??ltim teorema de Fermat
De Viquip??dia
L'??ltim teorema de Fermat afirma que l'equaci?? diof??ntica
no t?? cap soluci?? entera per a n > 2 i essent x, y i z diferents de zero.
??s un dels teoremes m??s famosos de la hist??ria de les matem??tiques i fins l'any 1995 no es disposava d'una demostraci?? (i, per tant, en rigor s'havia d'anomenar conjectura de Fermat). Fixem-nos que quan n = 2 l'equaci?? equival al teorema de Pit??gores i ??bviament t?? infinites solucions.
El matem??tic franc??s Pierre de Fermat fou el primer a proposar el teorema, per?? malauradament la demostraci?? que suposadament havia realitzat no s'ha trobat mai. Fermat nom??s va deixar escrit en un marge de la seva c??pia de l'Aritm??tica de Diofant el plantejament del teorema i l'afirmaci?? que havia trobat una demostraci?? del teorema. En les seves pr??pies paraules:
- Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet
??s a dir,
- ????s impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una pot??ncia quarta sigui la suma de dues pot??ncies quartes i, en general, que qualsevol n??mero que sigui una pot??ncia superior a dos sigui la suma de dues pot??ncies del mateix valor. He descobert una demostraci?? veritablement meravellosa d'aquesta proposici??, per?? aquest marge ??s massa estret perqu?? hi c??piga.??
L'afirmaci?? de Fermat va esdevenir immediatament un problema que molts matem??tics van intentar resoldre. Mica en mica van anar sorgint demostracions parcials (per exemple, Sophie Germain demostr?? el teorema en el cas en qu?? n ??s un nombre primer i 2n + 1 tamb?? ho ??s) o demostracions de teoremes associats a aquest. Tamb?? es demostr?? el teorema per a valors molt determinats de n: Euler el demostr?? per a n = 3, el mateix Fermat deix?? const??ncia de la seva demostraci?? per a n = 4, Legendre i Dirichlet per a n = 5 i aquest darrer tamb?? per a n = 14.
El 1993 Andrew Wiles anunci?? la demostraci?? general del teorema, demostraci?? que result?? err??nia, per?? que ell mateix correg?? a finals de 1994 i inicis de 1995. Amb aquesta demostraci??, que implica l'??s de funcions el??l??ptiques i representacions de Galois, un dels m??s famosos problemes de la matem??tica quedava tancat. Nogensmenys, val la pena preguntar-se si realment Fermat aconsegu?? una demostraci?? del seu teorema i, en cas afirmatiu, quin m??tode utilitz??, ja que el cam?? seguit per Wiles utilitza eines matem??tiques inexistents a l'??poca de Fermat.
[edita] Refer??ncies i enlla??os
- Wiles, A. "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" Ann. Math. 141, 443-551, 1995. L'article original de Wiles. (angl??s)
- Singh, S. Fermat's Enigma (Anchor Books, Nova York 1998). Traducci?? catalana: L'enigma de Fermat. Una bona explicaci?? divulgativa del teorema de Fermat i de diversos temes de teoria de nombres.
- Fermat's Last Theorem. Bloc dedicat a presentar de forma entenedora i divulgativa q??estions relacionades amb el teorema. (angl??s)