Conjunt

De Viquip??dia

Aquest article dona una introducci?? b??sica al que els matem??tics en diuen la teoria intu??tiva de conjunts. Per a un tractament rigor??s vegeu teoria de conjunts i teoria axiom??tica de conjunts.

Segons el diccionari de l???Institut d???Estudis Catalans en matem??tiques, un conjunt ??s una reuni?? d???objectes ben definits en la intu??ci?? o en el pensament, considerada com una totalitat. Tot i que aix?? sembla una idea senzilla, els conjunts s??n un dels conceptes m??s fonamentals en la matem??tica moderna. L???estudi de les estructures dels conjunts possibles, teoria de conjunts, ??s un camp ric i en continu desenvolupament. Tot i que no va ser inventada fins al segle XIX, la teoria de conjunts ??s avui en dia una part ubiqua de les matem??tiques. La teoria de conjunts pot se vista com el fonament a partir del qual es poden derivar gaireb?? totes les matem??tiques.

Exemple de conjunt el conjunt A cont?? els elements a,i,l,o,r i t, o expressat matem??ticament; A={a,i,l,o,r,t}

[edita] Definici??

La definici?? de la accepci?? matem??tica de la paraula catalana conjunt que dona Pompeu Fabra al diccionari, coincideix gaireb?? exactament amb la traducci?? de l???alemany al catal?? de la definici?? que va donar el principal creador de la teoria de conjunts Georg Cantor al comen??ament de la seva obra Beitr??ge zur Begr??ndung der transfiniten Mengenlehre: :^[1]

S???ent??n per "conjunt" qualsevol col???lecci?? M, considerada com un tot, d???objectes, de la nostra percepci?? [Anschauung] o del nostre pensament, diferents i ben definits m (dels quals se???n dir?? els "elements" de M.

En altres idiomes la definici?? de la traducci?? de la paraula catalana conjunt no ??s exactament igual, per exemple en espanyol, el diccionari de la real acad??mia de la llengua dona com a definici?? de ???conjunto??? en la accepci?? matem??tica: ???La totalitat de les entitats matem??tiques que tenen determinada propietat???, i posa com a exemple el conjunt dels nombres primers. Es a dir, relaciona el concepte de conjunt a la seva definici?? intensional i el restringeix al cas de les entitats matem??tiques.

Els elements d???un conjunt, tamb?? anomenats els seus membres, poden ser qualsevol cosa: nombres, gent, lletres de l???alfabet, altres conjunts, i aix??. Els conjunts es denoten per convenci?? amb lletres maj??scules. La afirmaci?? de que els conjunts A i B s??n iguals significa que tenen exactament els mateixos membres (es a dir, cada membre de A ??s tamb?? membre de B i viceversa).

A diferencia del que passa en un multiconjunt, cada element d???un conjunt ha de ser ??nic; no hi poden haver dos elements id??ntics. Totes les operacions de conjunts preserven la propietat de que cada element del conjunt ha de ser ??nic. L???ordre en el qual es llisten els elements del conjunt ??s irrellevant, a difer??ncia del que passa en les seq????ncies o tuples.

[edita] Definici?? dels conjunts

Definir un conjunt consisteix en descriure o especificar quins s??n els seus membres, hi ha dues formes per a fer-ho. Una forma definici?? per intensi??, consisteix en fer servir una regla o una descripci?? sem??ntica. Per exemple:

A ??s el conjunt que t?? per membres el primers quatre nombres enters positius.

B ??s el conjunt dels colors de la Bandera estelada.

La segona forma per definir un conjunt ??s per extensi??, aix?? ??s, a base de donar una llista amb tots els membres del conjunt. Una definici?? extensional es denota a base de incloure la llista dels membres entre claus {}:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {Blau, groc, vermell}

L???ordre en el qual es elements del conjunt s???escriuen a la llista ??s irrellevant i tamb?? ho s??n les repeticions que hi pugui haver a la llista. Per exemple,

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

S??n equivalents, perqu?? la definici?? extensional nom??s significa que tots els elements de la llista s??n membres del conjunt.

