Matem??tiques

De Viquip??dia

Articles relacionats amb Matem??tiques

Representacions matem??tiques de diversos camps

La matem??tica (encara que, per a referir-se a l'estudi i ci??ncia, s'acostuma a utilitzar el plural matem??tiques) ??s aquella ci??ncia que estudia patrons en les estructures de cossos abstractes i en les relacions que s'estableixen entre ells (del mot derivat del grec ????????????, m??thema: ci??ncia, coneixement, aprenentatge, ??????????????????o??).

Malgrat que tingui m??ltiples usos en altres ci??ncies i disciplines (molt particularment en la F??sica), i tracti relacions que poden semblar evidents, les matem??tiques primer postulen (veure axiomes matem??tics), i despr??s dedueixen i demostren. Les matem??tiques no s??n una ci??ncia experimental, sin?? una ci??ncia formal. Els matem??tics acostumen a definir i investigar estructures i conceptes abstractes per raons purament internes a la matem??tica, ja que tals estructures poden proveir, per exemple, una generalitzaci?? elegant, o una ??til eina per a c??lculs freq??ents. A m??s, molts matem??tics estudien les seves ??rees de prefer??ncia simplement per raons est??tiques, veient aix?? la matem??tica com una forma d'art en comptes d'una ci??ncia pr??ctica o aplicada (encara que les estructures que els matem??tics investiguen tenen molt sovint el seu origen en observacions de la natura).

Progressi?? aritm??tica

La matem??tica ??s un art, per?? tamb?? una ci??ncia d'estudi. Informalment, es pot afirmar que la matem??tica ??s l'estudi dels ??nombres i s??mbols??, ??s a dir, la investigaci?? d'estructures abstractes definides axiom??ticament utilitzant la l??gica i la notaci?? matem??tica. ??s tamb?? la ci??ncia de les relacions espacials i quantitatives. Es tracta de relacions exactes que existeixen entre quantitats i magnituds, i dels m??todes pels quals, d'acord amb aquestes relacions, les quantitats buscades s??n dedu??bles a partir d'altres quantitats conegudes o pressuposades. Altres punts de vista poden trobar-se en la Filosofia de les matem??tiques.

??s freq??ent trobar qui descriu la matem??tica com una simple extensi?? dels llenguatges naturals humans, que utilitza una gram??tica i un vocabulari definits amb extrema precisi??, el prop??sit de la qual ??s la descripci?? i exploraci?? de relacions conceptuals i f??siques. Recentment, aix?? no obstant, els avan??os en l'estudi del llenguatge hum?? apunten cap una altra forma d'analitzar-los: els llenguatges naturals (com el catal?? i el franc??s) i els llenguatges formals (com la matem??tica i els llenguatges de programaci??) s??n estructures de naturalesa b??sicament diferent.

[edita] Etimologia

La paraula "matem??tiques" (del grec ????????????????????) prov?? de dues paraules gregues ???????????? (m??th??ma), que significa aprenentatge, estudi, ci??ncia i, amb el pas del temps, el seu significat va quedar redu??t el que avui coneixem com l'estudi matem??tic. L'adjectiu ??s ?????????????????????? (math??matik??s), que significa relacionat amb l'aprenentatge, estudi??s i que tamb??, amb el pas del temps, va quedar redu??t a "matem??tic". En especial, ????????????????????? ?????????? (math??matik??? t??khn??), en llat??, ars mathematica, significava "art matem??tic". La forma plural del catal?? prov?? del plural neutre llat?? mathematica (Cicer??) basat en el plural grec ???? ???????????????????? (ta math??matik??) utilitzat per primera vegada per Arist??til en refer??ncia a "totes les coses matem??tiques".

[edita] Hist??ria

Vegeu tamb?? l'article principal sobre Hist??ria de les matem??tiques

??bac

Hist??ricament, la matem??tica va sorgir amb la finalitat de fer els c??lculs en el comer??, per a amidar la terra i per a predir els esdeveniments astron??mics. Aquestes tres necessitats poden ser relacionades en certa forma amb la subdivisi?? ??mplia de les matem??tiques en l'estudi de l'estructura, l'espai i el canvi. L'estudi de l'estructura comen??a amb els nombres, inicialment els nombres naturals i els nombres enters.

Les regles que dirigeixen les operacions aritm??tiques s'estudien en l'??lgebra elemental, i les propietats m??s profundes dels nombres enters s'estudien en la teoria de nombres. La investigaci?? de m??todes per a resoldre equacions duu al camp de l'??lgebra abstracta. L'important concepte de vector, generalitzat a espai vectorial, ??s estudiat en l'??lgebra lineal, i pertany a les dues branques de l'estructura i l'espai. L'estudi de l'espai origina la geometria, primer la geometria euclidiana i despr??s la trigonometria.

