Sym??trie

Sym??trique dans l'usage commun transmet g??n??ralement deux significations primaires. Le premier est un sens impr??cis de proportionnalit?? et ??quilibre harmonieux ou esth??tique, qui; de telle sorte qu'il refl??te la beaut?? ou de la perfection. Le deuxi??me sens est un concept pr??cis et bien d??fini d'??quilibre ou de "motifs auto-similarit??" qui peut ??tre d??montr?? ou prouv?? selon les r??gles d'un syst??me formel: par la g??om??trie , ?? travers la physique ou autrement.

Bien que les significations sont ?? distinguer, dans certains contextes, les deux significations de ??sym??trie?? sont li??es et discut??s en parall??le.

Les notions "pr??cises" de sym??trie ont diverses mesures et les d??finitions op??rationnelles. Par exemple, la sym??trie peut ??tre observ??:

• en ce qui concerne le passage du temps ;
• comme un relation spatiale;
• travers g??om??trique tels que les transformations mise ?? l'??chelle, r??flexion, et rotation;
• par d'autres types de transformations fonctionnelles; et
• en tant qu'??l??ment de des objets abstraits, mod??les th??oriques, la langue , la musique et m??me connaissance elle-m??me.

Cet article d??crit ces notions de sym??trie ?? partir de trois perspectives. Le premier est celui de math??matiques , dans lequel sym??tries sont d??finis et class??s avec pr??cision. La seconde perspective d??crit sym??trie en ce qui concerne la science et la technologie . Dans ce contexte, sym??tries sous-tendent certains des r??sultats les plus profondes de moderne physique , y compris les aspects de espace et le temps. Enfin, une troisi??me perspective discute sym??trie dans les sciences humaines , couvrant son utilisation riche et vari??e dans l'histoire , l'architecture , l'art et la religion .

Le contraire de la sym??trie est asym??trie.

Sym??trie en math??matiques

Sur le plan formel, nous disons qu'un objet est sym??trique par rapport ?? une donn??e op??ration math??matique, si, lorsqu'elle est appliqu??e ?? l'objet, cette op??ration ne change pas l'objet ou de son apparence. Deux objets sont sym??triques les unes aux autres par rapport ?? un groupe donn?? d'op??rations si l'on obtient ?? partir de l'autre par une partie des op??rations (et vice versa).

Sym??tries peuvent ??galement ??tre trouv??s dans les organismes vivants, y compris les humains et les autres animaux (voir la sym??trie en biologie ci-dessous). En g??om??trie 2D les principaux types de sym??trie d'int??r??t sont par rapport ?? la base Euclidiennes isom??tries planes: traductions, rotations, r??flexions, et glisser r??flexions.

Mod??le math??matique pour la sym??trie

L'ensemble des op??rations de sym??trie consid??r??e, sur tous les objets dans un ensemble X, peut ??tre mod??lis??e comme une l'action Groupe G: G ?? X → X, o?? l'image de g dans G et x dans X se ??crit g ?? x. Si, pour une g, g ?? x = y, alors x et y sont dits ??tre sym??triques l'une de l'autre. Pour chaque objet x, op??rations pour lesquelles g g ?? x = x former un groupe , le groupe de sym??trie de l'objet, un sous-groupe de G. Si le groupe de sym??trie de x est le groupe trivial alors x est dite asym??trique, sinon sym??trique. Un exemple g??n??ral est que G est un groupe de bijections g: V → V agissant sur l'ensemble des fonctions x: V → W par (gx) (v) = x (g ^-1 (v)) (ou un ensemble restreint de ces fonctions qui est ferm?? sous l'action de groupe). Ainsi, un groupe de bijections de l'espace induit une action de groupe sur les "objets" en elle. Le groupe de sym??trie de x se compose de tous g pour lesquels x (v) = x (g (v)) pour tout v. G est le groupe de sym??trie de l'espace lui-m??me, et de tout objet qui est uniforme dans tout l'espace. Certains sous-groupes de G peuvent ne pas ??tre le groupe de sym??trie d'un objet quelconque. Par exemple, si le groupe contient pour chaque v et w dans un V g telle que g (v) = w, alors que les groupes de sym??trie des fonctions constantes x contiennent ce groupe. Toutefois, le groupe de sym??trie des fonctions constantes G est elle-m??me.

Dans une version modifi??e de champs de vecteurs, on a (gx) (v) = h (x (g, g ^-1 (v))) o?? h tourne tous les vecteurs et pseudovectors en x, et inverse des vecteurs (mais pas pseudovectors) selon la rotation et l'inversion en g, voir sym??trie en physique. Le groupe de sym??trie x se compose de tous g pour lesquels X (v) = h (x, g (g (v))) pour tous les v. Dans ce cas, le groupe de sym??trie d'une fonction constante peut ??tre un sous-groupe convenable de G: un vecteur constant a seulement une sym??trie de rotation par rapport ?? la rotation autour d'un axe si cet axe est dans la direction du vecteur, et que la sym??trie d'inversion si elle est z??ro.

Pour une notion commune de la sym??trie dans l'espace euclidien , G est le Groupe euclidien E (n), le groupe de isom??tries, et V est l'espace euclidien. Le groupe d'un objet de rotation est le groupe de sym??trie si G est limit??e ?? E ⁺ (n), le groupe des isom??tries directes. (Pour g??n??ralisations, voir le prochain paragraphe.) Les objets peuvent ??tre mod??lis??s comme des fonctions x, dont une valeur peut repr??senter une s??lection de propri??t??s telles que la couleur, la densit??, composition chimique, etc., selon la s??lection que nous consid??rons seulement sym??tries d'ensembles de points (x est juste un fonction bool??enne de la position v), ou, ?? l'autre extr??me, par exemple sym??trie de droite et main gauche avec toute leur structure.

