Funci?? inversa

De Viquip??dia

Una funci?? ?? i la seva inversa ??^???1. Com que ?? fa correspondre a 3 l???element ???a???, la inversa ??^???1 fa correspondre l???element a a 3.

En matem??tiques, si ?? ??s una funci?? de A a B llavors la funci?? inversa de ??, anomenada com a ??^???1, ??s una funci?? en la direcci?? contraria, de B a A, amb la propietat de que la seva ( composici??) amb la funci?? original retorna cada element a si mateix. No totes les funcions tenen inversa; de les que en tenen se???n diu invertibles.

Per exemple, sia ?? la funci?? que transforma la temperatura en graus Celsius a graus Fahrenheit:

$f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!$

Llavors la seva inversa transforma els graus Fahrenheit a graus Celsius:

$f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) . \,\!$

O, suposant que ?? ??s la funci?? que assigna a cada nen d???una fam??lia de tres, l???any del seu naixement. La funci?? inversa hauria de dir quin dels nens ha nascut un any donat. Ara b??, si la fam??lia te bessons (o trig??mins) llavors no se???n pot distingir un de sol a partir d???un any si resulta que en aquell any en nasqueren m??s d???un. Tanmateix, si es dona un any en que no va n??ixer cap nen tampoc es pot assignat cap nen a aquell any. Ara b?? si cada nen va n??ixer en un any diferent i es restringeix el conjunt dels anys a nom??s els anys en que algun nen va n??ixer, llavors es t?? una funci?? invertible. Per exemple,

$\begin{align} f(\text{Albert})&=1990 , \quad & f(\text{Enric})&=1996 , \quad & f(\text{Marina})&=1997 \\ f^{-1}(1990)&=\text{Albert} , \quad & f^{-1}(1996)&=\text{Enric} , \quad & f^{-1}(1997)&=\text{Marina} \end{align}$

[edita] Definici?? i notaci??

Si ?? fa correspondre Y a X, llavors ??^???1 fa correspondre altre cop X a Y.

Sia ?? una funci??, el domini de la qual ??s el conjunt X, i el recorregut de la qual ??s el conjunt Y. Llavors la inversa de ?? ??s la funci?? ??^???1 amb domini Y i recorregut X, definida per la seg??ent regla:

$\text{Si }y = f(x)\text{, llavors }f^{-1}(y) = x\text{.}\,$

Per que aquesta regla defineixi una funci??, cal que a cada element y ??? Y li correspongui exactament un element x ??? X. Si una funci?? ?? compleix aquesta propietat es diu que ??s una funci?? injectiva.

[edita] Exemples

Sia ?? la seg??ent funci?? amb domini {1, 2, 3, 4}:

$f(1)=8, \quad f(2)=10, \quad f(3)=9, \quad f(4)=7. \,\!$

Llavors la funci?? inversa de ?? t?? de domini {7, 8, 9, 10}:

$f^{-1}(7)=4, \quad f^{-1}(8)=1, \quad f^{-1}(9)=3, \quad f^{-1}(10)=2 . \,\!$
La inversa de la funci?? = ??(x) = x + 8 ??s la funci?? ??^???1(y) = y ??? 8.
La funci?? ??(x) = x² no ??s invertible, perqu?? no ??s injectiva. Per exemple, ??(3) i ??(???3) s??n tots dos iguals a 9, aix?? el valor de ??^???1(9) no queda un??vocament determinat.

[edita] Inverses i codominis

En matem??tiques, la notaci??

$f: X \rightarrow Y$

significa que "?? ??s una funci?? que fa correspondre elements del conjunt Y a elements del conjunt X". Normalment al conjunt X se li diu domini de ??, i al conjunt y Y se n???hi diu el codomini. El codomini cont?? el recorregut de ?? com un subconjunt, i ??s considerat part de la definici?? de ??.

Quand es fan servir codominis, a la inversa d???una funci?? ??: X ??? Y se li imposa de tenir de domini Y i de codomini X. Per a que la inversa estigui definida a tot Y, cada element de Y ha de pert??nyer al recorregut de la funci?? ??. De les funcions que tenen aquesta propietat es diu que s??n suprajectives. Aix?? doncs una funci?? amb un codomini ??s invertible si i nom??s si ??s injectiva i suprajectiva al mateix temps. D???aquestes funcions se???n diu bijectives, i tenen la propietat de que a tot element y ??? Y li correspon exactament un (un i nom??s un) element x ??? X.

[edita] Inverses i la composici??

