ Mathbb {Q}$ . En utilisant le notation set-constructeur, $\ Mathbb {Q}$ est d??fini comme ??tant

$\ Mathbb {Q} = \ \ left {\ frac {m} {n}: m \ in \ mathbb {Z}, n \ in \ mathbb {Z}, n \ ne 0 \ right \},$

o?? $\ Mathbb {Z}$ d??signe l'ensemble des entiers.

Le terme rationnelle

Dans le monde math??matique, l'adjectif rationnelle signifie souvent que le sous-jacent domaine consid??r?? est le champ $\ Mathbb {Q}$ num??ros de rationnels. Par exemple, un nombre entier rationnel est un alg??brique entier qui est ??galement un nombre rationnel, ce est-??-dire un nombre entier ordinaire, et un rationnelle matrice est une matrice dont les coefficients sont des nombres rationnels. Polynomiale rationnelle habituellement, et le plus correctement, signifie un polyn??me ?? coefficients rationnels, ??galement appel?? "polynomiale sur les rationnels". Cependant, fonction rationnelle ne signifie pas que le champ sous-jacent est les nombres rationnels, et un courbe alg??brique rationnelle ne est pas une courbe alg??brique ?? coefficients rationnels.

Arithm??tique

Deux nombres rationnels $a / b$ et $c / d$ sont ??gaux si et seulement si $ad = bc$ .

Deux fractions sont ajout??s comme suit

$\ Frac {a} {b} + \ frac {c} {d} = \ frac {ad + bc} {} bd.$

La r??gle pour la multiplication est

$\ Frac {a} {b} \ cdot \ frac {c} {d} = \ frac {} {ac bd}.$

Additif et inverses multiplicatifs existent dans les nombres rationnels

$- \ Left (\ frac {a} {b} \ right) = \ frac {-a} {b} = \ frac {a} {- b} \ quad \ mbox {et} \ quad \ gauche (\ frac { a} {b} \ right) ^ {- 1} = \ frac {b} {a} \ mbox {if} a \ neq 0.$

Il en r??sulte que le quotient de deux fractions est donn??e par

$\ Frac {a} {b} \ div \ frac {c} {d} = \ frac {} {ad bc}.$

Fractions ??gyptiennes

Ne importe quel nombre rationnel positif peut ??tre exprim??e comme une somme de distincte inverses des nombres entiers positifs, tels que

$\ Frac {5} {7} = \ frac {1} {2} + \ frac {1} {6} + \ frac {1} {21}.$

Pour tout nombre rationnel positif, il ya une infinit?? de telles repr??sentations diff??rentes, appel??es Fractions ??gyptiennes, car ils ont ??t?? utilis??s par l'ancienne ??gyptiens. Les Egyptiens avaient ??galement une notation diff??rente pour fractions dyadique.

Construction formelle

Math??matiquement, nous pouvons construire les nombres rationnels comme classes d'??quivalence de paires ordonn??es de nombres entiers $\ Left (a, b \ right)$ Avec $b$ pas ??gal ?? z??ro. Nous pouvons d??finir addition et la multiplication de ces paires avec les r??gles suivantes:

$\ Left (a, b \ right) + \ left (c, d \ right) = \ left (ad + bc, bd \ right)$

$\ Left (a, b \ droite) \ times \ left (c, d \ right) = \ left (AC, BD \ right)$

et si c ≠ 0, la division par

$\ Frac {\ left (a, b \ right)} {\ left (c, d \ right)} = \ left (AD, BC \ right).$

L'intuition est que $\ Left (a, b \ right)$ repr??sente le nombre d??sign?? par la fraction $\ Frac {a} {b}.$ Pour se conformer ?? notre attente que $\ Frac {2} {4}$ et $\ Frac {1} {2}$ d??signer le m??me nombre, nous d??finissons une relation d'??quivalence $\ Sim$ sur ces paires avec la r??gle suivante:

$\ Left (a, b \ right) \ sim \ left (c, d \ right) \ mbox {si et seulement si} ad = bc.$

Cette relation d'??quivalence est une relation de congruence: il est compatible avec l'addition et la multiplication d??fini ci-dessus, et l'on peut d??finir comme la Q ensemble de ~ du quotient, ce est ?? dire nous identifions deux paires (a, b) et (c, d) si elles sont ??quivalentes au sens ci-dessus. (Cette construction peut ??tre r??alis??e dans ne importe quel domaine int??grante: voir corps des fractions.)