Pour un groupe de sym??trie donn??e, les propri??t??s d'une partie de l'objet, d??finissent compl??tement la totalit?? de l'objet. Compte tenu des points ??quivalent qui, en raison de la sym??trie, les m??mes propri??t??s, les classes d'??quivalence sont les orbites de l'action de groupe sur l'espace lui-m??me. Nous avons besoin de la valeur de x ?? un point dans chaque orbite pour d??finir l'objet complet. Un ensemble de ces repr??sentants forme une domaine fondamental. Le plus petit domaine fondamental n'a pas une sym??trie; dans ce sens, on peut dire que la sym??trie se appuie sur asym??trie.

Un objet avec une sym??trie d??sir?? peut ??tre produit en choisissant pour chaque orbite une valeur de fonction unique. ?? partir d'un objet x donn?? que nous pouvons par exemple:

• prendre les valeurs dans un domaine fondamental (ie, ajouter des copies de l'objet)

• prendre pour chaque orbite une sorte de moyenne ou la somme des valeurs de x aux points de l'orbite (idem, o?? les copies peuvent se chevaucher)

Se il est d??sir?? de ne pas avoir plus de sym??trie que dans le groupe de sym??trie, puis l'objet ?? copier doit ??tre asym??trique.

Comme indiqu?? plus haut, certains groupes de isometries ne sont pas le groupe de sym??trie d'un objet quelconque, sauf dans le mod??le modifi?? de champs de vecteurs. Par exemple, cela se applique en 1D pour le groupe de toutes les traductions. Le domaine fondamental est un seul point, nous ne pouvons pas faire asym??trique, de sorte que toute "pattern" invariante par translation est ??galement invariante par r??flexion (ce sont les "mod??les" uniformes).

Dans la version de vecteur champ sym??trie de translation continue ne implique pas sym??trie de r??flexion: la valeur de fonction est constante, mais se il contient des vecteurs non nuls, il n'y a pas sym??trie de r??flexion. Se il n'y a ??galement sym??trie de r??flexion, la valeur de la fonction constante ne contient pas de vecteurs non nuls, mais il peut contenir pseudovectors non nuls. Un exemple 3D correspondant est un infini cylindre avec un courant perpendiculaire ?? l'axe; la champ magn??tique (une pseudo-vecteur) est, dans la direction du cylindre, constante, mais diff??rente de z??ro. Pour les vecteurs (en particulier le densit?? de courant), on a une sym??trie dans chaque plan perpendiculaire au cylindre, ainsi que la sym??trie cylindrique. Cette sym??trie cylindrique sans plans de miroir ?? travers l'axe est ??galement possible que dans la version du champ de vecteurs de la notion de sym??trie. Un exemple similaire est un cylindre tournant autour de son axe, o?? le champ magn??tique et la densit?? de courant sont remplac??s par le moment angulaire et de vitesse , respectivement.

Un groupe de sym??trie est dit transitivement ?? agir sur une fonction d'un objet r??p??t?? si, pour chaque paire d'occurrences de l'??l??ment il existe une op??ration de sym??trie cartographie de la premi??re ?? la seconde. Par exemple, en 1D, le groupe de sym??trie du {..., 1,2,5,6,9,10,13,14, ...} est transitif sur tous ces points, tandis que {..., 1, 2,3,5,6,7,9,10,11,13,14,15, ...} ne agit pas transitivement sur tous les points. ??quivalente, la premi??re s??rie est seule classe conjugaison par rapport ?? isometries, tandis que le second a deux classes.

Sym??trie non-isom??trique

Comme mentionn?? ci-dessus, G (le groupe de sym??trie de l'espace lui-m??me) peut diff??rer de la Groupe euclidien, le groupe de isom??tries.

Exemples:

• G est le groupe de transformations de similarit??, soit transformations affines avec une matrice A qui est une fois un scalaires matrice orthogonale. Ainsi dilatations sont ajout??s, auto-similarit?? est consid??r?? comme une sym??trie

• G est le groupe de transformations affines avec une matrice A de d??terminant 1 ou -1, ce est ?? dire la transformation qui pr??servent zone; ce qui ajoute par exemple oblique sym??trie de r??flexion.

• G est le groupe de toutes les transformations affines bijectives

• En Inversion, G inclut des r??flexions de cercle, etc.

• Plus g??n??ralement, un involution d??finit une sym??trie par rapport ?? cette involution.

Sym??trie directionnelle

Voir sym??trie directionnelle.

Sym??trie de r??flexion

Voir sym??trie de r??flexion.

Sym??trie de r??flexion, la sym??trie miroir, image-miroir sym??trie, ou sym??trie bilat??rale est une sym??trie par rapport ?? la r??flexion.

Ce est le type le plus commun de sym??trie. En 2D, il ya un axe de sym??trie, en 3D d'un plan de sym??trie. Un objet ou une figure qui ne se distingue pas de son image transform??e est appel?? miroir sym??trique (voir image miroir).

L'axe de sym??trie d'une figure ?? deux dimensions est une ligne de telle sorte que, si une perpendiculaire est construit, deux points quelconques situ??s sur la perpendiculaire ?? ??gale distance de l'axe de sym??trie sont identiques. Une autre fa??on de penser, ce est que si la forme devait ??tre pli?? en deux sur l'axe, les deux moiti??s seraient identiques: les deux moiti??s sont l'image de l'autre dans un miroir. Ainsi, un carr?? a quatre axes de sym??trie, car il ya quatre fa??ons diff??rentes de le plier et ont les bords durant tout le match. Un cercle a une infinit?? de axes de sym??trie, pour la m??me raison.

Si la lettre T est r??fl??chi le long d'un axe vertical, il appara??t les m??mes. Notez que ce est parfois appel?? sym??trie horizontale, et la sym??trie verticale parfois! On peut mieux utiliser une formulation sans ambigu??t??, par exemple "T a un axe de sym??trie vertical."

