Equation diff??rentielle

Une ??quation diff??rentielle est un math??matique ??quation pour une inconnue fonction d'un ou plusieurs variables qui rapporte les valeurs de la fonction elle-m??me et de ses d??riv??s de divers ordres. ??quations diff??rentielles jouent un r??le de premier plan dans l'ing??nierie , la physique , l'??conomie et d'autres disciplines.

Visualisation des flux d'air dans un conduit mod??lis?? en utilisant les ??quations de Navier-Stokes , un ensemble d'??quations aux d??riv??es partielles.

Introduction

??quations diff??rentielles se posent dans de nombreux domaines de la science et de la technologie; chaque fois qu'un relation d??terministe impliquant certaines quantit??s ??volution constante (mod??lis??es par des fonctions) et leurs taux de variation (exprim?? en d??riv??s) est connu ou postul??. Ce est bien illustr?? par la m??canique classique , o?? le mouvement d'un corps est d??crit par sa position et la vitesse comme varie. moment les lois de Newton permettent de relier la position, la vitesse, l'acc??l??ration et diff??rentes forces agissant sur le corps et l'??tat de cette relation comme une ??quation diff??rentielle de la position inconnue du corps en fonction du temps. Dans de nombreux cas, cette ??quation diff??rentielle peut ??tre r??solu explicitement, ce qui donne la loi du mouvement.

??quations diff??rentielles sont math??matiquement ??tudi??s ?? partir de plusieurs points de vue diff??rents, principalement concern??s avec leurs solutions, les fonctions qui rendent l'??quation vrai. Seuls les ??quations diff??rentielles admettent des solutions les plus simples donn??es par des formules explicites. Beaucoup de propri??t??s des solutions d'une ??quation diff??rentielle donn??e peuvent ??tre d??termin??es sans trouver leur forme exacte. Si une formule autonome pour la solution ne est pas disponible, la solution peut ??tre num??riquement estim??s ?? l'aide d'ordinateurs. La th??orie de la syst??mes dynamiques met l'accent sur l'analyse qualitative des syst??mes d??crits par des ??quations diff??rentielles, alors que beaucoup m??thodes num??riques ont ??t?? d??velopp??es pour d??terminer les solutions avec un degr?? de pr??cision donn??.

Indications d'??tudes

L'??tude des ??quations diff??rentielles est un vaste champ dans pure, les math??matiques appliqu??es , la physique et l'ing??nierie . Toutes ces disciplines sont concern??es par les propri??t??s des ??quations diff??rentielles de divers types. Math??matiques pures se concentre sur l'existence et l'unicit?? de solutions, tout en math??matiques appliqu??es souligne la justification rigoureuse des m??thodes de rapprochement des solutions. ??quations diff??rentielles jouent un r??le important dans pratiquement tous les processus de mod??lisation physique, technique, ou biologique, du mouvement c??leste conception de la passerelle, aux interactions entre les neurones. ??quations diff??rentielles tels que ceux utilis??s pour r??soudre les probl??mes de la vie r??elle ne sont pas n??cessairement directement solvable, ce est ?? dire ne ont pas solutions de forme ferm??e. Au lieu de cela, les solutions peuvent ??tre estim??s ?? l'aide m??thodes num??riques.

Math??maticiens ??tude a ??galement solutions faibles (en se appuyant sur d??riv??s faibles), qui sont des types de solutions qui ne ont pas ?? ??tre diff??rentiables partout. Cette extension est souvent n??cessaire pour des solutions d'exister, et il entra??ne ??galement physiquement plus raisonnables propri??t??s de solutions, telles que la pr??sence possible de chocs pour les ??quations de Type hyperbolique.

L'??tude de la stabilit?? des solutions d'??quations diff??rentielles est connue comme th??orie de la stabilit??.

Types d'??quations diff??rentielles

• Une ??quation diff??rentielle ordinaire (ODE) est une ??quation diff??rentielle, dans lequel la fonction inconnue est une fonction d'une seule variable ind??pendante.
• Une ??quation diff??rentielle partielle (PDE) est une ??quation diff??rentielle dans lequel la fonction est une fonction inconnue de plusieurs variables ind??pendantes et leur d??riv??es partielles.
• Un ??quation diff??rentielle retard (DDE) est une ??quation diff??rentielle, dans lequel la d??riv??e de la fonction inconnue ?? un moment donn?? est donn??e en fonction des valeurs de la fonction ?? des moments pr??c??dents.
• Un ??quation diff??rentielle stochastique (SDE) est une ??quation diff??rentielle dans laquelle un ou plusieurs des termes est un processus stochastique, conduisant ainsi ?? une solution qui est lui-m??me un processus stochastique.
• Un ??quation alg??brique diff??rentielle (DAE) est une ??quation diff??rentielle comprenant diff??rentiel et termes alg??briques, donn??e sous forme implicite.

