Logaritme natural

De Viquip??dia

El logaritme natural, abans conegut com logaritme hiperb??lic, ??s el logaritme en base e, on e ??s una constant irracional que val aproximadament 2.718281828459. En termes senzills, el logaritme natural de un nombre x ??s la potencia a que caldria elevar e per que doni x ??? per exemple el logaritme natural de e ??s 1 perqu?? e¹ = e, mentre que el logaritme natural de 1 ha de ser 0, donat que e⁰ = 1. El logaritme natural es pot definir per a tots els nombres reals positius x com l?????rea compresa sota la corba y = 1/t des de 1 a x, i tamb?? es pot definir per als nombres complexos diferents de zero tal com s???explicar?? m??s avall.

Gr??fica de la funci?? logaritme natural. La funci?? tendeix cap a menys infinit quan x tendeix a 0, per?? creix a poc a poc cap a m??s infinit quan x augmenta el seu valor.

La funci?? logaritme natural tamb?? es pot definir com la funci?? inversa de la funci?? exponencial, portant a les seg??ents identitats:

$e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!$

$\ln(e^x) = x.\,\!$

En altres paraules, la funci?? logaritme ??s una bijecci?? del conjunt dels nombres reals positius al conjunt de tots els nombres reals. De forma m??s precisa, ??s un isomorfisme del grup que formen els nombres reals positius amb la operaci?? multiplicaci?? en el grup que formen els nombres reals amb la operaci?? adici??.

Els logaritmes es poden definir per a qualsevol base positiva diferent de 1, no nom??s e, i s??n ??tils per a resoldre equacions en les quals la inc??gnita apareix com a exponent d???algun altre nombre.

Taula de continguts

1 Convencions sobre la notaci??
2 Perqu?? se???n diu "natural"
3 Definicions
4 Derivada, s??ries de Taylor
5 El logaritme natural en la integraci??
6 Valor num??ric
- 6.1 Alta precisi??
- 6.2 Complexitat computacional
7 Logaritmes complexos
8 Vegeu tamb??
9 En lla??os externs
10 Refer??ncies

[edita] Convencions sobre la notaci??

Els matem??tics, els estad??stics i alguns enginyers generalment empren tant "log(x)" com "ln(x)" per a expressar log_e(x), ??s a dir, el logaritme natural de x, i escriuen "log₁₀(x)" si el que volen expressar ??s el logaritme en base 10 de x.

Alguns enginyers, bi??legs i altres, generalment escriuen "ln(x)" (o ocasionalment "log_e(x)") quan es refereixen al logaritme natural de x, i empren "log(x)" per a significar log₁₀(x) o, en el cas d???alguns inform??tics, log₂(x).

En els llenguatges de programaci?? m??s habitualment emprats, incloent-hi C, C++, Fortran, i BASIC , "log" o "LOG" es refereix al logaritme natural.

En les calculadores, el logaritme natural s???escriu ln, mentre log ??s el logaritme en base 10.

[edita] Perqu?? se???n diu "natural"

Inicialment podria semblar que com que emprem el sistema decimal per a gaireb?? tots els c??lculs, la base 10 hauria de ser m??s "natural" que la base e, per?? hi ha diversos sentits en els quals log_e ??s m??s "natural". En primer lloc, a traves de les matem??tiques i de les ci??ncies apareixen variables com a exponents d'e en moltes m??s expressions importants que no pas com a exponents de 10 ???despr??s de tot, l?????nic d???especial que t?? el 10 ??s que resulta ser el nombre de dits de les mans amb que neixen la majoria dels humans-. Aix?? doncs, el logaritme natural ??s gaireb?? sempre m??s ??til a la pr??ctica. Com a exemple relacionat, considereu el problema de derivar una funci?? logar??tmica:

$\frac{d}{dx}\log_b(x) =\frac{\log_b e}{x}$

Si la base b ??s igual a e, llavors la derivada ??s simplement 1/x, i a x = 1 aquesta derivada val 1. Un altre sentit en que els logaritmes en base e s??n m??s naturals ??s que es poden definir for??a m??s f??cilment en termes de una simple integral o en s??rie de Taylor i aix?? no ??s cert pels altres logaritmes.

