Teorema de Fermat (punts estacionaris)

De Viquip??dia

Aquest article es refereix al teorema de Fermat per als punts estacionaris, vegeu aqu??: l?????ltim teorema de Fermat

El Teorema de Fermat ??s un teorema de an??lisi matem??tica, anomenat aix?? en honor de Pierre de Fermat. Dona un m??tode per a trobar els m??xims i m??nims locals de les funcions derivables. El teorema estableix que cada extrem local ??s un punt estacionari de la funci?? (la funci?? derivada val zero en aquest punt]]). Per tant, emprant el teorema de Fermat, el problema de trobar els extrems locals d???una funci?? es redueix al problema de resoldre una equaci??.

??s important aclarir que el teorema de Fermat nom??s dona una condici?? necess??ria per a que un punt sigui extrem local. Es a dir, alguns punts estacionaris, no s??n extrems (hi ha punts d???inflexi??). Per a verificar si un punt estacionari ??s un extrem local i saber si es tracta d???un m??xim o d???un m??nim cal analitzar la derivada segona i de vegades les derivades d???ordre superior (si existeixen).

[edita] Teorema de Fermat

Sia $f\colon (a,b) \rightarrow \mathbb{R}$ una funci?? i sia $\displaystyle x_0 \in (a,b)$ un extrem local de $\displaystyle f$ . Si $\displaystyle f$ ??s derivable a $\displaystyle x_0$ llavors $\displaystyle f'(x_0) = 0$ .

[edita] Applicaci?? a l'optimitzaci??

Vegeu tamb??: m??xims i m??nims

Com a corol??lari, un extrem global d???una fuinci?? f en un domini A nom??s pot ser: a les fronteres, als punts no derivables o als punts estacionaris. Si $x 0$ ??s un extrem global de f, llavors alguna de les seg??ents afirmacions ??s certa:

frontera: $x 0$ ??s a la frontera de A
no derivable: f no ??s derivable a $x 0$
punt estacionari: $x 0$ ??s un punt estacionari de f

[edita] Demostraci??

Se suposar?? que $\displaystyle x_0$ ??s un m??xim local (una demostraci?? similar es pot fer si $\displaystyle x_0$ ??s un m??nim local). Llavors $\exists \, \delta > 0$ tal que $(x_0 - \delta,x_0 + \delta) \subset (a,b)$ i tal que es t?? $f(x_0) \ge f(x)\, \forall x$ amb $\displaystyle |x - x_0| < \delta$ . Per tant, per a qualsevol $h \in (0,\delta)$ es compleix que

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.$

Com que el l??mit d???aquesta fracci?? quan $\displaystyle h$ tendeix a 0 per l'esquerra existeis i ??s igual a $\displaystyle f'(x_0)$ s???arriba a la conclusi?? de que $f'(x_0) \le 0$ . Per altra banda quan $h \in (-\delta,0)$ es compleix que

$\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0$

Altre cop el l??mit quan $\displaystyle h$ tendeix a zero per l???esquerra existeix i ??s igual a $\displaystyle f'(x_0)$ per tant resulta que $f'(x_0) \ge 0$ .