La comprensi?? i descripci?? del canvi en variables mesurables ??s el tema central de les ci??ncies naturals, i el c??lcul. Per a resoldre problemes que es dirigeixen en forma natural a relacions entre una quantitat i la seva taxa de canvi, i de les solucions a aquestes equacions, s'estudien les equacions diferencials.

Els nombres usats per a representar les quantitats cont??nues s??n els nombres reals. Per a estudiar els processos de canvi s'utilitza el concepte de funci?? matem??tica. Els conceptes de derivada i integral, introdu??ts per Isaac Newton i Leibniz, representen un paper clau en aquest estudi, que es denomina An??lisi.

Per raons matem??tiques, ??s convenient per a moltes fins introduir els nombres complexos, el que d??na lloc a l'an??lisi complexa. L'an??lisi funcional, per contra, consisteix a estudiar problemes la inc??gnita dels quals ??s una funci??, pensant-la com un punt d'un espai funcional abstracte.

Un camp important en matem??tiques aplicades ??s la probabilitat i l'estad??stica, que permeten la descripci??, l'an??lisi i la predicci?? de fen??mens que tenen variables aleat??ries i que s'usen en totes les ci??ncies.

L'an??lisi num??rica investiga els m??todes per a realitzar els c??lculs en computadores.

[edita] Notaci??, llenguatge i rigor

La major part de la notaci?? matem??tica no seria inventada sin?? fins el segle XVI. Abans, les matem??tiques s'escrivien en lletres i enunciats, un proc??s dif??cil que va limitar el desenvolupament de la disciplina. La notaci?? moderna ha facilitat l'estudi de les matem??tiques. ??s extremadament comprimida: uns pocs s??mbols contenen molta d'informaci??. Com la notaci?? musical, la notaci?? matem??tica moderna t?? una sintaxi estricta que codifica la informaci?? que seria molt dif??cil d'escriure d'una altra manera.

El llenguatge matem??tic ??s dif??cil per als noven??ans. Les paraules o o nom??s hi tenen significats molt m??s precisos que no en l'??s quotidi??. Altres conceptes, com ara camp obert i conjunt, tenen significats matem??tics especialitzats, i de l'estudi matem??tic han sorgit nous conceptes com ara l"homeomorfisme" i la "integrabilitat". Les matem??tiques requereixen un llenguatge molt m??s prec??s que el llenguatge quotidi??. Aquesta precisi?? i l??gica es coneix com a "rigor".

El rigor tracta de la prova matem??tica. Els matem??tics volen que llurs teoremes siguin derivats dels axiomes per mitj?? del raonament sistem??tic per tal d'evitar "teoremes" erronis, basats en intu??cions fal??libles. El nivell del rigor que s'espera de les matem??tiques ha evolucionat amb el temps: els grecs antics demanaven arguments detallats, per??, durant l'??poca de Newton, els m??todes que s'utilitzaven eren menys rigorosos. Els problemes inherents a les definicions de Newton van produir un ressorgiment de l'an??lisi acurada i de la prova formal.

[edita] Camps de les matem??tiques

Un ??bac, eina de c??lcul emprada des de temps antics. (Primer article de la wikip??dia en un idioma diferent de l'angl??s, en catal??)

Les principals disciplines que abasta les matem??tiques varen sorgir de la necessitat per a fer c??lculs en el comer??, per a entendre les relacions entre els nombres, per a mesurar la terra, i per a predir fets astron??mics. Aquestes quatre necessitats es poden relacionar si fa o no fa amb la amb la subdivisi?? de les matem??tiques en l'estudi de la quantitat, l'estructura, l'espai, i el canvi (es a dir, aritm??tica, ??lgebra, geometria, i l'An??lisi matem??tica). Afegides a aquestes q??estions principals, tamb?? hi ha subdivisions dedicades a explorar lligams entre el cor de les matem??tiques i altres camps: la l??gica, els fonaments de la teoria de conjunts, o les matem??tiques emp??riques d'altres ci??ncies (matem??tiques aplicades), i m??s recentment dedicades a l'estudi rigor??s de la incertesa.

[edita] Quantitat

L'estudi de la quantitat comen??a amb els nombres, primer els m??s familiars, que s??n els nombres naturals i els nombres enters i les operacions aritm??tiques entre ells, que s'estudien en aritm??tica. Les propietats m??s profundes dels enters s'estudien en teoria de nombres, d'on surten resultats tan populars com l'??ltim teorema de Fermat. La teoria de nombres tamb?? mant?? dos problemes abastament coneguts i no resolts (al 2008): la conjectura dels nombres primers bessons i la conjectura de Goldbach.

