Derivada de la funci?? inversa

De Viquip??dia

En matem??tiques, la inversa d???una funci?? $y = f (x)$ ??s una funci?? que, d???alguna manera, ???desf????? l???efecte de $f$ (vegeu funci?? inversa per a una definici?? formal detallada). La inversa de $f$ s???escriu $f ??? 1$ . Les afirmacions y=f(x) i x=f ^-1(y) s??n equivalents.

Les seves dues derivades, suposant que existeixin, s??n cada una inversa, de l???altre tal com sugereix la notaci?? de Leibniz; ??s a dir:

$\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1.$

Aix?? ??s una conseq????ncia directa de la regla de la cadena, com que

$\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx}$

I la derivada de $x$ respecte de $x$ ??s 1.

Escrivint expl??citament la depend??ncia de y respecte de x i del punt al qual es calcula la derivada i emprant la notaci?? de Lagrange. La formula de la derivada de la funci?? inversa esdev??

$\left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left[ f^{-1}(a) \right]}.$

Geom??tricament, les gr??fiques d???una funci?? i de la seva funci?? derivada s??n reflexions, a la l??nia y=x. Aquesta operaci?? de reflexi?? transforma el gradient de qualsevol l??nia en el seu rec??proc.

Suposant que f t?? inversa en un etorn de un punt x i que la seva derivada en aquest punt ??s diferent de zero, es pot asegurar que la seva inversa ??s derivable al punt y=f(x) i que t?? una derivada donada per la f??rmula anterior.

Taula de continguts

1 Exemple
2 Propietats Addicionals
3 Aplicacions
- 3.1 Derivada de la funci?? logaritme natural
- 3.2 Derivada de les inverses de les funcions trigonom??triques
4 Vegeu tamb??

[edita] Exemple

$y = x 2$ (per a valors positius de $x$ ) t?? com a inversa $x = \sqrt{y}$ .

$\frac{dy}{dx} = 2x \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }; \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ } \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$

$\frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = 2x \cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{2x}{2x} = 1.$

Al punt x=0, hi ha un problema: la gr??fica de la funci?? arrel quadrada esdev?? vertical, corresponent-li una tangent horitzontal a la funci?? $x 2$ .

[edita] Propietats Addicionals

Integrant aquesta relaci?? s???obt??

${f^{-1}}(y)=\int\frac{1}{f'(x)}\,\cdot\,{dx} + c.$

Aix?? nom??s es ??til si la integral existeix. En particular cal que

f'(x)

sigui diferent de zero al llarg del rang d???integraci??.

D???aqu?? es despr??s que les funcions que tinguin derivada cont??nua tenen inversa a l???entorn de qualsevol punt on la derivada sigui diferent de zero. Aix?? pot no ser veritat si la derivada no ??s cont??nua.