Altres sentits d???aquesta naturalitat no fan ??s del c??lcul. Com a exemple, hi ha diverses s??ries senzilles que involucren el logaritme natural. De fet, Pietro Mengoli i Nicholas Mercator varen anomenar-los logarithmus naturalis unes quantes d??cades abans que Newton i Leibniz desenvolupessin el c??lcul.^[1]

[edita] Definicions

Formalment, el ln(a) es pot definir com l?????rea compresa davall de la gr??fica (integral) de 1/x des de 1 fins a a, aix?? ??s,

$\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.$

Aix?? defineix un logaritme perqu?? satisf?? les propietats fonamentals d???un logaritme:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \,\!$

Aix?? es pot demostrar tot fent $t=\tfrac xa$ tal com segueix:

$\ln (ab) = \int_1^{ab} \frac{1}{x} \; dx = \int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx =\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt = \ln (a) + \ln (b)$

El nombre e llavors es pot definir com l?????nic nombre real a tal que ln(a) = 1.

De forma alternativa, si primer s???ha definit la funci?? exponencial emprant una s??rie infinita, el logaritme natural es pot definir com la seva funci?? inversa, ??s a dir, ln(x) ??s una funci?? tal que $e^{\ln(x)} = x\!$ . Donat que el recorregut de la funci?? exponencial real s??n tots els nombres reals positius i com que la funci?? exponencial ??s estrictament creixent, la funci?? logaritme definida aix?? ??s ben definida per a tots els valors positius de x.

[edita] Derivada, s??ries de Taylor

La derivada del logaritme natural b?? donada per

$\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,$

Aix?? porta al seu desenvolupament en s??rie de Taylor

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \quad{\rm per}\quad \left|x\right| \leq 1\quad {\mbox{ tret que}}\quad x = -1$

Aquesta s??rie tamb?? ??s coneguda com la s??rie de Mercator.

Substituint x-1 per x, s???obt?? una forma alternativa pel mateix desenvolupament en s??rie de ln(x)

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$

${\rm per}\quad \left|x-1\right| \leq 1\quad {\rm \mbox{ tret que}}\quad x = 0.$ ^[2]

Emprant la tranformaci?? de Euler a la s??rie de Mercator, s???obt?? el seg??ent, qu?? ??s v??lid per a qualsevol x amb valor absolut m??s gran que 1:

$\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots$

Aquesta s??rie ??s similar a una f??rmula de tipus BBP.

[edita] El logaritme natural en la integraci??

El logaritme natural permet la integraci?? senzilla de funcions de la forma g(x) = f '(x)/f(x): una funci?? primitiva de g(x) ve donada per ln(|f(x)|). Aix?? ??s degut a la regla de la cadena i al seg??ent fet:

$\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.$

En altres paraules,

$\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C$

$\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.$

Un exemple es d??na en el cas de g(x) = tan(x):

$\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx$

$\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.$

Fent f(x) = cos(x) i f'(x)= - sin(x):

$\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C$

$\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C$

On C ??s una constant d???integraci?? arbitr??ria.

El logaritme natural es pot integrar fent servir la integraci?? per parts:

$\int \ln (x) \,dx = x \ln (x) - x + C.$

[edita] Valor num??ric

Per a calcular el valor num??ric del logaritme natural d'un nombre, l'expressi?? de la s??rie de Taylor es pot reescriure com:

$\ln(1+x)= x \,\left( \frac{1}{1} - x\,\left(\frac{1}{2} - x \,\left(\frac{1}{3} - x \,\left(\frac{1}{4} - x \,\left(\frac{1}{5}- \ldots \right)\right)\right)\right)\right) \quad{\rm for}\quad \left|x\right|<1.\,\!$

Per a obtenir una converg??ncia m??s r??pida, es pot fer servir la seg??ent identitat:

$\ln(x) = \ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)$	$= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} y^{2} + \frac{1}{5} y^{4} + \frac{1}{7} y^{6} + \frac{1}{9} y^{8} + \ldots \right)$
	$= 2\,y\, \left( \frac{1}{1} + y^{2} \, \left( \frac{1}{3} + y^{2} \, \left( \frac{1}{5} + y^{2} \, \left( \frac{1}{7} + y^{2} \, \left( \frac{1}{9} + \ldots \right) \right) \right)\right) \right)$

sabent que y = (x???1)/(x+1) i x > 0.