A mesura que el sistema de nombres es va desenvolupant, els enters s'identifiquen com un subconjunt dels nombres racionals. Aquests, a l'hora, resulten continguts dins dels nombres reals, que s??n els que es fan servir per a representar quantitats cont??nues. Els nombres reals es generalitzen en els nombres complexos. Aquests s??n els primers passos d'una jerarquia de nombres que continua fins incloure els quaternions i els octonions. L'estudi dels nombres naturals tamb?? porta cap als nombres transfinits, que formalitzen el concepte de comptar fins a l'infinit. Un altre ??rea d'estudi ??s la mida, que porta cap a els nombres cardinals i llavors cap a un altre concepci?? de la infinitud: els nombres aleph, que permeten comparar de forma significativa la mida de conjunts infinitament grans.

$1, 2, 3\,\!$	$-2, -1, 0, 1, 2\,\!$	$-2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!$	$-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!$	$2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!$
Nombres naturals	Nombres enters	nombres racionals	Nombres reals	Nombres complexos

[edita] Estructura

Molts objectes matem??tics, com ara els conjunts de nombres i les funcions presenten una estructura interna. Les propietats estructurals d'aquests objectes s'investiguen en l'estudi dels grups, anells, cossos i altres sistemes abstractes, que s??n en si mateixos objectes d'aquests. Aquest ??s el camp de l'??lgebra abstracta. Aqu?? un concepte important ??s el de vector, que es generalitza en els espais vectorials i s'estudia en ??lgebra lineal. L'estudi dels vectors combina tres de las ??rees fonamentals de les matem??tiques: la quantitat, l'estructura, i l'espai. El C??lcul vectorial expandeix el camp en una quarta ??rea fonamentals, la del canvi.


Teoria de nombres	??lgebra abstracta	Teoria de grups	Teoria de l'ordre

[edita] Espai

L'estudi de l'espai comen??a amb la geometria ??? en particular, amb la geometria euclidiana. La trigonometria combina l'espai i els nombres, i abasta el ben conegut teorema de Pit??gores. L'estudi modern de l'espai generalitza aquestes idees per a incloure geometria de m??s de tres dimensions, geometries no euclidianes (que juguen un paper central en relativitat general) i en topologia. La quantitat i l'espai conjuntament juguen un paper important en la geometria anal??tica, la geometria diferencial, i la geometria algebraica. Dins de la geometria diferencial hi ha els conceptes de fibrat vectorial i c??lcul de varietats. Dins de la geometria algebraica hi ha la descripci?? d'objectes geom??trics com a conjunts soluci?? d'equacions polin??miques de forma que es combinen els conceptes de quantitat i d'espai, i tamb?? l'estudi dels grups topol??gics, que combinen l'estructura i l'espai. Els grups de Lie es fan servir per a estudiar l'espai, l'estructura, i el canvi. La Topologia eamb totes les ramificacions que t??, potser ha estat l'??rea amb m??s creixement de les matem??tiques del segle XX, inclou la conjectura de Poincar?? (que ja fa molt de temps que es mant??) i el controvertit teorema dels quatre colors, la demostraci?? del qual, feta per ordinador, no ha estat verificada mai per un hum??.


Geometria	Trigonometria	Geometria diferencial	Topologia	geometria fractal

[edita] Matem??tica del canvi

Entendre i descriure el canvi ??s un tema com?? de les ci??ncies naturals, i el c??lcul infinitesimal va ser desenvolupat com a una eina potent per a investigar-lo. Les funcions sorgeixen aqu??, com un concepte central que descriu una quantitat que canvia amb el temps. L'estudi rigor??s dels nombres reals i de les funcions reals es coneix com a an??lisis real, junt amb l'an??lisi complexa que ??s el camp equivalent per als nombres complexos. La hip??tesis de Riemann, una de les q??estions obertes m??s fonamentals en matem??tiques, es planteja a partir de l'an??lisi complex. L'an??lisi Funcional fixa la atenci?? en els espais de funcions (que t??picament s??n de dimensi?? infinita). Una de les moltes aplicacions de l'an??lisi funcional ??s la mec??nica qu??ntica. Molts problemes porten de forma natural a una relaci?? entre una quantitat i el canvi d'aquesta mateixa quantitat, i aquestes relacions s'estudien com a equacions diferencials. Molts fen??mens naturals es poden descriure coma a sistemes din??mics; la teoria del caos precisa la forma en que molts d'aquests sistemes exhibeixen un comportament impredictible tot i que continua sent determinista.


