Equaci??

De Viquip??dia

Una equaci?? ??s una igualtat entre expressions matem??tiques que nom??s ??s certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment inc??gnites. Els valors que poden prendre les inc??gnites s'anomenen solucions de l'equaci?? i solucionar una equaci?? vol dir trobar aquests valors. Per exemple

$x^2 - 5x + 6 = 0 \$

??s una equaci?? d'una sola inc??gnita, la x. Com es pot comprovar f??cilment, qualsevol valor de x no compleix l'equaci??, nom??s dos valors, x = 2 i x = 3, que s??n les seves solucions. Un altre exemple pot ser:

$\cos{x} = 1 \$

que tamb?? ??s una equaci?? (no algebraica) d'una variable. En aquest cas la soluci?? ??s x = 0, x = 2??, etc.

Habitualment s'utilitzen les primeres lletres de l'alfabet llat?? a, b, c, etc. per a denotar constants en les equacions, mentre que es reserven les lletres del final de l'alfabet, x, y, z, etc. per indicar les inc??gnites.

A les dues expressions que igualem se les anomena termes de l'equaci??. En la majoria de casos una equaci?? tindr?? nom??s dos termes.

En el cas en qu?? es tinguin diverses equacions que s'han de verificar simult??niament, es parla de sistemes d'equacions. Segons la pot??ncia m??xima a que est?? elevada la inc??gnita de l'equaci?? es parla d'equacions de primer grau, equacions de segon grau, etc.

El concepte d'equaci?? ??s molt m??s general i es pot aplicar tamb?? a funcions, no simplement a nombres. En aquest cas el problema es trobar una funci?? o fam??lia de funcions que verifiquin determinades condicions. Per exemple, es pot imposar la condici?? que una funci?? sigui igual a la seva derivada:

$\frac{df(x)}{dx} = f(x)$

Aix?? ??s una equaci?? diferencial i la seva soluci?? ??s $f(\mathbf{x}) = e^\mathbf{x}$

Taula de continguts

1 Resoluci?? d'equacions

[edita] Resoluci?? d'equacions

[edita] A??llar la inc??gnita

El m??tode m??s b??sic per resoldre equacions s'anomena a??llar la inc??gnita. Consisteix en anar fent operacions a tots dos membres (sempre la mateixa operaci?? a ambd??s) de manera que es conservi la igualtat, fins que un dels membres sigui una x.

Exemple 1. Equaci?? lineal:

	$2x + 4x = 6 \,$	sumem els termes en x ???
	$6x = 6 \,$	dividim els dos membres per 6 ???
	$\frac{6x}{6} = \frac{6}{6}$	fem la divisi?? 6/6 ???

Exemple 2. Equaci?? de tercer grau sense termes en x² ni x:

	$x^3-2=25 \$	afegim 2 a ambd??s membres ???
	$x^3-2+2=25+2 \$	fem la suma ???
	$x^3=27 \$	traiem l'arrel c??bic als dos membres per eliminar la pot??ncia 3 ???
	$\sqrt[3]{x^3}=\sqrt[3]{27} \$	calculem l'arrel ???

[edita] Sistemes d'equacions

Article principal: Sistema lineal d'equacions

Els sistemes d'equacions apareixen quan volem trobar m??s d'una inc??gnita. Ens faran falta tantes equacions com inc??gnites tinguem.

Per exemple:

x=1+y

2x=y

??s un sistema d'equacions que t?? com a soluci?? x=-1 i y=-2

Existeixen tres m??todes b??sics. Tot i aix??, alguns sistemes poden tenir altres m??todes espec??fics.

Igualaci??

Consisteix en a??llar la mateixa inc??gnita a totes les equacions, i despr??s igualar-les entre elles. El proc??s es repeteix fins que aconseguim una sola equaci?? d'una inc??gnita.

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

$\begin{cases} x=1+y \\ x=y/2 \end{cases}$

$1+y=y/2 \$

$2+2y=y \$

$2=-y \$

Una vegada s'ha trobat un valor, es substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha m??s equacions que inc??gnites, podem treure una equaci?? del sistema. Es torna a fer el proc??s anterior fins tenir el valor de totes les inc??gnites.

$2x=-2 \$

Substituci??

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

$x=1+y \$

$2(1+y)=y \$

$2+2y=y \$

$2=-y \$

$2x=-2 \$

Reducci??

Per a solucionar un sistema d'equacions amb aquest m??tode cal fer que una de les inc??gnites tingui el mateix coeficient en totes les equacions. Despr??s, es resten membre a membre per a eliminar una de les inc??gnites. Un cop trobada aquesta inc??gnita, se'n substitueix el valor en totes les altres equacions primitives per tal d'obtenir la segona inc??gnita, i aix?? successivament.

$\begin{cases} x=1+y \\ 2x=y \end{cases}$

Es multiplica la primera equaci?? per 2:

$\begin{cases} 2x=2+2y \\ 2x=y \end{cases}$