Les triangles avec cette sym??trie est isoc??le , les quadrilat??res avec cette sym??trie est le cerfs-volants et les isoc??le trap??zes.

Pour chaque ligne ou plan de r??flexion, le groupe de sym??trie est isomorphe avec Cs (voir groupes de points en trois dimensions), l'un des trois types d'ordre deux (involutions), donc alg??briquement C2. Le domaine fondamentale est un demi-plan ou demi-espace.

Bilateria bilat??raux (animaux, y compris l'homme) sont plus ou moins sym??trique par rapport ?? la plan sagittal.

Dans certains contextes, il est une sym??trie de rotation de toute fa??on. Puis sym??trie sp??culaire est ??quivalent ?? sym??trie d'inversion; dans de tels contextes physique moderne le terme P-sym??trie est utilis?? pour les deux (P = parit??).

Pour plus de types g??n??raux de r??flexion il ya des types plus g??n??raux de sym??trie de r??flexion correspondant. Exemples:

• par rapport ?? une non isom??trique affine involution (une r??flexion oblique en ligne, avion, etc.).

• en ce qui concerne cercle inversion

La sym??trie de rotation

Voir une sym??trie de rotation.

La sym??trie de rotation est sym??trie par rapport ?? une partie ou toutes les rotations en dimension m espace euclidien. Rotations sont isom??tries directes, ce est ?? dire, isom??tries pr??servant orientation. Par cons??quent, un groupe de sym??trie de la sym??trie de rotation est un sous-groupe de E + (m) (voir Groupe euclidienne).

Sym??trie par rapport ?? toutes les rotations sur tous les points implique la sym??trie de translation par rapport ?? toutes les traductions, et le groupe de sym??trie est l'ensemble E + (m). Cela ne se applique pas pour les objets car il rend l'espace homog??ne, mais elle peut se appliquer des lois physiques.

Pour sym??trie par rapport aux rotations autour d'un point nous pouvons prendre ce point comme origine. Ces rotations constituent le groupe sp??cial orthogonal SO (m), le groupe de m ?? m avec matrices orthogonales d??terminant une. Pour m = 3 ce est la groupe rotation.

Dans un autre sens du mot, le groupe d'un objet de rotation est le groupe de sym??trie au sein de E + (n), le groupe des isom??tries directes; en d'autres termes, l'intersection du groupe de sym??trie compl??te et le groupe des isom??tries directes. Pour les objets chiraux il est le m??me que le groupe de sym??trie compl??te.

Lois de la physique sont SO (3) -invariante se ils ne distinguent pas des directions diff??rentes dans l'espace. ?? cause de Le th??or??me de Noether, la sym??trie de rotation d'un syst??me physique est ??quivalente ?? la loi angulaire de conservation de quantit?? de mouvement. Voir ??galement invariance par rotation.

Sym??trie de translation

Voir l'article principal sym??trie de translation.

Sym??trie de translation laisse un invariant de l'objet sous un groupe discret ou continu de traductions

Glide sym??trie de r??flexion

Un glisse sym??trie de r??flexion (en 3D: un plan de sym??trie de descente) signifie qu'un reflet dans une ligne ou un plan combin?? ?? une translation le long de la ligne / dans le plan, les r??sultats dans le m??me objet. Elle implique la sym??trie de translation par deux fois le vecteur de translation.

Le groupe de sym??trie est isomorphe avec Z.

Rotoreflection sym??trie

En 3D, ou rotoreflection Antirotation au sens strict est une rotation autour d'un axe, combin??e avec la r??flexion dans un plan perpendiculaire ?? cet axe. Comme groupes de sym??trie en ce qui concerne un roto-r??flexion, nous pouvons distinguer:

• l'angle ne est pas commun diviseur ?? 360 ??, le groupe de sym??trie ne est pas discr??te
• 2 n -fois rotoreflection (angle de 180 ?? / n) avec le groupe de sym??trie S _2n d'ordre 2 n (?? ne pas confondre avec groupes sym??triques, pour lesquels la m??me notation est utilis??e; abstraite groupe C _2n); un cas particulier est n = 1, inversion, car elle ne d??pend pas de l'axe et le plan, il est caract??ris?? par que le point d'inversion.
• C _NH (angle de 360 ?? / n); pour n impair ce est g??n??r??e par une seule sym??trie, et le groupe est abstraite C _2n, m??me pour n ce ne est pas une sym??trie de base, mais une combinaison. Voir ??galement groupes de points en trois dimensions.

Sym??trie h??lico??dale

Sym??trie h??lico??dale est le genre de sym??trie vu dans ces objets du quotidien que ressorts, Jouets Slinky, forets, et tari??res. Il peut ??tre consid??r?? comme une sym??trie de rotation avec translation le long de l'axe de rotation, la axe de la vis). Le concept de sym??trie h??lico??dale peut ??tre visualis?? comme le trac?? tridimensionnel dans l'espace qui r??sulte de la rotation d'un objet ?? un m??me vitesse angulaire tout en se d??pla??ant simultan??ment ?? une autre vitesse, m??me le long de son axe de rotation (traduction). A tout moment, ces deux motions se combinent pour donner un angle d'enroulement qui aide ?? d??finir les propri??t??s du trac??. Lorsque l'objet de tra??age tourne rapidement et traduit lentement, l'angle d'enroulement sera proche de 0 ??. A l'inverse, si la rotation est lente et rapide la traduction, l'angle d'enroulement se approcher de 90 ??.

