Funci?? cont??nua

De Viquip??dia

Funci?? cont??nua ??s un terme utilitzat en matem??tiques i topologia.

Taula de continguts

1 Definici?? matem??tica per funcions de variables reals
2 ??lgebra de les funcions cont??nues i composici?? de funcions cont??nues
- 2.1 ??lgebra de les funcions cont??nues
- 2.2 Composici?? de funcions cont??nues
3 Funcions continues entre espais topol??gics
4 Enlla??os externs

[edita] Definici?? matem??tica per funcions de variables reals

[edita] Funci?? cont??nua en un punt

Siguin $I$ un int??rval de $\mathbb R$ , $f$ una aplicaci?? de $I$ a $\mathbb R$ , i $x 0$ un punt de $I$ . Es diu que $f$ ??s cont??nua en el punt $x 0$ si i nom??s si:

$\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,x\in\,]x_0-\delta,x_0+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(x_0)|\le \varepsilon\,$

Si $f$ ??s cont??nua en $x 0$ , llavors $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ .

Si aix?? ??s cert ??nicament per a $x > x 0$ , es diu que $f$ ??s cont??nua a la dreta de $x 0$ .

De la mateixa forma, si ??s cont??nua per a $x < x 0$ , $f$ ??s cont??nua a l'esquerra de $x 0$ .

Dir que $f$ ??s cont??nua en $x 0$ significa que aquesta aplicaci?? ??s cont??nua a la dreta i a l'esquerra d'aquest punt.

[edita] Continu??tat en un interval

Es diu que $f$ ??s cont??nua en $[a, b]$ si ??s cont??nua en tots el punts d'aquest interval.

??s a dir:

$\forall x\in[a,b],\,\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\,y\in\,]x-\delta,x+\delta[\,\cap I\Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\,$ ,

que equival a qu??:

$f$ ??s cont??nua a $] a, b [$ .
El l??mit a la dreta de $f (x)$ quan $x \to a$ val $f (a)$ i el l??mit a l'esquerra quan $x \to b$ val $f (b)$ .

[edita] Derivabilitat i continu??tat

Qualsevol funci?? derivable en un punt o en un interval, ??s igualment cont??nua en aquest punt o interval.

El rec??proc ??s fals.

Per exemple, la funci?? $f (x) = | x |$ (valor absolut de $x$ ??s una funci?? cont??nua a $\mathbb R$ , en canvi no ??s derivable en el punt $x = 0$ .

[edita] Funcions usuals

Les funcions polin??miques, exponencials, logar??tmiques, hiperb??liques, trigonom??triques s??n derivables en els intervals en qu?? estan definides, i s??n, doncs, igualment cont??nues en aquests intervals.

[edita] ??lgebra de les funcions cont??nues i composici?? de funcions cont??nues

Per definici??:

f

cont??nua a $a \Leftrightarrow \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ .

Dels teoremes obre els l??mits resulta:

[edita] ??lgebra de les funcions cont??nues

Siguin $f$ i $g$ dues funcions cont??nues en un mateix interval $I$ . Llavors:

$\alpha f + \beta g \quad \forall (\alpha, \beta) \in \R^2$ (combinaci?? lineal)
$f\cdot g$ (producte)
$\frac{f}{g}\quad (g \ne 0)$ (quocient)

s??n funcions cont??nues a $I$ .

[edita] Composici?? de funcions cont??nues

Si $f$ ??s cont??nua a $I$ i $g$ ??s cont??nua a $f (I)$ llavors $g \circ f$ ??s cont??nua a $I$ .

[edita] Funcions continues entre espais topol??gics

Article principal: continu??tat (topologia)

La definici?? esmentada de funci?? continua es pot expressar de forma m??s general a les funcions entre dos espais topol??gics; donada una funci?? $f:A\longrightarrow B$ entre dos espais topol??gics, aquesta ??s continua si i nom??s si per a tot obert $O\subseteq B$ es d??na que $f^{-1}\left[O\right]$ ??s un obert de $A$ .