Regla de la cadena

De Viquip??dia

En c??lcul infinitesimal, la regla de la cadena ??s una f??rmula per a calcular la derivada de la composici?? de dues funcions.

De forma intu??tiva, si una variable, y, dep??n d???una segona variable, u, i aquesta a l???hora dep??n de una tercera variable, x,llavors la velocitat de canvi de y respecte de x es pot calcularcom la velocitat de canvi de y respecte de u multiplicada per la velocitat de canvi de u respecte de x.

Taula de continguts

1 Plantejament informal
2 Teorema
3 Exemples
4 Regla de la cadena per a varies variables
5 Demostraci?? de la regla de la cadena
6 Generalitzaci?? de la regla de la cadena
7 Tensors i la regla de la cadena
8 Derivades d???ordre superior
9 Vegeu tamb??
10 Refer??ncies

[edita] Plantejament informal

La regla de la cadena diu que, si es compleixen les condicions adequades,

$(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) g'(x),\,$

Aix?? de forma resumida s???escriu $(f \circ g)' = f'\circ g\cdot g'$ .

De forma alternativa, emprant la notaci?? de Leibniz,

$\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}.$

La contrapartida en c??lcul integral de la regla de la cadena ??s la regla de substituci??.

[edita] Teorema

La regla de la cadena d???una variable es pot definir de forma m??s precisa tal com segueix.^[1] Sia f una funci?? real sobre (a,b) que ??s diferenciable a c ??? (a,b); i g una funci?? real definida sobre un interval I que cont?? el rang de fi f(c) com a un punt interior. Si g es derivable a f(c), llavors

$(f\circ g)(x)$ es derivable a x=c, i
$(f\circ g)'(c) = f'(g(c))g'(c).$

[edita] Exemples

[edita] Exemple I

Suposant els cas on, hom est?? pujant a un cim a una velocitat de 0.5 kil??metres per hora. La temperatura ??s m??s baixa a al??ades m??s grans; Suposant que el ritme a que baixa la temperatura ??s de 6 ??C per kil??metre. Si es multiplica 6 ??C per kil??metre per 0.5 kil??metres per hora, s???obt?? 3 ??C per hora. Aquest c??lcul ??s una aplicaci?? t??pica de la regla de la cadena.

[edita] Exemple II

Considerant $f (x) = (x 2 + 1) 3$ . Es t?? $f (x) = h (g (x))$ on $g (x) = x 2 + 1$ i $h (x) = x 3 .$ Aix?? doncs,

$f '(x) \,$	$= h '(g(x)) g ' (x) \,$	$= 3(g(x))^2(2x) \,$	$= 3(x^2 + 1)^2(2x) \,$
	$= 6x(x^2 + 1)^2. \,$

Per a calcular la derivada de la funci?? trigonom??trica

$f(x) = \sin(x^2),\,$

Es pot escriure $f (x) = h (g (x))$ amb $h (x) = sin x$ i $g (x) = x 2$ .

La regla de la cadena dona

$f'(x) = 2x \cos(x^2) \,$

Donat que $h'(g (x)) = cos(x 2)$ i $g'(x) = 2 x$ .

[edita] Exemple III

Deriveu $\arctan\,\sin\, x$ , etc.

$\frac{d}{dx}\arctan\,x\,=\,\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\arctan\,f(x)\,=\,\frac{f'(x)}{1+f^2(x)}$

$\frac{d}{dx}\arctan\,\sin\,x\,=\,\frac{\cos\,x}{1+\sin^2\,x}$

[edita] Regla de la cadena per a varies variables

La regla de la cadena tamb?? funciona per a funcions de m??s d???una variable. Si les funcions $z = f (x, y)$ on $x = g (t)$ i $y = h (t)$ , i $g (t)$ i $h (t)$ s??n derivables respecte de $t$ , llavors

${\ dz \over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}$

Suposant que cada funci?? de $z = f (u, v)$ ??s una funci?? de dues variables tal que $u = h (x, y)$ and $v = g (x, y)$ , i suposant que totes aquestes funcions siguin derivables. Llavors la regla de la cadena adopta la seg??ent forma:

${\partial z \over \partial x}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial x}$

${\partial z \over \partial y}={\partial z \over \partial u}{\partial u \over \partial y}+{\partial z \over \partial v}{\partial v \over \partial y}$

Si es considera $\vec r = (u,v)$ com una funci?? vectorial, es pot emprar la notaci?? vectorial per a escriure l???equivalent de l???anterior escrivint el producte escalar del gradient de f per la derivada parcial de $\vec r$ :

$\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla f \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}$

De forma m??s general, per a funcions vectorials de varies variables, la regla de la cadena diu que el Jacobi?? de la funci?? compsici?? ??s el producte de les matrius Jacobianes de les dues funcions:

$\frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)} = \frac{\partial(z_1,\ldots,z_m)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \frac{\partial(y_1,\ldots,y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_p)}$

[edita] Demostraci?? de la regla de la cadena

Sian f i g funcions i sia x un nombre tal que f ??s derivable al punt g(x) i g ??s derivable al punt x. Llavors per la definici?? de derivada,

$g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$ on $\epsilon(\delta) \to 0 \,$ quan $\delta\to 0.$

De forma similar,

$f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha)\alpha \,$ on $\eta(\alpha) \to 0 \,$ quan $\alpha\to 0. \,$

Ara

$f(g(x+\delta))-f(g(x))\,$	$= f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)\delta) - f(g(x)) \,$
	$= \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta)\alpha_\delta \,$

on $\alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta)\delta \,$ . S???observa que $\delta\to 0,$ $\frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x)$ i $\alpha_\delta \to 0$ , Aix?? $\eta(\alpha_\delta)\to 0$ . Per tant

$\frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x))\mbox{ as } \delta \to 0.$

[edita] Generalitzaci?? de la regla de la cadena

La regla de la cadena ??s una propietat fonamental de totes les definicions de derivada i per tant ??s v??lida en contextos molt m??s generals. Per exemple, si E, F i G s??n espai de Banach (els quals inclouen l???Espai euclidi??) i f : E ??? F i g : F ??? G s??n funcions, i si x ??s un element de E tal que f is derivable al punt x i g is derivable al punt f(x), llavors la derivada (la derivada de Fr??chet ) de la funci?? compsta g o f al punt x ve donada per

$\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right).$

Fixeu-vos que en aquest cas les derivades s??n aplicacions lineals. No nombres. Si les aplicacions lineals es representen com a matrius ( Jacobians), la composici?? del cant?? dret es transforma en una multiplicaci?? de matrius.

[edita] Tensors i la regla de la cadena

Veieu camp tensorial per a una explicaci?? avan??ada del paper que juga la regla de la cadena a la natura dels tensors.

[edita] Derivades d???ordre superior

La f??rmula de Fa?? di Bruno generalitza la regla de la cadena a derivades d???ordre superior. Unes quantes de les primeres derivades s??n

$\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}$

$\frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2} = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2 + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}$

$\frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3} = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3 + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}$

$\frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4} =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4 + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2} + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\} + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}$

[edita] Vegeu tamb??

[edita] Refer??ncies

??? Apostol, Tom (1974). Mathematical analysis, 2nd ed., Addison Wesley.

Categoria: Derivaci??