Trois grandes classes de sym??trie h??lico??dale peuvent ??tre diff??renci?? en fonction du jeu de l'angle d'enroulement et de traduction sym??tries long de l'axe:

• Infini sym??trie h??lico??dale. Se il n'y a pas de caract??ristiques distinctives le long de la longueur d'un h??lice ou un objet de type h??lice, l'objet auront sym??trie infinie peu comme celle d'un cercle, mais avec l'exigence suppl??mentaire de translation le long de l'axe long de l'objet ?? retourner ?? son aspect d'origine. Un objet de type h??lice est celui qui a ?? chaque point de l'angle de l'enroulement r??gulier d'une h??lice, mais qui peut aussi avoir un ind??finiment section transversale de grande complexit??, ?? la condition seulement que ce est pr??cis??ment la m??me section transversale existe (en g??n??ral apr??s une rotation) en tout point le long de la longueur de l'objet. Voici quelques exemples simples uniform??ment enroul??s ressorts, Slinky, forets, et tari??res. Dit plus pr??cis??ment, un objet a sym??tries infinies h??lico??dales si pour une petite rotation de l'objet autour de son axe central, il existe un point ?? proximit?? (la distance de translation) sur cet axe au cours de laquelle l'objet appara??tra exactement comme avant. Ce est cette infinie sym??trie h??lico??dale qui donne lieu ?? l'illusion curieux de mouvement le long de la longueur d'un bit de la vis ou de la vis qui est entra??n??e en rotation. Il offre ??galement la possibilit?? m??caniquement utile de ces dispositifs pour d??placer les mat??riaux le long de leur longueur, ?? condition qu'elles soient combin??es avec une force telle que la gravit?? ou de frottement qui permet de r??sister ?? des mat??riaux avec une simple rotation du foret ou une tari??re.

• n-sym??trie h??lico??dale. Si l'exigence que chaque section transversale de l'objet h??lico??dale ??tre identique est d??tendue, sym??tries h??lico??daux moins suppl??mentaires deviennent possibles. Par exemple, la section transversale de l'objet en h??lice peut ??tre modifi??, mais encore se r??p??te de mani??re r??guli??re le long de l'axe h??lico??dal de l'objet. Par cons??quent, les objets de ce type vont pr??senter une sym??trie apr??s une rotation d'un certain angle fixe et une traduction d'une certaine distance fixe, mais ne sera pas en g??n??ral ??tre invariant de ne importe quel angle de rotation. Si l'angle (rotation) au cours de laquelle la sym??trie se divise uniform??ment dans un cercle complet (360 ??), le r??sultat est l'??quivalent h??lico??dale d'un polygone r??gulier. Ce cas est appel?? n-sym??trie h??lico??dale, o?? n = 360 ?? / , Voir par exemple double h??lice. Ce concept peut encore ??tre g??n??ralis??e ?? inclure les cas o?? est un multiple de 360 ??, ce est-, le cycle ne se r??p??te par la suite, mais seulement apr??s plus d'un tour complet de l'objet h??lico??dale.

• Non r??p??table sym??trie h??lico??dale. Ce est le cas dans lequel l'angle de rotation tenue de respecter la sym??trie est un nombre irrationnel comme radians que ne se r??p??te jamais exactement ne importe combien de fois l'h??lice tourne. Ces sym??tries sont cr????s en utilisant un non r??p??table Point groupe en deux dimensions. ADN est un exemple de ce type de sym??trie non-r??p??tition h??lico??dale.

La sym??trie d'??chelle et fractales

La sym??trie d'??chelle renvoie ?? l'id??e que si un objet est agrandie ou r??duite en taille, le nouvel objet a les m??mes propri??t??s que l'original. La sym??trie d'??chelle est notable pour le fait qu'il ne existe pas pour la plupart des syst??mes physiques, un point qui a d'abord ??t?? per??ue que par Galileo . Des exemples simples de l'absence de sym??trie d'??chelle dans le monde physique comprennent la diff??rence dans la force et la taille des jambes de ??l??phants contre les souris , et l'observation que si une bougie en cire molle a ??t?? agrandi ?? la taille d'un grand arbre, il se effondrerait imm??diatement sous son propre poids.

Une forme plus subtile de sym??trie d'??chelle est d??montr??e par fractales . Comme con??u par Mandelbrot, fractales sont un concept math??matique dans lequel la structure d'une forme complexe ressemble exactement la m??me, peu importe le degr?? de grossissement est utilis?? pour l'examiner. Un c??te est un exemple de fractale naturelle, car il conserve ?? peu pr??s comparable et d'apparence semblable complexit?? ?? tous les niveaux de la vue d'un satellite ?? un examen microscopique de la fa??on dont l'eau clapote contre grains individuels de sable. La ramification des arbres, qui permet aux enfants d'utiliser de petites brindilles que stand-ins pour arbres entiers dans dioramas, est un autre exemple.

Cette similitude de ph??nom??nes naturels fournit des fractales avec une familiarit?? quotidienne g??n??ralement pas vu avec fonctions g??n??r??es math??matiquement. En cons??quence, ils peuvent produire une beaut?? frappante des r??sultats tels que l' ensemble de Mandelbrot . Curieusement, fractales ont ??galement trouv?? une place dans CG, ou les effets des films g??n??r??s par ordinateur, o?? leur capacit?? ?? cr??er des courbes tr??s complexes avec sym??tries fractales r??sultats dans plus r??aliste mondes virtuels.

combinaisons de sym??trie

Voir combinaisons de sym??trie.

Sym??trie dans la science

Sym??trie en physique

Sym??trie en physique a ??t?? g??n??ralis??e pour signifier invariance qui est, le manque de tout changement pour l'application visible tout type de transformation. Ce concept est devenu l'un des outils les plus puissants de la physique th??orique, car il est devenu ??vident que pratiquement toutes les lois de la nature proviennent de sym??tries. En fait, ce r??le a inspir?? le laur??at du prix Nobel PW Anderson ?? ??crire dans son tr??s lu l'article 1972 Plus est diff??rent que ??ce ne est exag??r?? l??g??rement le cas de le dire que la physique est l'??tude de sym??trie." Voir Th??or??me de Noether (qui, comme une simplification grossi??re, stipule que pour chaque sym??trie math??matique continue, il ya une quantit?? conserv??e correspondant; un courant conserv??, dans la langue originale de Noether); et aussi, La classification de Wigner, qui dit que les sym??tries des lois de la physique d??terminent les propri??t??s des particules trouv??es dans la nature.