Per a valors de ln(x) on x > 1, com m??s a prop de 1 ??s x, m??s r??pida ??s la converg??ncia. Es poden emprar les identitats associades amb el logaritme per treure profit d???aix??:

$\ln(123.456)\!$	$= \ln(1.23456 \times 10^2) \,\!$
	$= \ln(1.23456) + \ln(10^2) \,\!$
	$= \ln(1.23456) + 2 \times \ln(10) \,\!$
	$\approx \ln(1.23456) + 2 \times 2.3025851 \,\!$

Aquestes t??cniques ja es feien servir abans del desenvolupament de les calculadores a base d???emprar taules i fent manipulacions tals com les descrites abans.

[edita] Alta precisi??

Per a calcular el logaritme natural amb molts d??gits de precisi??, l'aproximaci?? emprant la s??rie de Taylor no ??s eficient perqu?? la seva converg??ncia ??s lenta. Una alternativa ??s fer servir el m??tode de Newton per calcular la inversa de la funci?? exponencial, les s??ries de la qual convergeixen m??s r??pidament.

Una alternativa per a c??lculs de precisi?? extremadament alta ??s la f??rmula

$\ln x \approx \frac{\pi}{2 M\left(1, \frac{4}{s}\right)} - m \ln 2$

On M indica la mitjana aritm??tico-geom??trica i

$s = x \,2^m > 2^{\frac{p}{2}},$

amb m escollida de forma que s???obtinguin p bits de precisi??. De fet, si es fa servir aquest m??tode, es pot calcular la funci?? exponencial de forma m??s eficient a base d???emprar el m??tode de Newton per trobar la inversa del logaritme natural. (Les constants ln 2 i ?? es poden precalcular fins a la precisi?? desitjada emprant qualsevol dels molts algoritmes coneguts que convergeixen r??pidament.)

[edita] Complexitat computacional

La complexitat computacional de calcular el logaritme natural (fent servir la mitjana aritm??tica geom??trica) ??s O(M(n) ln n). Aqu?? n ??s el nombre de d??gits de precisi?? amb els quals s???ha de calcular el logaritme natural i M(n) ??s la complexitat computacional de multiplicar dos nombres de n d??gits.

[edita] Logaritmes complexos

Article principal: Logaritme complex

La funci?? exponencial es pot extendre a una funci?? que d??na un nombre complex com e^x per a qualsevol nombre complex x; simplement emprant la s??rie de Taylor de la funci?? exponencial amb x complex. La inversa d???aquesta funci?? dona lloc al logaritme complex i t?? la majoria de les propietats del logaritme ordinari. Per?? hi ha dues dificultats involucrades: no hi ha cap x tal que e^x = 0; i a dem??s resulta que un gir de 360 graus ??s e^2??i = 1 = e⁰. Encara que la propietat multiplicativa encara funciona per a la funci?? exponencial complexa, e^z = e^z+2n??i, per a qualsevol complex z i qualsevol enter n.

Per tant el logaritme no pot ser definit per a tot el pla complex, i fins i tot llavors ??s una funci?? multivaluada ??? qualsevol logaritme complex es pot canviar per un logaritme "equivalent" a base d???afegir-li a voluntat qualsevol enter multiplicat per 2??i. El logaritme complex nomes pot ser univaluat en el tall del pla. Per exemple, ln i = 1/2 ??i or 5/2 ??i or ???3/2 ??i, etc.; i tamb?? i⁴ = 1, 4 log i es pot definir com 2??i, o 10??i o ???6 ??i, i aix??.