Entier

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Symbole souvent utilis?? pour d??signer l'ensemble des entiers

Les entiers (du latin entier, ce qui signifie avec int??grit?? intacte, ensemble, ensemble) sont l'ensemble des nombres compos??s des nombres naturels dont 0 ( 0 , 1 , 2, 3, ...) et leurs n??gatifs (0, -1, -2, -3, ...). Ils sont des nombres qui peuvent ??tre ??crits sans composante fractionnaire ou d??cimal, et se inscrivent dans l'ensemble {... -2, -1, 0, 1, 2, ...}. Par exemple, 65, 7 et -756 sont des nombres entiers; 1,6 1?? et ne sont pas des nombres entiers. En d'autres termes, les entiers sont les num??ros que vous pouvez compter avec des ??l??ments tels que les pommes ou vos doigts, et leurs n??gatifs, y compris 0.

Plus formellement, les entiers sont le seul domaine int??grante dont les ??l??ments sont positifs bien ordonn??, et dans quel ordre est pr??serv??e par ailleurs . Comme les nombres naturels, les entiers forment un ensemble infini d??nombrable. Le ensemble des entiers est souvent not??e par un gras Z (ou tableau noir gras $\ Mathbb {Z}$ , Unicode U + 2124), ce qui signifie Zahlen ( allemand pour les num??ros).

En th??orie alg??brique des nombres, ces entiers commun??ment comprises, int??gr?? dans le domaine des nombres rationnels , sont appel??s entiers rationnels pour les distinguer de la d??finition plus large entiers alg??briques.

Propri??t??s alg??briques

Comme les nombres naturels, Z est ferm?? sous la op??rations de plus et la multiplication , ?? savoir la somme et le produit de toutes les deux des nombres entiers est un nombre entier. Cependant, avec l'inclusion des nombres naturels n??gatifs, et, surtout, z??ro , Z (?? la diff??rence des nombres naturels) est ??galement ferm?? en vertu de soustraction . Z ne est pas ferm?? en vertu de l'op??ration de division , ??tant donn?? que le quotient de deux nombres entiers (par exemple, une divis?? par 2), ne est pas n??cessairement un nombre entier.

Les listes suivantes certains des propri??t??s de base d'addition et de multiplication pour des entiers a, b et c.

	addition	multiplication
fermeture:	a + b est un nombre entier	a ?? b est un nombre entier
associativit?? :	a + (b + c) = (a + b) + c	a ?? (b ?? c) = (a ?? b) x c
commutativit?? :	a + b = b + a	a ?? b = b ?? a
existence d'un ??l??ment de l'identit??:	a + 0 = a	a ?? 1 = a
existence de ??l??ments inverses:	a + (- a) = 0
distributivit??:	a ?? (b + c) = (a ?? b) + (a ?? c)
Aucun diviseurs de z??ro:		si ab = 0, soit a = 0 ou b = 0 (ou les deux)

Dans le langage de l'alg??bre abstraite , les cinq premi??res propri??t??s ??num??r??es ci-dessus pour plus disent que Z est une vertu plus groupe ab??lien. En tant que groupe pour l'addition, Z est un groupe cyclique , puisque chaque nombre entier diff??rent de z??ro peut ??tre ??crite comme une somme finie 1 + 1 + 1 ... ou (-1) + (-1) + ... + (-1) . En effet, plus Z est sous le seul groupe cyclique infini, en ce sens que ne importe quel groupe cyclique est infini isomorphe ?? Z.

Les quatre premi??res propri??t??s ??num??r??es ci-dessus pour la multiplication disent que Z sous la multiplication est un mono??de commutatif. Toutefois, notez que pas tout entier a un inverse multiplicatif; par exemple il ne est pas entier x tel que 2 x = 1, parce que le c??t?? gauche est encore, tandis que le c??t?? droit est impair. Cela signifie que pour la multiplication Z ne est pas un groupe.

Toutes les r??gles de la table de propri??t?? ci-dessus, ?? l'exception de la derni??re, pris ensemble disent que Z avec addition et la multiplication est commutative anneau avec l'unit??. Ajout de la derni??re propri??t?? dit que Z est un int??gre. En fait, Z fournit la motivation pour d??finir une telle structure.

L'absence d'inverses multiplicatifs, ce qui correspond au fait que Z ne est pas ferm?? sous division, signifie que Z ne est pas un domaine. Le plus petit champ contenant les entiers est le domaine des nombres rationnels . Ce processus peut ??tre imit?? pour former le corps des fractions de ne importe quel domaine int??grante.

Bien que la division ordinaire ne est pas d??fini sur Z, il ne poss??de une propri??t?? importante appel?? algorithme de division: ce est-?? donn?? deux entiers a et b avec b ≠ 0, il existe des entiers uniques q et r tel que a = q ?? b + r et 0 ≤ r <| b |, o?? | b | d??signe la valeur absolue de b. L'entier q est appel?? le quotient et r est appel?? le reste, r??sultant de la division de a par b. Ce est la base de la Algorithme d'Euclide pour calculer plus grands communs diviseurs .