Sym??trie dans les objets physiques

Objets classiques

M??me si un objet usuel peut appara??tre exactement le m??me apr??s une op??ration de sym??trie comme une rotation ou un ??change de deux parties identiques a ??t?? r??alis??e sur lui, il est ??vident qu'une telle sym??trie est vrai seulement comme une approximation pour tout objet physique ordinaire.

Par exemple, si une tourne un aluminium usin?? avec pr??cision triangle ??quilat??ral de 120 degr??s autour de son centre, un observateur occasionnel mis en avant et apr??s la rotation sera incapable de d??cider si oui ou non une telle rotation a eu lieu. Cependant, la r??alit?? est que chaque coin d'un triangle appara??tra toujours unique lorsque examin?? avec suffisamment de pr??cision. Un observateur arm?? avec des ??quipements de mesure suffisamment d??taill??s tels que optique ou microscopes ??lectroniques ne seront pas dupes; il reconna??tra imm??diatement que l'objet a ??t?? mis en rotation par la recherche de d??tails tels que des cristaux ou des d??formations mineures.

Si simple exp??riences de pens??e montrent que les affirmations de sym??trie dans les objets physiques quotidiennes sont toujours une question de similitude approximative plut??t que de similitude math??matique pr??cise. La cons??quence la plus importante de cette nature approximative des sym??tries dans les objets physiques quotidiennes est que ces sym??tries ont peu d'impacts ou pas sur la physique de ces objets. Par cons??quent, seul le plus profond sym??tries d'espace et le temps jouent un r??le majeur dans la physique qui est classique, la physique des grandes, des objets du quotidien.

Objets quantiques

Remarquablement, il existe un domaine de la physique pour lequel affirmations math??matiques de sym??tries simples objets r??els cessent d'??tre des approximations. Ce est le domaine de la physique quantique , qui, pour la plupart, est la physique des objets tr??s petits, tr??s simples telles que des ??lectrons , protons , la lumi??re , et atomes .

Contrairement aux objets de tous les jours, des objets tels que les ??lectrons ont un nombre tr??s limit?? de configurations, appel?? ??tats, dans lesquels ils peuvent exister. Cela signifie que lorsque les op??rations de sym??trie comme l'??change les positions des composants leur sont appliqu??es, les nouvelles configurations r??sultant souvent ne peuvent pas ??tre distingu??s des originaux ne importe comment diligente une observateur. Par cons??quent, pour les petites et suffisamment simples objets l'affirmation de sym??trie math??matique g??n??rique F (x) = x cesse d'??tre approximative, et devient ?? la place une description exp??rimentale pr??cise et exacte de la situation dans le monde r??el.

Cons??quences de sym??trie quantique

Se il est logique que les sym??tries pourraient devenir exacte lorsqu'elle est appliqu??e ?? des objets tr??s simples, l'intuition imm??diate est qu'un tel d??tail ne devrait pas affecter la physique de ces objets de mani??re significative. Ce est en partie parce qu'il est tr??s difficile de voir la notion de similitude exacte que physiquement significative. Notre image mentale de ces situations est toujours le m??me que celui que nous utilisons pour les objets volumineux: Nous repr??sentons des objets ou des configurations qui sont tr??s, tr??s semblable, mais pour lesquels si nous pouvions "regarder de plus pr??s" nous serions encore en mesure de faire la diff??rence.

Toutefois, l'hypoth??se que les sym??tries exactes dans de tr??s petits objets ne devraient pas faire de diff??rence dans leur physique a ??t?? d??couvert dans les ann??es 1900 pour ??tre spectaculaire incorrect. La situation a ??t?? succinctement r??sum??e par Richard Feynman dans les transcriptions directes de son Feynman Cours de Physique, Volume III, section 3.4, particules identiques. (Malheureusement, la citation a ??t?? ??dit?? sur la version imprim??e de la m??me conf??rence.)

"... Se il ya une situation physique dans lequel il est impossible de dire de quel c??t?? il est arriv??, il interf??re toujours; il ne manque jamais."

Le mot " interf??re ??dans ce contexte est un moyen rapide de dire que ces objets tombent sous les r??gles de la m??canique quantique , dans laquelle ils se comportent plus comme des ondes qui interf??rent que comme tous les jours de grands objets.

En bref, quand un objet devient si simple que une assertion de la sym??trie de la forme F (x) = x devient une d??claration exacte de la m??met?? exp??rimentalement v??rifiables, x cesse de suivre les r??gles de la physique classique et doit plut??t ??tre mod??lis?? en utilisant les r??gles-intuitive plus complexes et souvent beaucoup moins de la physique quantique .

Cette transition fournit ??galement des indications importantes sur la raison pour laquelle les math??matiques de sym??trie sont si profond??ment imbriqu??s avec ceux de la m??canique quantique. Lorsque les syst??mes physiques ?? faire la transition de sym??tries qui sont environ ?? ceux qui sont exacte, les expressions math??matiques de ces sym??tries cessent d'??tre des approximations et sont transform??s en d??finitions pr??cises de la nature sous-jacente des objets. A partir de l??, la corr??lation de ces objets ?? leurs descriptions math??matiques devient si ??troite qu'il est difficile de s??parer les deux.

Sym??trie comme principe unificateur de la g??om??trie

Le g??om??tre allemand Felix Klein ??nonc?? un tr??s influent Programme d'Erlangen en 1872, ce qui sugg??re que la sym??trie unification et principe organisateur dans la g??om??trie (?? un moment o?? cela a ??t?? lu ??g??om??tries??). Ce est un large plut??t que de principe profond. Initialement, il a conduit ?? l'int??r??t pour les groupes attach??s ?? g??om??tries, et le slogan la g??om??trie de la transformation (un aspect de la New Math, mais gu??re controvers??e dans la pratique math??matique moderne). A pr??sent, il a ??t?? appliqu?? dans de nombreuses formes, comme une sorte d'attaque standard sur les probl??mes.

