Trigonometria

De Viquipèdia

En un robot industrial de tipus antropomorfic, com el de la figura, els motors controlen els angles relatius entre les barres. Cal aplicar la trigonometria per determinar els angles que ha d'assolir per tal de que la ma del robot se situi en una posició donada.

La trigonometria (del Grec: "la mesura de triangles") és una branca de les matemàtiques que tracta les relacions internes dels triangles. Té relació directa amb la geometria, sent una de les bases de la geometria analítica. Les magnituds essencials que s'utilitzen són la distància i l'angle.

Té moltes aplicacions: la tècnica de la triangulació s'usa en astronomia per a mesurar la distància a estels propers, en topografia per a fer mapes i en sistemes de navegació per satèl·lit.

La branca de la trigonometria, anomenada trigonometria esfèrica, estudia els triangles que es dibuixen sobre esferes.

Taula de continguts

1 Conceptes bàsics en trigonometria
2 Funcions trigonomètriques
3 Relacions aplicades a qualsevol triangle
4 Aplicacions de la trigonometria
5 Vegeu també
6 Enllaços externs

[edita] Conceptes bàsics en trigonometria

[edita] Angle

Article principal: Angle

Un angle. La lletra θ indica el nom de l'angle (i la seva mesura), el petit arc al seu costat indica a quina de les dues regions del pla, que determinen les dues semirectes, correspon l'angle, s és l'arc traçar sobre la circumferència de radi r.

Un angle és la regió del pla limitada per dues semirectes d'origen comú. En el concepte d'angle, no importa ni l'origen ni la orientació de les semirectes, per tant, es diu que dos angles són iguals, si amb una translació i una rotació es poden fer coincidir l'origen i les dues semirectes. Dues semirectes parteixen el pla en dues regions. Per tant, per determinar un angle cal indicar a quina de les dues regions correspon l'angle. Això es fa dibuixant un arc centrat en l'origen comú que va des de una de les semirectes fins a l'altra passant per la regió que correspon a l'angle.

[edita] Mesura d'angles

Els angles es mesuren en base a la magnitud de la rotació que cal aplicar a una de les semirectes perquè coincideixi amb l'altra. Hi ha dues maneres “naturals” per mesurar una rotació, una és la fracció d'una volta sencera que represnta la rotació que s'està mesurant, i l'altre és mesurant la longitud de l'arc i dividir-la entre el radi.

Aquestes dues maneres, corresponen a les unitats mes freqüentment utilitzades per a mesurar angles:

El radian, que és un angle central del qual mesura el mateix, el radi, que l'arc que l'acopsa. Un radian= 180/πº que és més o menys uns 57,29577951º.
El grau sexagesimal és l'altra unitat que normalment s'utilitza. És una 360ena part d'una volta. I és igual a π/180 radiants que és més o menys uns 0,0174533 radians.

La mesura d'angles fent servir radians, simplifica les expressions de les identitats trigonomètriques i les equacions de la física, però, perquè estigui ben definida, cal demostrar primer, que el resultat de mesurar un angle, és independent del radi que es faci servir per a mesurar l'arc, altrament, el mateix angle donaria diferents mesures, depenent del radi de l'arc. Per demostrar aquesta independència, cal fer servir el teorema de Tales i aproximar l'arc per infinites cordes.

A demés d'aquestes unitats n'hi ha d'altres:

La volta (o revolució), correspon a una volta sencera, equival a 2π radians o 360º. Es fa servir principalment en la mesura de velocitats angulars (voltes per minut o revolucions per minut).
L'angle recte, correspon a un quart de volta, es fa servir en expressions com: la suma dels angles d'un triangle és igual a dos rectes. Equival a 90º o π/2 radians,
El grau centesimal és la centèsima part d'un recte o la 400ena part d'una volta.

La rotació que cal aplicar a una semirecta per tal de que coincideixi amb l'altra com a màxim pot ser d'una volta. Per tant, tal com s'ha definit l'angle, només pot tenir una mesura entre 0 i 360º. En matemàtiques s'estén la definició d'angle per tal de que tinguin sentit angles de més de 360º i menys de 0º, assimilant l'angle a la rotació, rotacions de més d'una volta corresponen a angles de més de 360º, i rotacions en sentit contrari del convingut corresponen a angles negatius.

[edita] Triangles

Article principal: Triangle

Un triangle és una figura formada per tres línies que s'intersequen cada dues en un punt, formant tres angles. Si les línies són rectes el triangle és pla.