Per conjunts amb molts elements, de vegades, la enumeraci?? els seus membres es pot abreviar. Per exemple, el conjunt dels primers mil nombres enters positius, es pot especificar de forma extensional com a:

{1, 2, 3, ..., 1000},

On els punts suspensius indiquen que la llista continua de la forma obvia. Els punts suspensius tamb?? es poden fer servir quant els conjunts tenen un nombre infinit de membres. Aix?? el conjunt dels nombres parells positius es pot escriure com {2, 4, 6, 8, ... }.

La notaci?? entre claus, tamb?? es pot fer servir en la definici?? intensional d???un conjunt. En aquest cas, les claus tenen el significat de "el conjunt de tots els ..." Per exemple E = {pals de les cartes de la baralla francesa} ??s el conjunt que t?? per membres: ???, ???, ???, i ???. Una forma m??s general d???aix?? ??s la notaci?? per a construir conjunts, a trav??s de la qual, per exemple el conjunt F dels enters m??s petits que vint i que s??n quatre unitats m??s petits que un quadrat perfecte es pot definir:

F = {

n 2

??? 4 : n ??s un enter; i 0 ??? n ??? 19}

En aquesta notaci?? els : signifiquen "tal que", i la descripci?? es pot interpretar com "F ??s el conjunt de tots els nombres de la forma $n 2$ ??? 4, tal que n ??s un nombre enter entre 0 to 19 tots dos inclosos." De vegades encomptes dels dos punts es fa servir la barra vertical "|".

Sovint es t?? la opci?? de triar entre especificar un conjunt de forma intensional o extensional. En els exemples de m??s amunt, per exemple, A = C i B = D.

[edita] Pertinen??a

Article principal: Element (matem??tiques)

El fet de que qualcom sigui o no element d???un conjunt determinat es simbolitza per $\in$ i $\notin$ respectivament. Aix??, respecte als conjuts definits m??s amunt:

$4 \in A$ i $285 \in F$ (donat que 285 = 17?? ??? 4); per??
$9 \notin F$ i $\mathrm{verd} \notin B$ .

[edita] Cardinalitat

Article principal: Cardinalitat

La cardinalitat |S| d???un conjunt S ??s el nombre de membres de S. Per exemple, com que la bandera estelada t?? tres colors, |B| = 3.

Hi ha un conjunt que no t?? membres i que t?? cardinalitat zero, d???aquest conjunt se???n diu el conjunt buit (o el conjunt nul) i es denota amb el s??mbol ??. Per exemple, el conjunt A de tots els triangles de quatre costats, t?? zero membres (|A| = 0), i, per tant, A = ??. Penseu que, tot i que, igual que el nombre zero, pot semblar trivial, el conjunt buit ??s for??a important en matem??tiques. L???exist??ncia d???aquest conjunt ??s un dels conceptes fonamentals de la teoria axiom??tica de conjunts.

Alguns conjunts tenen cardinalitat infinita. El conjunt N dels nombres naturals, per exemple, ??s infinit. Algunes cardinalitats infinites s??n m??s grans que altes. Per exemple, el conjunt dels nombres reals t?? una cardinalitat m??s gran que el conjunt dels nombres naturals. En canvi, es pot demostrar que la cardinalitat de (que vol dir, el nombre de punts de) una l??nia recta ??s la mateixa que la cardinalitat de qualsevol segment de la mateixa l??nia, de tot un pla, i fins i tot de qualsevol espai euclidi??.

[edita] Subconjunts

Article principal: Subconjunt

Si tots els membres d???un conjunt A s??n tamb?? membres del conjunt B, llavors es diu que A ??s un suconjunt de B, i s???escriu $A \subseteq B$ (tamb?? es diu que B cont?? A). De forma equivalent, es pot escriure $B \supseteq A$ , i es llegeix B ??s un superconjunt de A, B inclou A, o B cont?? A. La relaci?? entre conjunts establerta per $\subseteq$ es diu inclusi??.