Si ?? ??s una funci?? invertible amb domini X i recorregut Y, llavors

$\begin{array}{l} \text{1. }f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x\text{, per a cada }x \in X\text{, i} \\[6pt] \text{2. }f\left( \, f^{-1}(y) \, \right) = y\text{, per a cada }y \in Y\text{.} \end{array}$

Aquestes dues afirmacions s??n equivalents a la definici?? de la inversa. Fent servir la composici?? de funcions es poden reescriure de la seg??ent manera:

$\begin{array}{l} \text{1. }f^{-1} \circ f = \text{id}_X\text{, i} \\[6pt] \text{2. }f \circ f^{-1} = \text{id}_Y\text{,} \end{array}$

on id_X i id_Y s??n les funcions identitat dels conjunts X i Y.

Si es pensa en la composici?? com en una mena de multiplicaci?? de funcions, aquestes identitats diuen que la inversa d???una funci?? ??s an??loga a la inversa de la multiplicaci??. Aix?? explica l???origen de la notaci?? ??^???1.

[edita] Nota sobre la notaci??

La notaci?? de les inverses, de vegades pot provocar confusi??, especialment quant es tracta amb funcions trigonom??triques.

A la expressi?? ??^-1(x), el "???1" no ??s un exponent. Una notaci?? similar es fa servir a din??mica de sistemes per a les funcions iteratives. Per exemple, ??² denota dues iteracions de la funci?? ??; si ??: x ??? x + 1, llavors ??²(x) = (x + 1) + 1, o x + 2.

En c??lcul, ??⁽ⁿ⁾ denota la derivada en??sima d???una funci?? ??.

En trigonometria, per motius hist??rics, sin²(x) normalment significa el quadrat del sinus(x). Per exemple, les expressions

$\sin^2 x \quad \text{i}\quad (\sin x)^2$

Representen la mateixa cosa, la primera ??s una abreviaci?? convencional de la segona. Ara b??, les expressions

$\sin^{-1} x \quad \text{i}\quad (\sin x)^{-1}$

s??n diferents. La primera indica la inversa de la funci?? sinus (de fet una inversa parcial, vegeu m??s avall). Per a evitar la confusi?? les inverses de les funcions trigonom??triques normalment s???indiquen amb el prefix "arc". Per exemple de la inversa del sinus se???n diu l???arcsinus:

$\sin^{-1} x = \text{arcsin}\,x = \text{asin}\,x\text{.}$

La funci?? (sin x)^???1 ??s la inversa respecte de la multiplicaci?? del sinus, i se???n diu la cosecant. Normalment s???escriu csc x:

$(\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x} = \csc x\text{.}$

[edita] Propietats

[edita] Simetria

Hi ha simetria entre una funci?? i la seva inversa. Espec??ficament, si la inversa de ?? ??s ??^???1, llavors la inversa de ??^???1 ??s la funci?? ?? original. Aix?? es pot expressar mitjan??ant la f??rmula seg??ent:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f\text{.}$

[edita] Inversa d???una composici??

La inversa de g o ?? ??s ??^???1 o g^???1.

La inversa d???una composici?? de funcions b?? donada per la f??rmula

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

Fixeu-vos que l???ordre de ?? i g ha estat invertit???per a desfer la aplicaci?? de g seguida per la aplicaci?? de ??, cal que primer desfem la aplicaci?? de ?? i despr??s desfem la aplicaci?? de g.

Per exemple, sia ??(x) = x + 5, i sia g(x) = 3x. Llavors la composici?? ?? o g ??s la funci?? que primer multiplica per tres i llavors suma cinc:

$(f \circ g)(x) = 3x + 5$

Per a invertir aquest proc??s, primer cal restar cinc, i llavors dividir entre tres:

$(f \circ g)^{-1}(y) = \frac{y - 5}{3}$

Aquesta ??s la composici?? (g^???1 o ??^???1) (y).

[edita] Auto inverses

Si X ??s un conjunt, llavors la funci?? identitat de X ??s la seva pr??pia inversa:

$\text{id}_X^{-1} = \text{id}_X$

De forma m??s general, una funci?? ??: X ??? X ??s igual a la seva propia inversa si i nom??s si la composici?? ?? o ?? ??s igual a id_x. D???aquesta funci?? se???n diu involuci??.