Els triangles es classifiquen segons la longitud dels seus costats en: equilàter (tots tres costats de igual longitud), isòsceles (dos costats iguals) i escalens (tots tres costats diferents); o segons la mesura dels seus angles: rectangles (un angle recte), obtusangles (un angle obtús), o acutangles (tots tres angles aguts).

La importància dels triangles i de la trigonometria, ve de que qualsevol polígon es pot dividir en triangles i estudiant aquest triangles es pot estudiar el polígon, per exemple per a calcular l'àrea, distàncies entre vèrtex, valors d'angles etc. En el cas de les superfícies limitades per línies corbes, també es poden estudiar aproximant-les per polígons de molts vèrtex. El mètode d'exhaustió és un mètode per a calcular ares limitades per línies corbes a base d'exhaurir la aproximació per polígons portant-la al límit d'infinits polígons.

La major part de la trigonometria descansa en la utilització de les funcions trigonomètriques, però hi ha molts cassos en que es poden resoldre problemes referents a triangles aplicant una sèrie de teoremes que no necessiten la utilització de les funcions trigonomètriques:

El primer teorema de Tales estableix que: si dos triangles són semblants (tenen tots els angles iguals) les longituds dels costats corresponents (un costat del primer triangle, es correspon amb un costat del segon si els angles oposats són iguals) mantenen una proporció constant. Això permet calcular les longituds dels altres costats d'un triangle si es coneix la longitud d'un dels costats i també es coneixen les longituds de tots els costats d'un altre triangle que sigui semblant a ell. Això també permet definir les funcions trigonomètriques en base al triangle rectangle perquè assegura que el resultat serà independent de la mida del triangle rectangle que es faci servir.

El segon teorema de Tales afirma que l'angle amb que els punts d'un circumferència veuen el diàmetre és de 90º (és un cas particular de larc capaç.

El teorema de Pitàgores diu que en qualsevol triangle rectangle, el quadrat de la longitud de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats de les longituds dels catets. Això permet, pel cas de triangles rectangles, calcular la longitud d'un dels costats si es coneixen les longituds del altres dos. En cas de triangles qualsevulla, de vegades es poden dividir en dos triangles rectangles i aplicar el teorema de Pitàgores.

Altres teoremes útils pel càlcul de triangles que no fan servir directament funcions trigonomètriques són el teorema de l'altura i el teorema del catet.

[edita] Funcions trigonomètriques

Les funcions trigonomètriques especifiquen les relacions entre els costats i els angles interiors d'un triangle rectangle.

Totes les funcions trigonomètriques d'un angle θ es poden construir geomètricament en termes de la circumferència goniomètrica.

Article principal: Funcions trigonomètriques

[edita] Definició

Les funcions trigonomètriques es poden definir en base a un triangle rectangle qualsevol. A la següent taula es resumeixen les definicions de les sis funcions trigonomètriques més habituals en base al triangle de la figura de la dreta.

Angle	Sinus	Cosinus	Tangent	Cotangent	Secant	Cosecant
A	$\frac{a}{c}$	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{c}{b}$	$\frac{c}{a}$
B	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{c}{a}$	$\frac{c}{b}$
Recte	1	0	∞	0	∞	1

A demés d'aquestes funcions històricament també se'n han fet servir d'altres com la corda (geometria), el versinus, el semiversinus, la exsecant i la excosecant

El primer teorema de Tales assegura que el resultat obtingut serà independent de la mida del triangle escollit.

Les definicions basades en el triangle rectangle només permeten parlar amb propietat de les funcions trigonomètriques d'angles compresos entre 0º i 90º. Per estendre les funcions trigonomètriques a arguments de tot el conjunt del nombres reals es poden definir en base a les longituds de segments traçats en la circumferència goniomètrica. A la figura de la dreta es poden veure les definicions de les funcions trigonomètriques habituals i de les històriques en base a la circumferència goniomètrica.

Les funcions trigonomètriques també es poden definir en funció de la funció exponencial amprant la fórmula d'Euler, això permet estendre els seus arguments al cos dels nombres complexos.

[edita] Identitats trigonomètriques

Article principal: Llista d'identitats trigonomètriques

Article principal: Demostració de les identitats trigonomètriques

Les identitats trigonomètriques són igualtats que impliquen funcions trigonomètriques i que són veritat per a qualsevol valor de les variables. Aquestes identitats són útils quant cal simplificar expressions en que intervenen funcions trigonomètriques. També són la base per a calcular els valors de les funcions trigonomètriques.