Si A ??s un subconjunt de B per?? no ??s igual a, B, llavors es diu que A ??s un subconjunt propi de B, i s???escriu $A \subsetneq B$ (A ??s un subconjunt propi de B) o $B \supsetneq A$ (B ??s un superconjunt propi de A).

Fixeu-vos que les expressions $A\subset B$ i $A\supset B$ es fan servir de forma diferent depenent dels autors; alguns les fan servir per a significar el mateix que $A\subseteq B$ (repectivament $A\supseteq B$ ), mentre que d???altres les fan servir per a significar el mateix que $A\subsetneq B$ (respectivament $A\supsetneq B$ ).

A ??s un subconjunt de B

Exemple:

El conjunt de tots els homes ??s un subconjunt propi del conjunt de totes les persones.
$\{1,3\} \subsetneq \{1,2,3,4\}$
$\{1, 2, 3, 4\} \subseteq \{1,2,3,4\}$

El conjunt buit ??s un subconjunt de tot conjunt i tot conjunt ??s un subconjunt de si mateix:

$\emptyset \subseteq A$
$A \subseteq A$

[edita] Conjunt de les parts

Article principal: Conjunt de les parts

El conjunt de les pars d???un conjunt S es pot definir com el conjunt de tots els subconjunts de S. Aix?? inclou els conjunts formats per membres de S i el conjunt buit. Si un conjunt finit S t?? cardinalitat n llavors el conjunt de les parts de S t?? cardinalitat 2ⁿ. Si S ??s un conjunt infinit (tant si ??s contable o incontable) llavors el conjunt de les parts de S sempre ??s incontabe. El conjunt de les parts es pot escriure com 2^S.

Com exemple, el conjunt de les parts 2^{{1, 2, 3}} de {1, 2, 3} ??s igual al conjunt {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ??}. La cardinalitat del conjunt original ??s 3, i la cardinalitat del conjunt de les parts ??s vuit, que ??s igual a dos elevat al cub.

[edita] Conjunts especials

Hi ha alguns conjunts que tenen una import??ncia matem??tica m??s gran que d???altres i es fa refer??ncia a ells amb tal regularitat que han adquirit noms i notacions especials per identificar-los. Un d???aquests conjunts ??s el conjunt buit. Molts altres d???aquests conjunts es representen fent servir negreta. Conjunts especials inclouen:

$\mathbb{P}$ , denota el conjunt de tots els nombres primers.
$\mathbb{N}$ , denota el conjunt de tots els nombres naturals. Per a referir-se al conjunt, $\mathbb{N}$ = {1, 2, 3, ...}, o devegades $\mathbb{N}$ = {0, 1, 2, 3, ...}.
$\mathbb{Z}$ , denota el conjunt de tots els nombres enters (ja siguin, positius, negatius o zero). Aix?? $\mathbb{Z}$ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
$\mathbb{Q}$ , denota el conjunt de tots els nombres racionals (aix?? ??s, el conjunt de tots les fraccions pr??pies i impr??pies). Aix??, $\mathbb{Q} = \left\{ \begin{matrix}\frac{a}{b} \end{matrix}: a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$ . Per exemple, $\begin{matrix} \frac{1}{4} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ i $\begin{matrix}\frac{11}{6} \end{matrix} \in \mathbb{Q}$ . Tots els enters pertanyen a aquest conjunt donat que cada enter a es pot expresar com la fracci?? $\begin{matrix} \frac{a}{1} \end{matrix}$ .
$\mathbb{R}$ , denota el conjunt de tots els nombres reals. Aquest conjunt inclou tots els nombres racionals, conjuntament amb tots els irracionals (es a dir, nombres que no es poden reescriure en forma de fraccions, com per exemple $??,$ $e,$ i ???2).
$\mathbb{C}$ , denota el conjunt de tots els nombres complexos.