[edita] Inverses a c??lcul

El c??lcul de funcions d???uns sola variable es centra principalment en funcions que relacionen els nombres reals amb els nombres reals. Aquestes funcions sovint s??n definides emprant f??rmules, tal com:

$f(x) = (2x + 8)^3\text{.}\,$

Una funci?? f del conjunt dels reals en el conjunt dels reals t?? inversa si ??s bijectiva, es a dir si la seva gr??fica passa el test de la l??nia horitzontal.

La taula seg??ent presenta diverses funcions cl??ssiques i les seves corresponents inverses:

Funci?? ??(x)	Inversa ??^???1(y)	Notes
x + a	y ??? a
a ??? x	a ??? y
mx	y / m	m ??? 0
1 / x	1 / y	x, y ??? 0
x²	$\sqrt{y}$	nom??s per a x, y ??? 0, en general $\pm\sqrt{y}$
x³	$\sqrt[3]{y}$	cap restricci?? en x ni en y
x^p	x^1/p (i.e. $\sqrt[p]{x}$ )	x, y ??? 0, p ??? 0
e^x	ln y	y ??? 0
a^x	log_a y	y ??? 0 i a > 0
funcions trigonom??triques	inverses de les funcions trigonom??triques	diverses restriccions (vegeu la taula de m??s avall)

[edita] Formula de la inversa

Una f??rmula per a ??^???1 es pot trobar a base de resoldre l???equaci?? y = ??(x) a??llant la variable x. Per exemple, si ?? ??s la funci??

$f(x) = (2x + 8)^3 \,\!$

Llavors cal resoldre l???equaci?? y = (2x + 8)³ a??llant x:

$\begin{align} y & = (2x+8)^3 \\ \sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\ \sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\ \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x . \end{align}$

Aix??, la funci?? inversa ??^???1 ve donada per la f??rmula

$f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!$

De vegades la funci?? inversa no pot ser expressada per una f??rmula. Per exemple, si ?? ??s la funci??

$f(x) = x + \sin x , \,\!$

Llavors ?? ??s bijectiva, i per tant t?? una funci?? inversa ??^???1. No hi ha una formula senzilla per a aquesta inversa, donat que l???equaci?? y = x + sin x no pot ser resolta algebraicament a??llant x.

[edita] Gr??fica de la funci?? inversa

Representacions gr??fiques de y = ??(x)} i de y = ??^???1(x). La l??nia de punts ??s y = x.

Si ?? i ??^???1 s??n inverses, llavors la gr??fica de la funci??

$y = f^{-1}(x)\,$

Es la mateixa que la gr??fica de la equaci??

$x = f(y)\text{.}\,$

Aquesta equaci?? ??s id??ntica a l???equaci?? y = ??(x) que defineix la gr??fica de ??, excepte per que els papers de x i de y han estat intercanviats. Aix?? dons la gr??fica de ??^???1 es pot obtenir a partir de la gr??fica de ?? a base d???intercanviar les posicions dels eixos x e y. Aix?? ??s equivalent a la reflexi?? de la gr??fica per la l??nia y = x.

[edita] Inverses i derivades

Una funci?? cont??nua ?? ??s bijectiva (i per tant invertible) si i nom??s si al mateix temps ??s una funci?? mon??tona (creixent o decreixent) i no t?? m??xims o m??nims locals. Per exemple, la funci??

$f(x) = x^3 + x\,$

Es invertible perqu?? la seva derivada ?????(x) = 3x² + 1 ??s sempre positiva.

Si la funci?? ?? es derivable, llavors la inversa ??^???1 ser?? derivable sempre i quant ?????(x) ??? 0. La derivada de la inversa ve donada per:

$\frac{d}{dy}\left[ f^{-1}(y) \right] = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}\text{.}$

Si s???estableix que x = ??^???1(y), llavors la formula de dalt es pot escriure com a

$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}\text{.}$

Aquest resultat surt a partir de la regla de la cadena (vegeu l???article sobre derivada de la funci?? inversa).

[edita] Generalitzacions

[edita] Inverses parcials

La arrel quadrada de x ??s una inversa parcial de ??(x) = x².

Fins i tot si una funci?? no ??s bijectiva, pot ser que sigui possible de definir una inversa parcial de ?? a base de restringir el domini. Per exemple, la funci??

$f(x) = x^2\,$

No ??s bijectiva, donat que x² = (???x)². Ara b??, la funci?? esdev?? bijectiva si es restringeix al domini x ??? 0, en aquest cas

$f^{-1}(y) = \sqrt{y}\text{.}$

(si en comptes d???aix?? es restringeix el domini a x ??? 0, llavors la inversa ??s la arrel quadrada negativa de x.) De forma alternativa, no hi ha necessitat de restrigir el domini si s???accepta que la inversa sigui una funci?? multivaluada:

$f^{-1}(y) = \pm\sqrt{y}\text{.}$

La inversa d???aquesta funci?? c??bica t?? tres branques.