Sym??trie en math??matiques

Un exemple d'une expression math??matique pr??sentant une sym??trie est un ?? c + 3 ab + b ?? c. Si A et B sont ??chang??es, l'expression reste inchang?? en raison de la commutativit?? de l'addition et la multiplication.

Comme dans la g??om??trie, pour les termes il ya deux possibilit??s:

• il est lui-m??me sym??trique
• il a un ou plusieurs autres termes sym??triques avec elle, en fonction du type de sym??trie

Voir ??galement fonction sym??trique, la dualit?? (math??matiques)

Sym??trie dans la logique

Un relation dyadique R est sym??trique si et seulement si, chaque fois que ce est vrai que Rab, il est vrai que Rba. Ainsi, "est le m??me ??ge que" est sym??trique, car si Paul est du m??me ??ge que Marie, alors Marie est le m??me ??ge que Paul.

Binaire sym??trique connecteurs logiques sont " et "(∧, Ou &) ", ou "(∨)," biconditional "( ssi) (↔), NAND ("pas et"), XOR (??non-biconditional"), et NOR ("pas-ou").

G??n??ralisations de sym??trie

Si nous avons un ensemble d'objets avec une certaine structure, alors il est possible pour une sym??trie de convertir seulement un seul objet dans un autre, au lieu d'agir sur tous les objets possibles simultan??ment. Cela n??cessite une g??n??ralisation du concept de groupe de sym??trie ?? celle d'un groupo??de.

Les physiciens ont mis au point avec d'autres directions de la g??n??ralisation, comme supersym??trie et groupes quantiques.

Sym??trie en biologie

Voir sym??trie (biologie) et sym??trie faciale.

Sym??trie dans la chimie

Sym??trie est important de la chimie parce qu'il explique observations ?? la spectroscopie , la chimie quantique et cristallographie. Il se appuie fortement sur la th??orie des groupes .

Sym??trie dans l'histoire, la religion et la culture

Dans toute entreprise humaine pour lequel un r??sultat visuel impressionnant, ce est une partie de l'objectif recherch??, sym??tries jouent un r??le profonde. L'appel inn??e de sym??trie peut ??tre trouv??e dans nos r??actions se passe ?? travers des objets naturels tr??s sym??triques, tels que des cristaux form??s pr??cis??ment ou de coquillages magnifiquement spiral??es. Notre premi??re r??action ?? trouver un tel objet est souvent ?? se demander si nous avons trouv?? un objet cr???? par un ??tre humain, rapidement suivi par surprise que les sym??tries qui ont attir?? notre attention sont d??riv??es de la nature elle-m??me. Dans les deux r??actions nous donnons notre inclination pour voir sym??tries fois aussi belle et, d'une certaine fa??on, informative du monde qui nous entoure.

Sym??trie dans les symboles religieux

La tendance des gens ?? voir fin en sym??trie sugg??re au moins une des raisons pourquoi les sym??tries sont souvent partie int??grante des symboles des religions du monde. Juste un peu de nombreux exemples incluent le sextupl?? sym??trie de rotation juda??sme s ' ??toile de David, le double signaler sym??trie du tao??sme s ' Taijitu ou Yin-Yang, le sym??trie bilat??rale du christianisme s ' traverser et le sikhisme s ' Khanda, ou le point de sym??trie quadruple Ancienne (et pacifiquement pr??vu) version Jain de la croix gamm??e . Avec ses fortes interdictions contre l'utilisation d'images de repr??sentation, l'islam , et dans le particulier Branche de l'islam sunnite, a mis au point certains de l'utilisation la plus complexe et visuellement impressionnant des sym??tries pour des utilisations d??coratives de toute religion majeure.

L'ancien L'image Taijitu de tao??sme est une utilisation particuli??rement fascinant de sym??trie autour d'un point central, combin??e avec inversion noir et blanc de la couleur ?? des distances oppos??es de ce point central. L'image, qui est souvent mal compris dans le Monde occidental comme repr??sentant bonne (blanc) contre le mal (noir), est en fait con??u comme un repr??sentant graphique de la n??cessit?? compl??mentaire pour deux concepts abstraits de "masculinit??" (blanc) et "f??minit??" (noir). La sym??trie du symbole dans ce cas est utilis?? non seulement pour cr??er un symbole qui attire l'attention de l'??il, mais de faire une d??claration importante sur les croyances philosophiques des personnes et des groupes qui l'utilisent. Aussi un symbole religieux important sym??trique est le shinto??ste "Torii" "La porte des oiseaux??, habituellement la porte des temples shinto??stes appel??s "Jinjas".

Sym??trie dans les interactions sociales

Les gens observent la nature sym??trique, y compris souvent ??quilibre asym??trique, des interactions sociales dans une vari??t?? de contextes. Il se agit notamment des ??valuations de la r??ciprocit??, de l'empathie, des excuses, de dialogue, le respect, la justice et la vengeance. Interactions sym??triques envoient le message "nous sommes tous les m??mes" alors que les interactions asym??triques envoient le message "Je suis sp??ciale; mieux que vous". Les relations entre pairs sont bas??s sur la sym??trie, les relations de pouvoir sont bas??es sur l'asym??trie.

Sym??trie en architecture

Une autre activit?? humaine dans laquelle le r??sultat visuel joue un r??le essentiel dans le r??sultat global est l'architecture . Tant dans les temps anciens, la capacit?? d'une grande structure pour impressionner ou m??me intimider ses t??l??spectateurs a souvent ??t?? une partie importante de son objet, et l'utilisation de la sym??trie est un aspect incontournable de la fa??on d'accomplir ces objectifs.