L?? encore, dans la langue de l'alg??bre r??sum??, le dit ci-dessus que Z est un Domaine euclidienne. Cela implique que Z est un anneau principal et un entier positif peuvent ??tre ??crites que les produits de nombres premiers d'une mani??re essentiellement unique. Ce est le th??or??me fondamental de l'arithm??tique .

Ordre th??orie propri??t??s

Z est un ensemble totalement ordonn?? sans sup??rieure ou inf??rieure. L'ordre des Z est donn??e par

... <-2 <-1 <0 <1 <2 <...

Un entier est positif se il est sup??rieur ?? z??ro et n??gative si elle est inf??rieure ?? z??ro. Z??ro est d??finie comme ni n??gative ni positive.

L'ordre des nombres entiers est compatible avec les op??rations alg??briques de la mani??re suivante:

si a <b et c <d, alors a + c <b + d
si a <b et 0 <c, alors ac <bc. (De ce fait, on peut montrer que si c <0, alors ac> Colombie-Britannique.)

Il se ensuit que Z avec la commande ci-dessus est un anneau command??.

Construction

Les entiers peuvent ??tre construits ?? partir des nombres naturels en d??finissant classes d'??quivalence des paires de nombres naturels N ?? N en vertu d'une relation d'??quivalence , "~", o??

$(A, b) \ sim (c, d) \, \!$

pr??cis??ment lorsque

$a + d = b + c. \, \!$

Prenant 0 ??tre un nombre entier naturel, les nombres naturels peuvent ??tre consid??r??s comme des entiers par la enrobage que les cartes ?? n [(n, 0)], o?? [(a, b)] d??signe la classe d'??quivalence ayant (a, b) en tant que membre.

Addition et la multiplication de nombres entiers sont d??finis comme suit:

$[(A, b)] + [(C, D)]:. = [(A + c, b + d)] \,$

$[(A, b)] \ cdot [(c, d)]:. = [(Ca + bd, ad + bc)] \,$

Il est facile de v??rifier que le r??sultat est ind??pendant du choix des repr??sentants des classes d'??quivalence.

Typiquement, [(a, b)] est indiqu?? par

$\ Begin {} n cas, et \ mbox {} si un b \\ -n \ ge, & \ mbox {if} <b, \ end {} cas$

o??

$n = | a-b |. \,$

Si les nombres naturels sont identifi??s avec les entiers correspondants (en utilisant le plongement mentionn?? ci-dessus), cette convention ne cr??e aucune ambigu??t??.

Cette notation r??cup??re le familier repr??sentation des nombres entiers comme {..., - 3, -2, -1,0,1,2,3, ...}.

Certains exemples sont les suivants:

$\ Begin {align} 0 & = [(0,0)] = & [(1,1)] = & \ cdots & & = [(k, k)] \\ & 1 = [(1,0)] & = [(2,1)] = & \ & & cdots = [(k + 1, k)] -1 & \\ = [(0,1)] & = [(1,2)] = & \ cdots & & = [(k, k + 1)] 2 & \\ = [(2,0)] & = [(3,1)] = & \ & & cdots = [(k + 2, k)] \\ & -2 = [(0,2)] = & [(1,3)] = & \ cdots & & = [(k, k + 2)] \ end {align}$

Entiers de l'informatique

Un entier (parfois appel?? un "int", du nom d'un type de donn??es dans le langage de programmation C ) est souvent une primitive type de donn??es en langages informatiques . Cependant, les types de donn??es enti??res ne peuvent repr??sentent un sous-ensemble de tous les entiers, puisque les ordinateurs sont des pratiques capacit?? finie. En outre, dans le courant compl??ment de la repr??sentation des deux, la d??finition inh??rente signe une distinction entre ??n??gative?? et ??non-n??gatif?? plut??t que ??n??gatif, positif, et 0". (Il est cependant tout ?? fait possible pour un ordinateur afin de d??terminer si une valeur de nombre entier est vraiment positif).

Repr??sentations de longueur variable d'entiers, tels que bignums, peut stocker ne importe quel nombre entier qui se inscrit dans la m??moire de l'ordinateur. D'autres types de donn??es de nombres entiers sont mis en oeuvre avec une taille fixe, en g??n??ral un nombre de bits qui est une puissance de 2 (4, 8, 16, etc.) ou un certain nombre de chiffres d??cimaux m??morable (par exemple, 9 ou 10).

En revanche, les mod??les th??oriques de calculateurs num??riques , tels que Machines de Turing, ne ont g??n??ralement pas infinie (mais seulement sans limite finie) capacit??s.

Cardinalit??

Le cardinalit?? de l'ensemble d'entiers est ??gale ?? $\ Aleph_0$ . Cela est ais??ment d??montr??e par la construction d'un bijection, ce est une fonction qui est injective et surjective de $\ Mathbb {Z}$ ?? $\ Mathbb {N}$ . Consid??rons la fonction

$\ Begin {} cas 2x + 1, et \ mbox {if} x \ ge 0 \\ 2 | x |, & \ mbox {} si x <0 \ end {} cas$ .

Si le domaine est limit?? ?? $\ Mathbb {Z}$ puis chaque membre du $\ Mathbb {Z}$ a un et un seul membre correspondant de $\ Mathbb {N}$ et par la d??finition de l'??galit?? cardinal les deux ensembles ont le m??me cardinal.

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