Funci?? impl??cita

De Viquip??dia

En matem??tiques, es diu funci?? impl??cita a la funci?? que s???ha definit emprant una equaci?? en que es relacionen les variables dependents i independents.

No es pot dir que una funci?? impl??cita sigui un tipus diferent de funci??. La mateixa funci?? es pot definir de forma expl??cita i de forma impl??cita, per exemple la funci?? que a cada nombre real x li fa correspondre el seu quadrat es pot definir de forma expl??cita escrivint $y = x 2$ o de forma impl??cita escrivint $y ??? x 2 = 0$ .

Per a definir una funci?? f de forma expl??cita es dona una f??rmula matem??tica que permet calcular el resultat de la funci?? y per a cada valor de la variable independent x.

y = f(x)

En canvi si la funci?? es defineix de forma impl??cita es dona una expressi?? que, per a cada valor de la variable independent x planteja una equaci??. El valor de la variable independent y es troba resolent la equaci??.

R(x,y) = 0

Les funcions impl??cites s??n ??tils en situacions on no conv?? resoldre expl??citament una equaci?? de la forma R(x,y) = 0. De vegades no ??s possible trobar una funci?? obtinguda per combinaci?? de funcions senzilles que resolgui la equaci?? i de vegades encara que sigui possible no conv??, perqu?? porta a una expressi?? molt m??s complicada que la equaci?? impl??cita. Com que les equacions de vegades tenen solucions m??ltiples, les funcions impl??cites s??n una forma de definir funcions multivaluades. En aquests casos la utilitat de les funcions impl??cites ve de que, hi ha algunes t??cniques de c??lcul, com per exemple la derivaci??, que es poden aplicar directament a partir de la definici?? impl??cita de la funci?? de forma relativament f??cil.

El teorema de la funci?? impl??cita subministra el lligam entre les funcions impl??cites i expl??cites. Estableix que si la equaci?? R(x, y) = 0 satisf?? certes condicions en les seves derivades parcials, llavors en principi la equaci?? es pot resoldre al menys en un interval que cont?? y. Geom??tricament, la gr??fica definida per R(x,y) = 0 se solapar?? localment amb la gr??fica de la funci?? y = f(x).

Taula de continguts

1 Exemples
- 1.1 Funcions inverses
- 1.2 Funcions algebraiques
2 Advert??ncies
3 Derivaci?? impl??cita
- 3.1 Exemples
- 3.2 Formula per a dues variables
4 Teorema de la funci?? impl??cita
5 Refer??ncies

[edita] Exemples

[edita] Funcions inverses

Per a descriure inverses de funcions habitualment sorgeixen funcions impl??cites. Si f ??s una funci??, llavors la funci?? inversa de f ??s una soluci?? de la equaci??

$x=f(y) \implies y = f^{-1}(x)$

Substituint per y el lloc on abans hi havia x. Intu??tivament, la funci?? inversa de f s???obt?? intercambiant els papers de la variable dependent i independent . Dit d???un altre forma, la funci?? inversa ??s la soluci?? y de la equaci??

R (x, y) = x ??? f (y) = 0.

Exemples.

El logaritme natural y = ln(x) ??s la soluci?? de la equaci?? x - e^y = 0.
La funci?? W de Lambert ??s una funci?? impl??cita donada per x - y e^y = 0.

[edita] Funcions algebraiques

Article principal: Funci?? algebraica

Una funci?? algebraica ??s una soluci?? y de una equaci?? R(x,y) = 0 on R ??s un polinomi de dues variables. Les funcions algebraiques juguen un rol important en an??lisi matem??tica i en geometria algebraica. Un exemple senzill d???una funci?? algebraica ve donat pel cercle de radi unitat:

x 2 + y 2 ??? 1 = 0.

A??llant y dona

$y=\pm\sqrt{1-x^2}.$

Fixeu-vos que a la funci?? impl??cita hi ha dues "branques" (o que es poden definir dues funcions diferents a partir de la expressi?? impl??cita): una per cada signe de la arrel quadrada. Les dues branques es poden considerar pertanyents a la funci?? impl??cita. D???aquesta forma, les funcions impl??cites poden ser multi-valuades.

[edita] Advert??ncies

No tota equaci?? $R (x, y) = 0$ t?? una gr??fica que al mateix temps sigui la gr??fica d???una funci??, l???equaci?? del cercle n?????s un exemple clar. Un altre exemple ??s una funci?? impl??cita donada per x - C(y) = 0 on C ??s un polinomi c??bic que tingui una "gepa" al la seva gr??fica. Per tant, per a que una funci?? impl??cita sigui una aut??ntica funci?? pot ser necessari de fer servir nom??s una part de la seva gr??fica. De vegades nom??s es pot fer que una funci?? impl??cita defineixi amb ??xit una funci?? a base de fer un "zoom" en una part del eix x i "retallant" algunes branques indesitjades de la funci??. La f??rmula que en resulta nom??s llavors pot ser qualificada com una funci?? expl??cita leg??tima.

L???equaci?? R = 0 pot tenir tamb?? altres patologies. Per exemple, la equaci?? impl??cita x = 0 no defineix una funci?? de cap manera; ??s una l??nea vertical. Per tal d???evitar un problema com aquest, sovint s???imposen diverses restriccions a les formes permeses per a les equacions o en el seu domini. El teorema de la funci?? impl??cita subministra una manera uniforme de manejar questa mena de patologies.

