Les ??quations de Maxwell

Sujets connexes: l'??lectricit?? et de l'??lectronique

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Electromagn??tisme

??lectricit?? Magn??tisme
??lectrostatique Charge ??lectrique ??lectricit?? statique Champ ??lectrique Conducteur Isolant Tribo??lectricit?? D??charge ??lectrostatique Induction La loi de Coulomb La loi de Gauss Flux ??lectrique / ??nergie potentielle Moment dipolaire ??lectrique Polarisation
Magn??tostatique La loi d'Amp??re Champ magn??tique Magn??tisation Flux magn??tique Loi de Biot-Savart Moment de dip??le magn??tique La loi de Gauss ?? magn??tisme
??lectrodynamique Droit de la force de Lorentz Induction ??lectromagn??tique La loi de Faraday La loi de Lenz D??placement actuel Les ??quations de Maxwell Champ ??lectromagn??tique Un rayonnement ??lectromagn??tique Tenseur de Maxwell Vecteur de Poynting Potentiel Li??nard-Wiechert Les ??quations de Jefimenko ?? courant de Foucault
R??seau ??lectrique Courant ??lectrique Potentiel ??lectrique Tension R??sistance La loi d'Ohm circuit de la s??rie Circuit parall??le Courant continu Courant alternatif Force ??lectromotrice Capacitance Inductance Imp??dance Cavit??s r??sonnantes Guides d'ondes
Formulation covariante Tenseur ??lectromagn??tique ( tenseur-??nergie) Four ?? courant continu Potentiel ??lectromagn??tique ?? quatre
Les scientifiques Amp??re Coulomb Faraday Gauss Heaviside Henri Hertz Lorentz Maxwell Tesla Volta Weber ??rsted

Les ??quations de Maxwell sont un ensemble de quatre ??quations diff??rentielles partielles qui, conjointement avec le Droit de la force de Lorentz, forment le fondement de ??lectrodynamique classique, classiques optique , et les circuits ??lectriques. Ce ?? son tour sous-tendent la pr??sente radioactivit??, t??l??vision-, t??l??phone-, et d'information-technologies.

Les ??quations de Maxwell ont deux variantes principales. L'ensemble ??microscopique?? des ??quations de Maxwell utilise charge totale et le courant total, y compris les frais de niveau atomique difficiles ?? calculer et les courants dans les mat??riaux. L'ensemble ??macroscopique?? des ??quations de Maxwell d??finit deux nouveaux champs auxiliaires qui peuvent contourner avoir ?? conna??tre ces charges et des courants de taille ??atomique??.

Les ??quations de Maxwell sont nomm??s d'apr??s le physicien et math??maticien ??cossais James Clerk Maxwell , car ils se trouvent tous dans un document en quatre parties, Sur les lignes de la force physique, qu'il publia entre 1861 et 1862. La forme math??matique de la loi de la force de Lorentz est ??galement apparu dans le pr??sent document.

Il est souvent utile d'??crire les ??quations de Maxwell sous d'autres formes qui sont souvent appel??s les ??quations de Maxwell ainsi. Une formulation relativiste en termes de tenseurs covariants sur le terrain est utilis?? dans la relativit?? restreinte. Alors que, en m??canique quantique, une version bas??e sur le ??lectrique et des potentiels magn??tiques est pr??f??r??.

Description conceptuelle

Conceptuellement, les ??quations de Maxwell d??crivent comment charges ??lectriques et courants ??lectriques agissent comme sources pour les champs ??lectriques et magn??tiques. En outre, on d??crit comment un champ ??lectrique variable dans le temps engendre un champ magn??tique variant dans le temps et vice versa. (Voir ci-dessous pour obtenir une description math??matique de ces lois.) Parmi les quatre ??quations, deux d'entre eux, la loi de Gauss et La loi de Gauss pour le magn??tisme, d??crivent comment les champs ??manent de charges. (Pour le champ magn??tique il ne ya aucun frais magn??tique et les lignes de champs magn??tiques donc ni commencer ni finir ne importe o??.) Les deux autres ??quations d??crivent comment de l'circuler ??les champs autour de leurs sources respectives; le champ magn??tique ??circule?? autour de courants et de temps ??lectriques champ ??lectrique variable dans La loi d'Amp??re avec correction de Maxwell, tandis que ??circule?? du champ ??lectrique autour de temps variant champs magn??tiques dans La loi de Faraday.