Exemples d'identitats trigonomètriques són:

Nom de la identitat	Expressió
Identitat pitagòrica	$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\,$
Identitats de la suma i de la diferència d'angles	$\begin{align} & \cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta \\ & \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha \\ & \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin -\beta \\ & \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\sin -\beta \cdot \cos \alpha \\ \end{align}$
Identitats de l'angle doble	$\begin{align} & \sin \left( 2\alpha \right)=2\sin \left( \alpha \right)\cos \left( \alpha \right) \\ & \cos \left( 2\alpha \right)=\cos ^{2}\left( \alpha \right)-\sin ^{2}\left( \alpha \right) \\ & \tan (2\theta )=\frac{2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta } \\ \end{align}$
Identitats de l'angle meitat	$\begin{align} & \cos \frac{\theta }{2}=\pm \,\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}} \\ & \sin \frac{\theta }{2}=\pm \,\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}} \\ & \tan \frac{\theta }{2}=\pm \,\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }} \\ \end{align}$

[edita] Càlcul de les funcions trigonomètriques

Article principal: Construcció de les taules trigonomètriques

Article principal: Constants trigonomètriques exactes

A partir de les identitats trigonomètriques de l'angle meitat, de la suma i resta d'angles així com d'altres teoremes de trigonometria com el teorema de Ptolemeu, es poden trobar els valors de les funcions trigonomètriques per a determinats angles. Aquest valors es coneixen com constants trigonomètriques exactes, a la següent taula es presenten els valors per als angles de 0º,30º,45º,60º i 90º.

Funció	0º	30º	45º	60º	90º
Sinus	$\sqrt{\frac{0}{4}}$	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	$\sqrt{\frac{2}{4}}$	$\sqrt{\frac{3}{4}}$	$\sqrt{\frac{4}{4}}$
Cosinus	$\sqrt{\frac{4}{4}}$	$\sqrt{\frac{3}{4}}$	$\sqrt{\frac{2}{4}}$	$\sqrt{\frac{1}{4}}$	$\sqrt{\frac{0}{4}}$
Tangent	$\sqrt{\frac{0}{4}}$	$\sqrt{\frac{1}{3}}$	$\sqrt{\frac{2}{2}}$	$\sqrt{\frac{3}{1}}$	$\sqrt{\frac{4}{0}}$

Les expressions s‘han posat sense simplificar perquè així és més fàcil memoritzar-les.

La quantitat d'angles pels quals es poden trobar els valors exactes de les seves funcions trigonomètriques és infinit però numerable, per trobar els valors de aproximats de les funcions trigonomètriques d'angles qualsevulla, es fan aproximacions emprant algorismes com els que s'expliquen a l'article Construcció de les taules trigonomètriques.

[edita] Inverses de les funcions trigonomètriques

Article principal: inverses de les funcions trigonomètriques

Les funcions trigonomètriques són periòdiques, i per tant no injectives, així, estrictament parlant, no tenen funció inversa. Per a definir una funció inversa cal restringir el domini de forma que les funcions trigonomètriques siguin bijectives.

les funcions arcsinus,arcosinus i arctangent. Donen l'angle que ha produït el resultat de les funcions sinus, cosinus i tangent.

$\sin 30 = 0.5 \Rightarrow \arcsin 0.5 = 30$
$\cos 30 = 0.866 \Rightarrow \arccos 0.866 = 30$
$\tan 30 = 0.577 \Rightarrow \arctan 0.577 = 30$

A les calculadores científiques existeix una mica d'embolic a l'hora de ficar aquestes funcions. Les funcions sec, csc i cot es calculen polsant [sin][x^-1], [cos][x^-1] i [tan][x^-1] respectivament. Les funcions arcsin, arccos i arctan es calculen polsant les tecles [sin^-1], [cos^-1] i [tan^-1], que no s'han de confondre amb les anteriors.

[edita] Relacions aplicades a qualsevol triangle

Les funcions del triangle rectangle, es poden utilitzar per trobar relacions a qualsevol triangle. Si anomenem a,b i c els costats d'un triangle, i $a l p h a$ , $b e t a$ i $g a m m a$ els angles oposats a aquests costats, existeixen els següents teoremes:

[edita] Suma dels angles d'un triangle

Per demostrar que la suma dels angles d'un triangle és igual a 180º, es perllonga la base i es traça una paral·lela al costat AB.