C??lcul infinitesimal	C??lcul vectorial	Equacions diferencials	Sistemes din??mics	Teoria del caos

[edita] Fonaments i filosofia

Amb l'objectiu de clarificar els fonaments de les matem??tiques, es varen desenvolupar els camps de la l??gica matem??tica i de la teoria de conjunts, i tamb?? la teoria de categories que encara est?? sent desenvolupada.

La l??gica matem??tica es preocupa de ficar les matem??tiques en un marc r??gid d'axiomes i estudiar els resultats d'aquest marc. Com a tal, ??s la llar del segon teorema d' incompletesa de G??del, potser el resultat de la l??gica m??s abastament reconegut, el qual (parlant informalment) implica que cap sistema formal que contingui la aritm??tica b??sica, si ??s raonable (aix?? vol dir que tots els teoremes que es poden demostrar s??n veritat), ??s necessariament incomplert (aix?? vol dir que hi ha teoremes verdaders que no es poden demostrar en aquest sistema). Sigui quina sigui la col??lecci?? d'axiomes de la teoria de nombres, en G??del va mostrar la forma de construir una afirmaci?? en l??gica formal que ??s un fet verdader en teoria de nombres, per?? que no ??s el resultat d'aquells axiomes. Per tant, cap sistema formal ??s una verdadera axiomatitzaci?? de tota la teoria de nombres. La l??gica moderna es divideix en Teoria de la recurr??ncia, la teoria de models, i la teoria de la demostraci??, i est?? lligada estretament a la inform??tica te??rica.

$p \Rightarrow q \,$
L??gica matem??tica	Teoria de conjunts	Teoria de categories

[edita] Matem??tiques discretes

Matem??tica discreta ??s el nom com?? que es dona a un conjunt de camps de les matem??tiques que es fan servir principalment en inform??tica te??rica. Aix?? inclou la Teoria de la computabilitat , la teoria de la complexitat, i la teoria de la informaci??. La teoria de la computabilitat examina les limitacions de diversos models d'ordinador, incloent-hi el model conegut m??s potent - la m??quina de Turing. La teoria de la complexitat ??s l'estudi de la tractabilitat per ordinador; alguns problemes, tot i ser te??ricament resolubles per ordinador, s??n tant costosos en termes de temps o d'espai de mem??ria que ??s probable que resoldre'ls continu?? sense ser factible pr??cticament, fins i tot amb el r??pid aven?? en el hardware dels ordinadors. Finalment, la teoria de la informaci?? estudia temes com la quantitat de dades que es poden emmagatzemar en un medi donat, i per tant conceptes tals com la compressi?? de dades i la entropia en termodin??mica i teoria de la informaci??.

Com a camp relativament nou, la matem??tica discreta t?? una quantitat de problemes fonamentals oberts. El m??s fam??s ??s el problema P versus NP , un dels problemes del premi del mileni.^[1]

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$
Combinat??ria	Teoria de la computaci??	Criptografia	Teoria de grafs

[edita] Matem??tiques aplicades

Le matem??tiques aplicades tracten de l'??s d'eines matem??tiques abstractes per a resoldre problemes concrets en les ci??ncies , l'economia, i altres ??rees. Un camp important de les matem??tiques aplicades ??s l'estad??stica, que fa servir la teoria de la probabilitat com a eina i permet la descripci??, l'an??lisi i la predicci?? de fen??mens on la sort hi juga un paper. La majoria d'experiments, enquestes i estudis d'observaci?? requereixen l'??s de l'estad??stica. L'an??lisi num??rica recerca els m??todes inform??tics per a resoldre eficientment una ampla gamma de problemes matem??tics que t??picament s??n massa grans per a la capacitat num??rica humana; inclou l'estudi de l'error d'arrodoniment o altres fonts d'error en c??lcul num??ric.

F??sica matem??tica	Fluidodin??mica matem??tica	An??lisi num??rica	Optimitzaci??
Probabilitat	Estad??stica	Matem??tica financera	Teoria dels jocs

Assignatures a l'ESO
Matem??tiques ?? Llengua catalana ?? Llengua castellana ?? Llengua anglesa ?? Ci??ncies naturals ?? Ci??ncies socials Educaci?? per a la ciutadania ?? Educaci?? musical ?? Educaci?? f??sica ?? Educaci?? visual i pl??stica ?? Religi??

[edita] Enlla??os externs

Podeu trobar m??s informaci?? en els projectes germans de Wikimedia:
	Commons.
	[{{localurl:Commons:Category:{{{Commonscat}}}\|uselang=ca}} Commons].
	Viccionari.
	Viquidites.
	Viquiesp??cies.
	Viquillibres.
	Viquinot??cies.
	Viquitexts.
	Viquiversitat.