La loi de Gauss

La loi de Gauss d??crit la relation entre un champ ??lectrique et les g??n??ratrices de charges ??lectriques : Les points de champ ??lectrique loin de charges positives et vers charges n??gatives. Dans la description des lignes de champ, les lignes de champ ??lectrique commencent seulement ?? des charges ??lectriques positives et ne se terminent ?? des charges ??lectriques n??gatives. ??Comptage?? le nombre de lignes de champ dans un surface ferm??e, donc, donne la charge totale d??limit??e par cette surface. Plus techniquement, il concerne la flux ??lectrique ?? travers toute hypoth??tique ferm??e " Surface de Gauss "?? la charge ??lectrique ?? l'int??rieur de la surface.

La loi de Gauss pour le magn??tisme: lignes de champ magn??tique ne commencent jamais ni fin, mais forment des boucles ou se ??tendent ?? l'infini comme montr?? ici avec le champ magn??tique d?? ?? un anneau de courant.

La loi de Gauss ?? magn??tisme

La loi de Gauss pour le magn??tisme d??clare qu'il n'y a pas "charges magn??tiques" (??galement appel??s monop??les magn??tiques), analogues aux charges ??lectriques. Au lieu de cela, le champ magn??tique d?? aux mat??riaux est g??n??r?? par une configuration appel??e dip??le. Dip??les magn??tiques sont mieux repr??sent??s que les boucles de courant, mais ressemblent ?? des ??charges magn??tiques?? positives et n??gatives, ins??parablement li??s entre eux, ne ayant pas de ??charge magn??tique net. En termes de lignes de champ, cette ??quation indique que les lignes de champ magn??tique ne commencent ni fin, mais faire des boucles ou se ??tendent ?? l'infini et ?? l'arri??re. En d'autres termes, une ligne de champ magn??tique qui p??n??tre dans un volume donn?? doit sortir quelque part ce volume. ??tats techniques ??quivalentes sont que le total flux magn??tique ?? travers ne importe quelle surface gaussienne est ??gale ?? z??ro, ou que le champ magn??tique est un Champ sol??no??dal.

La loi de Faraday

Dans un temp??te g??omagn??tique, une augmentation du flux de particules charg??es modifie temporairement le champ magn??tique de la Terre, ce qui induit des champs ??lectriques dans l'atmosph??re de la Terre, causant ainsi pouss??es dans notre ??lectrique les r??seaux ??lectriques.

La loi de Faraday d??crit comment une variable dans le temps champ magn??tique cr??e (??induit??) d'un champ ??lectrique . Cet aspect de induction ??lectromagn??tique est le principe de fonctionnement derri??re beaucoup g??n??rateurs ??lectriques: par exemple une rotation bar aimant cr??e un champ magn??tique changeant, qui ?? son tour g??n??re un champ ??lectrique dans un fil ?? proximit??. (Note: il ya deux ??quations ??troitement li??s qui sont appel??s la loi de Faraday La forme utilis??e dans les ??quations de Maxwell est toujours valide, mais plus restrictive que celle formul??e ?? l'origine par. Michael Faraday .)

La loi d'Amp??re avec correction de Maxwell

Un de Wang La m??moire de noyau magn??tique (1954) est une application de La loi d'Amp??re. Chaque magasins base une peu de donn??es.

La loi d'Amp??re avec la correction de Maxwell indique que les champs magn??tiques peuvent ??tre g??n??r??s de deux fa??ons: par courant ??lectrique (ce ??tait la ??loi de Amp??re" original) et en modifiant des champs ??lectriques (ce ??tait "la correction de Maxwell").

La correction de Maxwell ?? la loi d'Amp??re est particuli??rement important: Cela signifie qu'un champ magn??tique changeant cr??e un champ ??lectrique et un champ ??lectrique changeant cr??e un champ magn??tique. Par cons??quent, ces ??quations permettent "autonomes ondes ??lectromagn??tiques "de voyager ?? travers l'espace vide (voir Rayonnement ??lectromagn??tique).

La vitesse calcul??e pour les ondes ??lectromagn??tiques, ce qui pourrait ??tre pr??dite ?? partir des exp??riences sur des charges et des courants, correspond exactement ?? la vitesse de la lumi??re ; En effet, la lumi??re est une forme de rayonnement ??lectromagn??tique (comme le sont rayons X, les ondes radio, et autres). Maxwell compris la connexion entre les ondes ??lectromagn??tiques et la lumi??re en 1861, unifiant ainsi les domaines pr??c??demment s??par??s de l'??lectromagn??tisme et l'optique .