En la Proposició 32 del Llibre I dels lements d'Euclides es demostra que la suma dels tres angles de qualsevol triangle és igual a dos rectes:

«	Proposició 32. En qualsevol triangle, si un dels costats s´allarga, aleshores l´angle exterior és igual a la suma dels angles interiors i oposats, i la suma dels tres angles del triangle és de dos angles rectes.	»

http://www.euclides.org/menu/elements_cat/01/proposicionsllibre1.htm#Proposici%F3%2027

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ = \pi~\mbox{radiants} \$

Euclides ho demostra traçant un triangle com el de la figura de la dreta, llavors perllonga la base i traça una paral·lela al costat AB. Aplicant els resultats de les proposicions sobre angles de rectes que es tallen, l'angle BCD és igual a l'angle ABC i l'angle DCE és igual a l'angle BAC, per tant la suma de ACB + BCD + DCE (que és igual a l'angle pla ACE, es a dir dos rectes) també és igual a BAC + ABC + BCA que són els tres angles del triangle.

[edita] Teorema del sinus

Un triangle

Article principal: Teorema del sinus

Si els costats d'un triangle són a, b i c i els angles oposats a aquests costats són $\alpha ,\beta, \gamma \$ , llavors el teorema del sinus afirma:

$\frac {a}{\sin \alpha}=\frac {b}{\sin \beta}=\frac {c}{\sin \gamma}$

[edita] Teorema del cosinus

Article principal: Teorema del cosinus

Referit al mateix triangle anterior, el teorema del cosinus afirma:

$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos(\alpha) \$

$b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos(\beta) \$

$c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos(\gamma) \$

[edita] Teorema de la tangent

Article principal: Teorema de la tangent

Referit al mateix triangle anterior, el teorema de la tangent afirma:

$\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}$

[edita] Aplicacions de la trigonometria

Determinació de l'altura d'una muntanya per triangulació

Article principal: Aplicacions de la trigonometria

Hi ha gran quantitat d'aplicacions de la trigonometria i de les funcions trigonomètriques. Per exemple la tècnica de la triangulació es fa servir en astronomia per a mesurar la distància a estrelles properes, en geografia per a mesurar la distància entre fites geogràfiques, i en sistemes de navegació per satèl·lit.

Determinació de la distància d'un vaixell a la costa per triangulació

Per exemple, per determinar la distància d'un vaixell a la costa o l'alçada d'una muntanya. Les dades que es presenten a les figures dos angles i el costat comú a tots dos, es poden mesurar, sense haver d'arribar fins al vaixell o pujar al cim de la muntanya. Llavors, es troba el tercer angle sabent que tots tres sumen 180º, s'aplica el teorema del sinus per trobar un dels costats desconeguts i es multiplica pel sinus de l'angle adjacent el costat calculat per a trobar la distància perpendicular a la base. El resultat final en tots dos cassos és:

$h=\frac{\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}\,l$

$d=\frac{\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}\,l$

Sextants com aquest es fan servir per a mesurar l'angle del sol o de les estrelles respecte de l'horitzó. Llavors, emprant trigonometria i un cronòmetre, es pot determinar la posició del vaixell.

Les funcions sinus i cosinus són fonamentals en la teoria de les funcions periòdiques com ara les que descriuen les ones del so i de la llum, per això la trigonometria també troba aplicació en altres terrenys com ara teoria musical, acústica, òptica, electrònica, ultrasons, enginyeria elèctrica i fonètica.

Moltes disciplines científiques tenen una forta relació amb l'espai i les distàncies, i per tant amb la geomatria. En totes elles s'aplica abastament la trigonometria. Per exemple en diagnosi mèdica per la imatge, meteorologia, oceanografia, ciències físiques, arquitectura, enginyeria mecànica i informàtica gràfica.

La estreta relació entre les funcions trigonomètriques i les funcions exponencials fan que la trigonometria també trobi aplicació en altres àmbits allunyats de la geometria com ara en anàlisi dels mercats financers, teoria de la probabilitat, estadística, biologia, teoria de nombres i criptografia.

[edita] Vegeu també

[edita] Enllaços externs

Trigonometric Delights, per Eli Maor, Princeton University Press, 1998. Versió E-llibre, en format PDF, es presenta el text complert.
Trigonometry per Alfred Monroe Kenyon i Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. Es presenta el text complert en imatges.
Trigonometry on PlainMath.net Articles de trigonometria de PlainMath.Net
Trigonometry on Mathwords.com index d'entrades de trigonometria en Mathwords.com
Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle a Convergence
Trigonometry
Dave's Short Course in Trigonometry per David Joyce de Clark University

Categoria: Trigonometria