Voici quelques exemples d'anciens exemples d'architectures qui ont fait l'utilisation puissante de sym??trie d'impressionner ceux qui les entourent inclus l' ??gyptienne Pyramides , le grec du Parth??non , et la premi??re et la seconde Temple de J??rusalem, de la Chine Cit?? Interdite, le Cambodge d ' Angkor Wat complexe, et les nombreux temples et des pyramides de l'ancienne Civilisations pr??colombiennes. Exemples historiques plus r??centes d'architectures soulignant sym??tries comprennent Cath??drales de l'architecture gothique, et am??ricaine pr??sident Thomas Jefferson s ' Monticello la maison. Inde in??gal??e s Taj Mahal est dans une cat??gorie ?? part, car il peut sans doute ??tre l'un des usages les plus impressionnants et beaux de sym??trie dans l'architecture que le monde ait jamais vu.

Un exemple int??ressant d'un sym??trie bris??e en architecture est la tour pench??e de Pise , dont la notori??t?? d??coule en grande partie pas la sym??trie destin??e de sa conception, mais pour la violation de cette sym??trie de la maigre qui se est d??velopp??e alors qu'il ??tait encore en construction. Des exemples modernes d'architectures qui font usage impressionnante ou complexe de diverses sym??tries comprennent l'Australie 's ??tonnante Sydney Opera House et Houston, au Texas 's simple Astrodome.

Sym??trie trouve ses moyens dans l'architecture ?? toutes les ??chelles, des vues ext??rieures globales, ?? travers la mise en page de l'individu plans d'??tage, et vers le bas ?? la conception d'??l??ments de construction individuelle tels que des portes finement c??d??, vitraux , mosa??ques de carreaux , frises, escaliers, rampes d'escalier, et balustradess. Pour complexité et la sophistication dans l'exploitation de symétrie comme un élément architectural, islamiques bâtiments tels que le Taj Mahal éclipsent souvent ceux d'autres cultures et d'âges, dû en partie à l'interdiction générale de l'Islam contre l'utilisation des images ou des personnes ou des animaux.

Liens relatifs à la symétrie dans l'architecture comprennent:

• Williams: Symétrie en architecture
• Aslaksen: Mathématiques en Art et Architecture

Symétrie dans la poterie et métalliques des navires

Depuis les premières utilisations de roues de poterie pour aider les vases d'argile de la forme, de la poterie a eu une forte relation de symétrie. Au minimum, la poterie créée en utilisant une roue commence nécessairement en pleine symétrie de rotation dans sa section transversale, tout en permettant une grande liberté de forme dans le sens vertical. Sur cette intrinsèquement symétriques cultures de point de départ de l'Antiquité ont eu tendance à ajouter d'autres modèles qui ont tendance à exploiter ou dans de nombreux cas de réduire la pleine symétrie de rotation d'origine à un point où un objectif visuelle spécifique est atteint. Par exemple, persan poterie datant du quatrième millénaire avant JC et utilisé précédemment zigzags symétriques, des carrés, hachures, et les répétitions de chiffres pour produire des modèles plus complexes et globaux frappantes visuellement.

Récipients métalliques exprimés manquaient la symétrie de rotation inhérente de la poterie fait au tour, mais autrement fourni une occasion similaire à décorer leurs surfaces avec des motifs agréables à ceux qui les ont utilisés. L'ancien Chinois, par exemple, utilisé des motifs symétriques dans leurs moulages en bronze dès le 17e navires siècle avant JC bronze exposées à la fois un motif principal bilatérale et une conception de la frontière traduit répétitif.

Liens:

• Chinavoc: L'art des bronzes chinois

• Grant: Poterie iranien à l'Institut oriental

• Le Metropolitan Museum of Art - art islamique

Symétrie dans des couvertures

Comme couettes sont fabriqués à partir de blocs carrés (habituellement 9, 16 ou 25 pièces pour un bloc) avec chaque pièce inférieure généralement constitué de triangles de tissu, le métier se prête facilement à la demande de symétrie.

Liens:

• Quate: exploration de la géométrie Grâce Quilts

Symétrie dans les tapis et moquettes

Une longue tradition de l'utilisation de la symétrie dans les tapis et les motifs tapis couvre une variété de cultures. Am??ricain Indiens Navajo utilisé diagonales audacieuses et motifs rectangulaires. Beaucoup tapis orientaux ont des centres et des frontières complexes réfléchis qui se traduisent par un motif. Sans surprise, tapis rectangulaires utilisent généralement quadrilatère symétrie qui est, motifs qui sont reflétées dans les deux axes horizontaux et verticaux.

Liens:

• Mallet: tapis d'Orient tribaux

• Dilucchio: Navajo Rugs

Symétrie dans la musique

Symétrie est bien sûr pas limitée aux arts visuels. Son rôle dans l'histoire de la musique touche de nombreux aspects de la création et de la perception de la musique.

La forme musicale

Symétrie a été utilisé comme une contrainte formelle par de nombreux compositeurs, tels que la forme de la voûte (ABCBA) utilisée par Steve Reich, Béla Bartók, et James Tenney (ou de la houle). Dans la musique classique, Bach a utilisé les concepts de symétrie de permutation et invariance; voir (lien externe "Fugue No. 21," pdf ou Shockwave).

Structures tangage

La symétrie est également un facteur important dans la formation de ??chelles et cordes, classique ou la musique tonale étant constituée de groupes non symétriques emplacements, tels que la gamme diatonique ou l' accord majeur. Échelles ou des accords symétriques, tels que l' échelle entière de tonalité, accord augmenté ou diminué accord de septième (diminuée-septième diminuée), on dit à la direction un manque ou un sentiment de mouvement vers l'avant, sont ambigus quant à la touche centrale ou tonale, et ont une moins spécifique fonctionnalité diatonique. Cependant, des compositeurs comme Alban Berg, Béla Bartók, et George Perle ont utilisé des axes de symétrie et / ou cycles d'intervalle d'une manière analogue à touches ou non tonales tonales centres.