Cada un d???aquests conjunts t?? un nombre infinit d???elements, i $\mathbb{P} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ . Els nombres primers es fan servir amb menys freq????ncia que els altres tret de la teoria de nombres i els camps relacionats.

[edita] Operacions b??siques

[edita] Uni??

Article principal: Uni??

Hi ha diferents formes de construir nous conjunts a partir de conjunts existents. Dos conjunts poden ser "agrupats" tots junts. La uni?? de A i B, es denota per A U B, i ??s el conjut de tos els elements que s??n membres ja sigui de A o de B.

Uni?? de A amb B

Exemples:

{1, 2} U {vermell, blanc} = {1, 2, vermell, blanc}
{1, 2, verd} U {vermell, blanc, verd} = {1, 2, vermell, blanc, verd}
{1, 2} U {1, 2} = {1, 2}

Algunes propietats b??siques de la uni?? de conjunts s??n:

A U B = B U A
A ??? A U B
A U A = A
A U ?? = A
A ??? B si i nom??s si A U B = B

[edita] Intersecci??

Article principal: Intersecci??

Tamb?? es pot construir un conjunt nou a base de determinar quins elements tenen "en com??" dos conjunts donats. La intersecci?? de A i B, escrita A ??? B, ??s el conjunt de tots els elements que s??n membres simult??niament de tots dos A i B. Si A ??? B = ??, llavors es diu que A i B s??n disjunts.

intersecci?? de A i B

Exemples:

{1, 2} ??? {vermell, blanc} = ??
{1, 2, verd} ??? {vermell, blanc, verd} = {verd}
{1, 2} ??? {1, 2} = {1, 2}

Algunes propietats b??siques de la intersecci??:

A ??? B = B ??? A
A ??? B ??? A
A ??? A = A
A ??? ?? = ??
A ??? B si i nom??s si A ??? B = A

[edita] Complementari

Article principal: Complementari

Dos conjunts tamb?? es poden "restar". El complementari relatiu de A en B (tamb?? dit el conjunt difer??ncia B menys A), s???escriu B \ A, (o B ??? A) ??s el conjunt de tots els lelements que s??n membres de B, per?? que no ho s??n de A. Fixeu-vos que ??s v??lid de "restar" d???un conjunt membres que no t??, aix?? traient verd de {1,2,3}; no t?? cap efecte.

En algunes aplicacions es considera que tots els conjunts s??n subconjunts de un conjunt universal donat U. En aquests casos, U \ A, es diu que ??s el complementari absolut o simplement el complementari d' A, i s???escriu A???.

complementari relatiu
de A en B

complementari de A en U

Exemples:

{1, 2} \ {vermell, blanc} = {1, 2}
{1, 2, verd} \ {vermell, blanc, verd} = {1, 2}
{1, 2} \ {1, 2} = ??
Si U ??s el conjunt dels enters, S es el conjunt dels enters senars, i P ??s el conjunt dels entres parells, llavors el complementari de S en U ??s P, o de forma equivalent, S??? = P.

Algunes propietats b??siques del complementari:

A U A??? = U
A ??? A??? = ??
(A??? )??? = A
A \ A = ??
A \ B = A ??? B???

[edita] Producte cartesi??

Article principal: Producte cartesi??

El Producte cartesi?? de dos conjunts A i B, s???escriu A ?? B ??s el conjunt de totes les parelles ordenades (a,b) tals que a ??s membre de A i b ??s membre de B.