[edita] Derivaci?? impl??cita

En c??lcul, es diu derivaci?? impl??cita d???un m??tode per a obtenir les derivades de funcions definides impl??citament. Aquest m??tode ??s una aplicaci?? de la regla de la cadena i permet de trobar la derivada d???una funci?? definida impl??citament de forma directa, sense haver de expressar la funci?? de forma expl??cita abans de calcular la derivada.

Com s???ha explicat a la introducci??, $y$ es pot donar com a funci?? de $x$ de forma impl??cita en comptes de expl??cita. Quan es t?? una equaci?? $R (x, y) = 0$ , pot ser que se sigui capa?? de a??llar $y$ i llavors derivar. En canvi, de vegades ??s m??s senzill derivar $R (x, y)$ respecte de $x$ i llavors a??llar $d y / d x$ .

[edita] Exemples

1. Considereu l???exemple

$y + x = -4 \,$

Aquesta funci?? es pot manipular per a obtenir la funci?? expl??cita:

$f(x) = y = -x - 4 \,$

Que derivant dona $\frac{dy}{dx}=-1$ . De forma alternativa es pot derivar la equaci??:

$\frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx}(-4)$

$\frac{dy}{dx} + 1 = 0$

Aillant $\begin{matrix}\frac{dy}{dx}\end{matrix}$ :

$\frac{dy}{dx} = -1.$

2. Un exemple on la derivada impl??cita ??s m??s f??cil que la derivaci?? expl??cita

$x^4 + 2y^2 = 8 \,$

Per a derivar-la expl??citament, s???ha d???obtenir (via algebra)

$f(x) = y = \pm\sqrt{\frac{8 - x^4}{2}}$ ,

I llavors derivar aquesta funci??. Aix?? crea dues derivades: una per $y > 0$ i un altre per $y < 0$ .

Pot trobar-se m??s f??cil de derivar impl??citament la funci?? impl??cita;

$4x^3 + 4y\frac{dy}{dx} = 0$

aix??,

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^3}{4y} = \frac{-x^3}{y}$

3. Un altre exemple, la equaci?? $y 3 ??? y = x$ . Es pot expressar de forma expl??cita emprant la soluci?? de la equaci?? de tercer grau i obtenir:

$y=\sqrt[3]{\frac{x}{2}+\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{x}{2}-\sqrt[2]{\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{27}}}$

Ara es pot continuar derivant aquesta funci??, en canvi emprant el m??tode implicit, $\begin{matrix}\frac{dy}{dx}\end{matrix}$ es pot expressar:

$3y^2\frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 1$

Traient factor com?? de $\frac{dy}{dx}$ resulta

$\frac{dy}{dx}(3y^2 - 1) = 1$ que porta a la resposta final

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3y^{2}-1}$

[edita] Formula per a dues variables

"El Teorema de la Funci?? Impl??citaestableix que si $F$ est?? definida en una bola oberta que cont?? $(a, b)$ , on $F (a, b) = 0$ , $F_y (a,b) \not = 0$ , i $F x$ i $F y$ s??n cont??nues a la bol, l???equaci?? $F (x, y) = 0$ defineix $y$ com a funci?? de $x$ a prop del punt $(a, b)$ i la derivada d???aquesta funci?? ve donada per..." ^[1]Plantilla:Rp

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} = -\frac {F_x}{F_y}$ .

F v a r

indica la derivada de

F

respecte de

v a r

La f??rmula de dalt surt de fer servir la regla de la cadena generalitzada per a obtenir la derivada total???respecte de $x$ ???dels dos cantons de $F (x, y) = 0$ :

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{dx} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx} = 0 = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx}$ .

[edita] Teorema de la funci?? impl??cita

Article principal: Teorema de la funci?? impl??cita

Es pot demostrar que si $R (x, y)$ ve donada per un subvarietat suau $M$ en $R 2$ , i $(a, b)$ ??s un punt d???aquesta subvarietat tal que l???espai tangent no ??s vertical (es a dir $\frac{\partial R}{\partial y}\ne0$ ), llavors $M$ en algun entorn (matem??tiques) \entorn prou petit de $(a, b)$ ve donat per una parametritzaci?? $(x, f (x))$ on $f$ ??s una funci?? suau. En llenguatge menys t??cnic, les funcions impl??cites existeixen i son derivables, tret que la tangent a la seva gr??fica sigui vertical. En un cas normal on es t?? una equaci??

$F (x, y) = 0$

La condici?? en $F$ es pot comprovar per mitj?? de les derivades parcials.^[1]Plantilla:Rp

[edita] Refer??ncies

??? ^1,0 ^1,1 Stewart, James (1998). Calculus Concepts And Contexts, Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-34330-9.

Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
Michael Spivak (1965). Calculus on Manifolds, HarperCollins. ISBN 0-8053-9021-9.
Warner, Frank (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer. ISBN 0-387-90894-3.

Categoria: C??lcul

Funci?? impl??cita

De Viquip??dia

Taula de continguts

[edita] Exemples

[edita] Funcions inverses

[edita] Funcions algebraiques

[edita] Advert??ncies

[edita] Derivaci?? impl??cita

[edita] Exemples

[edita] Formula per a dues variables

[edita] Teorema de la funci?? impl??cita

[edita] Refer??ncies

Views

Navegaci??

comunitat

Cerca

En altres lleng??es