Unit??s et r??sum?? des ??quations

Les ??quations de Maxwell varient avec le syst??me d'unit??s utilis??. Bien que la forme g??n??rale reste la m??me, diverses d??finitions se changer et des constantes apparaissent ?? diff??rents endroits. Les ??quations de cette section sont donn??s dans Unit??s SI. D'autres unit??s sont couramment utilis??s Unit??s de Gauss (bas??s sur le syst??me de CGS), Unit??s de Lorentz-Heaviside (utilis??s principalement dans la physique des particules) et Unit??s de Planck (utilis??s en physique th??orique). Voir ci-dessous Unit??s CGS de Gauss.

Pour une description de la diff??rence entre les variantes microscopiques et macroscopiques des ??quations de Maxwell voir les sections pertinentes ci-dessous.

Dans les ??quations ci-dessous, les symboles en gras repr??sentent vecteur quantit??s, et les symboles en italique repr??sentent quantit??s scalaires. Les d??finitions des termes utilis??s dans les deux tableaux d'??quations sont donn??s dans une autre table, imm??diatement apr??s.

Table des ??quations microscopiques ''

Formulation en termes de charge et de courant *total*
Nom	Forme diff??rentielle	Forme int??grale
La loi de Gauss	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ varepsilon_0}$	$\ Int \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!! \ \;! \ \ Subset \; \ \;! \ \ \;! \ \ \ \ \!!!!! \ \ \ int _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \; \; \ ! \ \ supset \ mathbf E \; \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = \ frac {Q (V)} {\ varepsilon_0}$
La loi de Gauss ?? magn??tisme	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\ Int \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!! \ \;! \ \ Subset \; \ \;! \ \ \;! \ \ \ \ \!!!!! \ \ \ int _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \; \; \ ! \ \ supset \ mathbf B \; \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = 0$
??quation de Maxwell-Faraday (Loi de Faraday de l'induction)	$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - \ frac {\ partial \ Phi_ {B, S}} {\ partial t}$
Th??or??me d'Amp??re (Avec correction de Maxwell)	$\ Nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {J} + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} \$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu_0 I_S + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ Phi_ {E, S}} {\ partial t }$

Table des ??quations macroscopiques ''

Formulation en termes de charge et de courant *libre*
Nom	Forme diff??rentielle	Forme int??grale
La loi de Gauss	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho_f$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf D \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = Q_ {f} (V)$
La loi de Gauss ?? magn??tisme	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf B \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = 0$
??quation de Maxwell-Faraday ( La loi d'induction de Faraday)	$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - \ frac {\ partial \ Phi_ {B, S}} {\ partial t}$
Th??or??me d'Amp??re (Avec correction de Maxwell)	$\ Nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _f + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = I_ {f, S} + \ frac {\ partial \ Phi_ {D, S}} {\ partial t}$

Table des termes utilis??s dans les ??quations de Maxwell

Le tableau suivant donne la signification de chaque symbole et le Unit?? de mesure SI:

D??finitions et unit??s
Symbole	Signification (premier terme est le plus commun)	SI Unit?? de mesure
$\ Mathbf {E} \$	champ ??lectrique appel?? ??galement l'intensit?? du champ ??lectrique	volt par m??tres ou, de fa??on ??quivalente, par Newton Coulomb
$\ Mathbf {B} \$	champ magn??tique ??galement appel?? l'induction magn??tique ??galement appel?? la densit?? de champ magn??tique ??galement appel?? la densit?? de flux magn??tique	tesla, ou de mani??re ??quivalente, weber par m??tre carr??, volts - seconde par m??tre carr??
$\ Mathbf {D} \$	Induction ??lectrique ??galement appel?? l'induction ??lectrique ??galement appel?? la densit?? de flux ??lectrique	coulombs par m??tre carr?? ou de mani??re ??quivalente, newton par volts - m??tre
$\ Mathbf {H} \$	champ magn??tisant aussi appel?? champ magn??tique auxiliaire ??galement appel?? intensit?? du champ magn??tique aussi appel?? champ magn??tique	amp??re par m??tre
$\ Mathbf {\ nabla \ cdot}$	la divergence op??rateur	par m??tre (facteur a contribu?? en appliquant soit l'op??rateur)
$\ Mathbf {\ nabla \ times}$	la boucle op??rateur
$\ Frac {\ partial} {\ partial t}$	d??riv??e partielle par rapport au temps	par seconde (facteur a contribu?? en appliquant l'op??rateur)
$\ Mathrm {d} \ mathbf {A}$	??l??ment de vecteur diff??rentiel de la zone surface A, avec infiniment petit ampleur et la direction perpendiculaire ?? la surface S	m??tres carr??s
$\ Mathrm {d} \ mathbf {l}$	??l??ment de vecteur diff??rentiel de longueur du chemin tangentielle au chemin / courbe	m??tres
$\ Varepsilon_0 \$	permittivit?? de l'espace libre, appel?? aussi constante ??lectrique, une constante universelle	farads par m??tre
$\ Mu_0 \$	perm??abilit?? de l'espace libre, appel?? aussi magn??tique constant, une constante universelle	henrys par m??tre, ou newtons par amp??re carr??
$\ \ Rho_f \$	gratuit densit?? de charge (non compris charges li??es)	coulombs par m??tre cube
$\ \ Rho \$	total densit?? de charge (y compris ?? la fois libre et charges li??es)	coulombs par m??tre cube
$\ Mathbf {J} _f$	gratuit densit?? de courant (non compris courant li??)	amp??res par m??tre carr??
$\ Mathbf {J}$	total densit?? de courant (y compris ?? la fois libre et courant li??)	amp??res par m??tre carr??
$\, Q_f (V)$	net sans charge ??lectrique dans le volume V en trois dimensions (non compris charges li??es)	Coulombs
$\, Q (V)$	net charge ??lectrique dans le volume V en trois dimensions (y compris ?? la fois libre et charges li??es)	Coulombs
$\ Oint _ {\ S partielle} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}$	int??grale curviligne du champ ??lectrique le long de la ∂S limites d'une surface S (∂S est toujours une courbe ferm??e ).	joules par coulomb
$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}$	ligne int??grante du champ magn??tique sur les ∂S fronti??re ferm??e de la surface S	Tesla m??tres
$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf E \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A$	la flux ??lectrique ( int??grale de surface du champ ??lectrique) ?? travers la ( surface ferm??e) $\ Partial V$ (La limite du volume V)	joule-coulomb m??tre par
$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf B \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A$	la flux magn??tique ( int??grante de la surface du champ magn??tique B) ?? travers la ( surface ferm??e) $\ Partial V$ (La limite du volume V)	tesla m??tres-carr?? ou webers
$\ Iint_S \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = \ Phi_ {B, S}$	flux magn??tique ?? travers ne importe quelle surface S, pas n??cessairement ferm??	webers ou ??quivalente, volts-seconde
$\ Iint_S \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = \ {Phi_ E, S}$	flux ??lectrique ?? travers ne importe quelle surface S, pas n??cessairement ferm??	Joule-m??tres par coulomb
$\ Iint_S \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = \ Phi_ {D, S}$	flux de champ de d??placement ??lectrique ?? travers ne importe quelle surface S, pas n??cessairement ferm??	Coulombs
$\ Iint_S \ mathbf {J} _f \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = I_ {f, s}$	net gratuit un courant ??lectrique passant ?? travers la surface S (?? l'exclusion courant li??)	Amp??re
$\ Iint_S \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = I_ {S}$	net passage de courant ??lectrique ?? travers la surface S (incluant ?? la fois libre et courant li??)	Amp??re

Preuve que les deux formulations g??n??rales sont ??quivalentes

Les deux formulations g??n??rales suppl??ants des ??quations de Maxwell donn??es ci-dessus sont math??matiquement ??quivalentes et li??s par les relations suivantes:

$\ Rho_b = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P},$

$\ Mathbf {J} _b = \ nabla \ times \ mathbf {M} + \ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ t partielle},$

$\ Mathbf {D} = \ epsilon_0 \ mathbf {E} + \ mathbf {P},$

$\ Mathbf {B} = \ mu_0 (\ mathbf {H} + \ mathbf {M}),$

$\ Rho = \ rho_b + \ rho_f, \$

$\ Mathbf {J} = \ mathbf {J} _b + \ mathbf {J} _f,$

o?? P et M sont polarisation et aimantation, et ρ _b et _b J sont li??s courant de charge et, respectivement. En substituant ces ??quations dans les ??quations ??macroscopiques?? de Maxwell donne identique les ??quations microscopiques.