Chacune de ces cat??gories est divis??e en sous-cat??gories lin??aires et non lin??aires. Une ??quation diff??rentielle est lin??aire si la variable d??pendante et tous ses d??riv??s apparaissent ?? la puissance 1 et il n'y a pas de produits ou fonctions de la variable d??pendante. Autrement, l'??quation diff??rentielle est non lin??aire. Ainsi, si repr??sente la premi??re d??riv??e de la fonction , Alors l'??quation

est lin??aire, tandis que l'??quation

est non lin??aire. Les solutions d'une ??quation lin??aire, dans lequel la fonction est inconnue ou de son d??riv?? ou de d??riv??s apparaissent dans chaque terme (??quations homog??nes lin??aires) peuvent ??tre ajout??s ensemble ou multipli??s par une constante arbitraire, afin d'obtenir des solutions suppl??mentaires de cette ??quation, mais il n'y a pas de mani??re g??n??rale pour obtenir familles de solutions d'??quations non lin??aires, sauf quand ils pr??sentent des sym??tries; voir sym??tries et invariants. ??quations lin??aires apparaissent fr??quemment comme des approximations ?? des ??quations non lin??aires, et ces approximations ne sont valables que dans des conditions restreintes.

Une autre caract??ristique importante d'une ??quation diff??rentielle est son ordre, qui est l'ordre de la plus grande d??riv??e (d'une variable d??pendante) apparaissant dans l'??quation. Par exemple, une ??quation diff??rentielle du premier ordre ne contient que des d??riv??es premi??res, comme les deux exemples ci-dessus.

Connexion ?? des ??quations diff??rentielles

La th??orie des ??quations diff??rentielles est ??troitement li??e ?? la th??orie de la ??quations aux diff??rences, dans lequel les coordonn??es assument seules valeurs discr??tes, et la relation implique des valeurs de la fonction inconnue ou fonctions et valeurs aux coordonn??es proximit??. De nombreuses m??thodes pour calculer des solutions num??riques d'??quations diff??rentielles ou d'??tudier les propri??t??s des ??quations diff??rentielles impliquent approximation de la solution d'une ??quation diff??rentielle par la solution d'une ??quation de diff??rence correspondante. Voir aussi: Temps de calcul ?? grande ??chelle.

Universalit?? de description math??matique

Un grand nombre de lois fondamentales de la physique et de la chimie peut ??tre formul?? sous forme d'??quations diff??rentielles. En biologie et l'??conomie ??quations diff??rentielles sont utilis??s pour mod??liser le comportement de syst??mes complexes. La th??orie math??matique des ??quations diff??rentielles du premier d??velopp?? en collaboration avec les sciences o?? les ??quations ??taient originaires et o?? les r??sultats trouv??s application. Cependant, divers probl??mes, provenant parfois dans des domaines scientifiques bien distinctes, peuvent donner lieu ?? des ??quations diff??rentielles identiques. Lorsque cela se produit, th??orie math??matique derri??re les ??quations peut ??tre consid??r??e comme un principe unificateur derri??re divers ph??nom??nes. A titre d'exemple, envisager de propagation de la lumi??re et du son dans l'atmosph??re, et des vagues ?? la surface d'un ??tang. Chacun d'entre eux peut ??tre d??crit par la m??me seconde afin ??quation aux d??riv??es partielles , le ??quation d'onde, ce qui nous permet de penser de la lumi??re et le son comme formes de vagues, un peu comme des vagues familiers dans l'eau. Conduction de la chaleur, dont la th??orie a ??t?? brillamment d??velopp?? par Joseph Fourier, est r??gie par une autre ??quation aux d??riv??es partielles du second ordre, le ??quation de la chaleur. Il se est av??r?? que beaucoup des processus de diffusion, en apparence diff??rente, sont d??crits par la m??me ??quation; ??quation de Black-Scholes en finance est, par exemple, li??e ?? l'??quation de la chaleur.

??quations diff??rentielles c??l??bres