Exemples:

{1, 2} ?? {vermell, blanc} = {(1,vermell), (1,blanc), (2,vermell), (2,blanc)}
{1, 2, verd} ?? {vermell, blanc, verd} = {(1,vermell), (1,blanc), (1,verd), (2,vermell), (2,blanc), (2,verd), (verd,vermell), (verd,blanc), (verd,verd)}
{1, 2} ?? {1, 2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Algunes propietats b??siques del producte cartesi??:

A ?? ?? = ??
A ?? (B U C) = (A ?? B) U (A ?? C)
|A ?? B| = |A| x |B|

[edita] Aplicacions

La teoria de conjunts ??s vista com el fonament a partir del qual es pot construir pr??cticament tota la matem??tica. Per exemple, les estructures en ??lgebra abstracta, tals com els grups, els camps, i el anells s??n conjunts tancats respecte de una o m??s operacions.

Una de les aplicacions principals de la teoria intu??tiva de conjunts ??s la de construir relacions. Una relaci?? d???un domini A en un codomini B no ??s res m??s que un subconjunt de A ?? B. A partir d???aquest concepte es veu r??pidament que el conjunt F de tots els parells ordenats (x, x²), on x ??s un nombre real, resulta for??a familiar. El seu domini ??s el conjunt $\mathbb{R}$ i el seu codomini ??s tamb?? el conjunt $\mathbb{R}$ , perqu?? el conjunt dels quadrats ??s un subconjunt del conjunt dels reals. Si s???escriu en notaci?? funcional, auqesta relaci?? esdev?? f( x ) = x². El motiu perqu?? els dos siguin equivalents ??s, que per a cada valor donat y per al qual la funci?? estigi definida, la corresponent parella ordenada, (y, y²) ??s un membre del conjunt F.

[edita] Teoria axiom??tica de conjunts

Article principal: Teoria axiom??tica de conjunts

Tot i que inicialment la teoria intu??tiva de conjunts, que defineix conjunt, merament com una qualsevol col???lecci?? ben definida, va ser ben acceptada, aviat va trobar diversos obstacles. Va resultar que aquesta definici?? produ??a diverses paradoxes, les m??s notables s??n:

Paradoxa de Russell ??? Mostra que "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos," es a dir el "conjunt" $\left \{ x: x\mbox{ es un conjunt i }x\notin x \right \}$ no existeix.
Paradoxa de Cantor ??? Mostra que "el conjunt de tots els conjunts" no pot existir.

El motiu ??s que la expressi?? ben definit no est?? gaire ben definida. Era important d???alliberar la teoria de conjunts d???aquestes paradoxes perqu?? gaireb?? totes les matem??tiques estaven sent redefinides en termes de la teoria de conjunts. En un intent de eludir aquestes paradoxes, es va axiomatitzar la teoria de conjunts en base a la l??gica de primer ordre, i aix?? va neixer la teoria axiom??tica de conjunts.

Per la majoria de les finalitats la teoria intu??tiva de conjunts ??s encara ??til.

[edita] Vegeu tamb??

Teories de conjunts alternatives
Teoria axiom??tica de conjunts
Classe (matem??tiques)
Conjunt dens
Fam??lia (matem??tiques)
Conjunt dif??s
Estructura matem??tica
Multiconjunt
Paradoxa de Russell
Classificaci?? cient??fica
Taxonomia
Tupla

[edita] Notes

??? Quoted in Dauben, p. 170.

[edita] Refer??ncies

Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.

[edita] Enlla??os Externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multim??dia relatiu a:
Conjunt

C2 Wiki - Examples of set operations using English operators.
Set of Sets articles on Plainmath.net- A series of articles on all aspects of sets

Categoria: Teoria de conjunts

Conjunt

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Definici??

[edita] Definici?? dels conjunts

[edita] Pertinen??a

[edita] Cardinalitat

[edita] Subconjunts

[edita] Conjunt de les parts

[edita] Conjunts especials

[edita] Operacions b??siques

[edita] Uni??

[edita] Intersecci??

[edita] Complementari

[edita] Producte cartesi??

[edita] Aplicacions

[edita] Teoria axiom??tica de conjunts

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Notes

[edita] Refer??ncies

[edita] Enlla??os Externs

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es