Perle (1992) explique "CE, DF #, [et] Eb-G, sont différentes instances du mêmeintervalle ... l'autre sorte d'identité. ..has à voir avec des axes de symétrie. CE appartient à une famille de dyades symétriquement liés comme suit: "

Click on the following link to visit or download this HTML page

R??

RÉ #

E

Fa

F #

Sol

G #

R??

C #

C

B

UN #

Un

G #

Ainsi, en plus de faire partie de l'intervalle 4-famille, CE est également une partie de la somme-4 famille (avec C égal à 0).

Click on the following link to visit or download this HTML page

+	2		3		4		5		6		7		8
	2		1		0		11		10		9		8
	4		4		4		4		4		4		4

Intervalle cycles sont symétriques et donc non-diatonique. Toutefois, un segment de sept pas de C5 (le cycle des quintes, qui sont enharmonique avec le cycle des quarts) va produire la gamme majeure diatonique. Tonales cycliques progressions dans les ??uvres de compositeurs romantiques tels que Gustav Mahler et Richard Wagner constituent un lien avec les successions de pas cyclique dans la musique atonale des modernistes tels que Bartók, Alexandre Scriabine, Edgard Varèse, et l'école de Vienne. Dans le même temps, ces progressions signalent la fin de la tonalité.

La première composition élargie constamment basée sur des relations de hauteur symétriques était probablement d'Alban Berg Quartet , Op. 3 (1910). (Perle, 1990)

Équivalence

rangées de tonalité oula classe de hauteurensembles qui sontinvariantes parrétrograde sont horizontalement symétrique, sousinversion verticalement. Voir ??galement rythme asymétrique.

Symétrie dans d'autres arts et métiers

Le concept de symétrie est appliquée à la conception d'objets de toutes formes et tailles. D'autres exemples comprennent perlage,les meubles, lespeintures de sable,entrelacs,masques,instruments de musique, et de nombreuses autres activités.

Symétrie dans l'esthétique

La relation de symétrie de l'esthétique est complexe. Certaines symétries simples, et en particulier la symétrie bilatérale, semblent être profondément ancrée dans la perception inhérente par les humains de la santé probable ou remise en forme des autres créatures vivantes, comme on peut le voir par la simple expérience de fausser un côté de l'image d'une attrayante visage et en demandant aux téléspectateurs de noter l'attractivité de l'image résultante. Par conséquent, ces symétries qui imitent la biologie ont tendance à avoir un appel innée qui entraîne à son tour une forte tendance à créer des artefacts à symétrie similaire. Il suffit d'imaginer la difficulté en essayant de commercialiser un très asymétrique voiture ou camion pour les acheteurs d'automobiles générales de comprendre la puissance de symétries d'inspiration biologique tels que la symétrie bilatérale.

Un autre appel plus subtile de symétrie est celui de la simplicité, qui à son tour a une implication de la sécurité, de la sécurité, et la familiarité. Une salle très symétrique, par exemple, est inévitablement aussi une salle dans laquelle tout ce qui sort de l'endroit ou menaçant potentiellement peuvent être identifiés facilement et rapidement. Les personnes qui ont, par exemple, grandi dans des maisons pleines de bons angles exacts et précis artefacts identiques peuvent trouver leur première expérience en séjournant dans une chambre avec aucun angle droit exactes et aucun des artefacts exactement identiques à être très inquiétante. Symétrie peut donc être une source de réconfort non seulement comme un indicateur de la santé biologique, mais aussi d'un milieu de vie sécuritaire et bien compris.

Opposé à cela est la tendance pour la symétrie excessive à être perçu comme ennuyeux ou inintéressant. Les êtres humains en particulier, ont un puissant désir d'exploiter de nouvelles opportunités ou explorer de nouvelles possibilités, et un degré excessif de symétrie peut transmettre un manque de telles opportunités.

Pourtant, une autre possibilité est que lorsque symétries deviennent trop complexe ou trop difficile, l'esprit humain a tendance à "affiner les sortir" et de les percevoir dans un autre mode: commele bruit qui transmet aucune information utile.

Enfin, les perceptions et l'appréciation des symétries dépendent également sur ??????fond culturel. L'utilisation beaucoup plus grande des symétries géométriques complexes dans de nombreux islamiques cultures, par exemple, il est plus probable que les gens de ces cultures apprécieront ces formes d'art (ou, au contraire, à se rebeller contre eux).

Comme dans beaucoup d'activités humaines, le résultat de la convergence de nombreux facteurs tels que l'utilisation efficace de symétrie dans l'art et l'architecture est complexe, intuitive, et très dépendantes des compétences des personnes qui doivent tisser et de combiner ces facteurs dans leur propre créativité travail. Avec la texture, la couleur, la proportion, et d'autres facteurs, la symétrie est un ingrédient puissant dans une telle synthèse; il suffit d'examiner le Taj Mahal au rôle important que joue la symétrie dans la détermination de l'attrait esthétique d'un objet.

Quelques exemples de l'utilisation plus explicite des symétries dans l'art peuvent être trouvées dans l'art remarquable deMC Escher, la conception créatrice du concept mathématique d'ungroupe de fonds d'écran, et les nombreuses applications (à la fois mathématiques et le monde réel) decarrelage.

Symétrie dans les jeux et les puzzles

• Voir ??galement jeux symétriques.

• Voirsudoku.

Jeux de soci??t??

• The Chess Collection symétrique

Symétrie dans la littérature

Voir palindrome.

Symétrie morale

• Tac au tac
• Réciprocité
• Règle D'Or
• L'empathie etsympathie
• Équilibre réfléchi