Nous pouvons ??galement d??finir une ordre total sur Q par ??crit

$\ Left (a, b \ right) \ le \ left (c, d \ right) \ mbox {if} (bd> 0 \ mbox {et} ad \ le bc) \ mbox {ou} (bd <0 \ mbox {et} ad \ ge bc).$

Les entiers peuvent ??tre consid??r??s comme des nombres rationnels de la int??gration que les cartes $p \,$ ?? $[(P, 1)], \,$ o?? $[(A, b)] \,$ d??signe la classe d'??quivalence ayant $(A, b) \,$ en tant que membre.

Propri??t??s

un sch??ma illustrant le countabililty des rationnels

L'ensemble $\ Mathbb {Q}$ , Ainsi que les op??rations d'addition et de multiplication ci-dessus, forme un domaine, la domaine de fractions des nombres entiers $\ Mathbb {Z}$ .

Les rationnels sont le plus petit champ avec caract??ristique nulle: tous les autres corps de caract??ristique nulle contient une copie du $\ Mathbb {Q}$ . Les nombres rationnels sont donc le terrain de choix pour caract??ristique z??ro.

Le cl??ture alg??brique de $\ Mathbb {Q}$ , Ce est ?? dire le domaine de racines de polyn??mes rationnels, ce est le nombres alg??briques.

L'ensemble des nombres rationnels est d??nombrable. Depuis l'ensemble des nombres r??els est incalculable, nous disons que presque tous les nombres r??els sont irrationnels, dans le sens de Mesure de Lebesgue, ce est ?? dire l'ensemble des nombres rationnels est un ensemble vide.

Les rationnels sont un dens??ment command?? jeu: entre deux rationnels, il est assis un de l'autre, en fait une infinit?? de autres. Tout totalement ordonn?? ensemble qui est d??nombrable, dense (au sens ci-dessus), et ne comporte aucun ??l??ment moins ou plus est isomorphe ?? commander les nombres rationnels.

Nombres r??els et les propri??t??s topologiques des rationnels

Les rationnels sont un sous-ensemble dense des nombres r??els: tout nombre r??el a nombres rationnels arbitraire qui lui sont proches. Une propri??t?? connexe est que des nombres rationnels sont les seuls num??ros avec expansions finis que fractions continues r??guli??res.

En vertu de leur ordre, les rationnels portent une Afin topologie. Les nombres rationnels portent ??galement une Topologie induite. Les nombres rationnels forment un espace m??trique en utilisant la distance d (x, y) = | x - y |, et on obtient une troisi??me topologie sur $\ Mathbb {Q}$ . Tous les trois topologies co??ncident et tourner les rationnels dans un champ topologique. Les nombres rationnels sont un exemple important d'un espace qui ne est pas localement compact. Les rationnels se caract??risent topologiquement comme uniques d??nombrable espace m??trisable sans points isol??s. L'espace est ??galement totalement d??connect??. Les nombres rationnels ne forment pas un compl??ter espace m??trique; les nombres r??els sont l'ach??vement de $\ Mathbb {Q}$ .

p num??ros -adiques

En plus de la mesure absolue de la valeur mentionn??e ci-dessus, il existe d'autres param??tres qui tournent $\ Mathbb {Q}$ dans un champ topologique:

Laisser $p$ ??tre un nombre premier , et pour tout entier non nul $une$ laisser $| A | _p = p ^ {- n}$ O?? $p ^ n$ est la plus grande puissance de $p$ partage $une$ ;

En outre ??criture $| 0 | _p = 0$ . Pour tout nombre rationnel $\ Frac {a} {b}$ , Nous avons mis en $\ Left | \ frac {a} {b} \ right | _p = \ frac {| a | _p} {| b | _p}$ .

Puis $D_P \ left (x, y \ right) = | x - y | _p$ d??finit un sur m??trique $\ Mathbb {Q}$ .

L'espace m??trique $\ Left (\ mathbb {Q}, D_P \ right)$ ne est pas compl??te, et son ach??vement est le p champ de num??ro -adique $\ Mathbb {Q} _p$ . Th??or??me d'Ostrowski stipule que toute non-trivial valeur absolue sur les nombres rationnels $\ Mathbb {Q}$ est ??quivalente ?? la valeur absolue soit r??el ou habituel un p-adique valeur absolue.

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