De vegades d???aquesta inversa multivaluada se???n diu inversa completa de ??, i dels bocins (tals com $\sqrt{x}$ i $-\sqrt{x}$ ) se???n diu branques. De la branca m??s important de una funci?? multivaluada (per exemple la arrel quadrada positiva) se???n diu la branca principal, i del seu valor al punt y se???n diu el valor principal de ??^???1(y).

Per a les funcions cont??nues sobre la l??nea real cal una branca entre cada parell de extrems locals. Per exemple, la inversa de una funci?? c??bica amb un m??xim i un m??nim locals t?? tres branques (vegeu la figura de la dreta).

L??? arcsinus ??s una inversa parcial de la funci?? sinus.

Aquestes consideracions s??n particularment importants a l???hora de definir les inverses de les funcions trigonom??triques. Per exemple, la funci?? sinus no ??s bijectiva, donat que

$\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\,$

Per a cada nombre real x (i de forma m??s genral sin(x + 2 $?? n$ ) = sin(x) per a cada enter $n$ ). Ara b?? el sinus ??s bijectiva a l???interval [??? $??$ /2, $??$ /2], i de la corresponent inversa parcial se???n diu l???arcsinus. Aquesta es considera la branca principal del la inversa del sinus, aix?? dons el valor principal de la inversa del sinus est?? sempre entre ??? $??$ /2 and $??$ /2. La taula seg??ent descriu la branca principal de cada una de les inverses de les funcions trigonom??triques:

function	Recorregut del valor principal
sin^???1	??? $?? / 2$ ??? sin^???1(x) ??? $?? / 2$
cos^???1	0 ??? cos^???1(x) ??? $??$
tan^???1	??? $?? / 2$ < tan^???1(x) < $?? / 2$
cot^???1	0 < cot^???1(x) < $??$
sec^???1	0 < sec^???1(x) < $??$
csc^???1	??? $?? / 2$ ??? csc^???1(x) < $?? / 2$

[edita] Inverses per l'esquerra i per la dreta

Si ??: X ??? Y, una inversa per la esquerra de ?? (o retracci?? de ??) ??s una funci?? g: Y ??? X tal que

$g \circ f = \text{id}_X\text{.}\,$

Es a dir, la funci?? g satisf?? la regla

$\text{si }f(x) = y\text{, llavors }g(y) = x\text{.}\,$

Aix?? dons, g ha de coincidir amb la inversa de ?? per al rang de ??, per?? pot prendre qualsevol valor per a elements de Y que no pertanyin al rang. Una funci?? ?? t?? inversa per l???esquerra si i nom??s si ??s injectiva.

Una inversa per la dreta de ?? (o secci?? de ??) ??s una funci?? h: Y ??? X tal que

$f \circ h = \text{id}_Y\text{.}\,$

Es a dir, la funci?? h satisf?? la regla

$\text{If }h(y) = x\text{, then }f(x) = y\text{.}\,$

Per tant, h(y) pot ser qualsevol dels elements de x als quals els correspon y en aplicar ??. Una funci?? ?? t?? inversa per la dreta si i nom??s si ??s suprajectiva (tingueu en compte que per a construir una d???aquestes inverses en el cas general requereix de l???axioma d???elecci??).

[edita] Antiimatges

Si ??: X ??? Y ??s una funci?? (no necessariament invertible), la antiimatge (o imatge inversa) de un element y ??? Y ??s el conjunt de tots els elements de X que tenen imatge a y:

$f^{-1}(y) = \left\{ x\in X : f(x) = y \right\}\text{.}\,$

La antiimatge de y es pot entendre com a la imatge de y sota la inversa completa (multivaluada) de la funci?? f.

De forma similar, si S ??s qualsevol subconjunt de Y, la antiimatge de S ??s el conjunt se tots els elements de X que tenen imatge a S:

$f^{-1}(S) = \left\{ x\in X : f(x) \in S \right\}\text{.}\,$

A la antiimatge de un element concret y ??? Y de vegades se???n diu la fibra de y. Quant Y ??s el conjunt dels nombres reals, ??s com?? de referir-se a ??^???1(y) com a un conjunt de nivell o corba de nivell '.

[edita] vegeu tamb??

Categories: C??lcul | Teoria de conjunts