??quations ??microscopiques?? de Maxwell

La variante microscopique de l'??quation de Maxwell exprime le champ ??lectrique E et le champ magn??tique B en fonction de la charge totale et pr??sente courant total, y compris les charges et des courants au niveau atomique. Elle est parfois appel??e la forme g??n??rale des ??quations de Maxwell ou ????quations de Maxwell dans le vide". Les deux variantes des ??quations de Maxwell sont tout aussi g??n??ral, cependant, car ils sont math??matiquement ??quivalentes. Les ??quations microscopiques sont les plus utiles dans des guides d'ondes, par exemple, en l'absence de mat??riaux di??lectriques ou magn??tiques ?? proximit??.

Formulation en termes de charge et de courant *total*
Nom	Forme diff??rentielle	Forme int??grale
La loi de Gauss	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ frac {\ rho} {\ varepsilon_0}$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf E \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = \ frac {Q (V)} {\ varepsilon_0}$
La loi de Gauss ?? magn??tisme	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf B \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = 0$
??quation de Maxwell-Faraday (Loi de Faraday de l'induction)	$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - \ frac {\ partial \ Phi_ {B, S}} {\ partial t}$
Th??or??me d'Amp??re (Avec correction de Maxwell)	$\ Nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu_0 \ mathbf {J} + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} \$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ mu_0 I_S + \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ Phi_ {E, S}} {\ partial t }$

Avec ni charges ni courants

Dans une r??gion sans frais (ρ = 0) et aucun courant (J = 0), comme dans un vide, les ??quations de Maxwell r??duisent ??:

$\ Nabla \ cdot \ mathbf {} E = 0$

$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$

$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$

$\ Nabla \ times \ mathbf {B} = \ \ \ mu_0 \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ t partielle}.$

Ces ??quations conduisent directement ?? E et B satisfaisant la ??quation d'onde pour laquelle les solutions sont des combinaisons lin??aires de ondes planes voyageant ?? la vitesse de la lumi??re ,

$c = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_0 \ varepsilon_0}}. \$

En outre, E et B sont mutuellement perpendiculaires entre eux et la direction de d??placement et sont en phase les uns avec les autres. Un sinuso??dale onde plane est une solution sp??ciale de ces ??quations.

En fait, les ??quations de Maxwell expliquent comment ces ondes peuvent physiquement se propager ?? travers l'espace. Le champ magn??tique changeant cr??e un champ ??lectrique ?? travers l'??volution La loi de Faraday. ?? son tour, ce champ ??lectrique cr??e un champ magn??tique changeant travers La correction de Maxwell ?? la loi d'Amp??re. Ce cycle perp??tuel permet ?? ces vagues, maintenant connu sous le rayonnement ??lectromagn??tique , de se d??placer dans l'espace ?? la vitesse c.

'' ??quations macroscopiques de Maxwell

Contrairement aux ??quations ??microscopiques??, ????quations macroscopiques de Maxwell", aussi connu comme les ??quations de Maxwell dans la mati??re, le facteur sur la charge li??e et actuelle pour obtenir des ??quations qui ne d??pendent que des charges et des courants gratuits. Ces ??quations sont plus semblables ?? ceux que Maxwell se est pr??sent??. Le co??t de cette factorisation est que les champs suppl??mentaires doivent ??tre d??finis: le champ de d??placement D qui est d??finie en termes de champ ??lectrique E et le polarisation P du mat??riau, et le champ Magn??tiques- de H, qui est d??finie en termes de champ et le B Magn??tiques- aimantation M du mat??riau.

Courant de charge et Bound

Gauche: Une vue sch??matique de la fa??on dont un ensemble de dip??les microscopiques produit des charges de surface oppos??es comme indiqu?? en haut et en bas ?? droite:. Comment un assemblage de boucles de courant microscopiques ajouter ensemble pour produire une boucle de courant circulant macroscopiquement. A l'int??rieur des fronti??res, les contributions individuelles tendent ?? se annuler, mais aux limites aucune annulation survient.

Lorsqu'un champ ??lectrique est appliqu?? ?? un mat??riau di??lectrique ses mol??cules r??agissent en formant microscopique leurs dip??les-??lectriques noyaux atomiques se d??placent d'une courte distance dans la direction du champ, tandis que les ??lectrons se d??placent d'une courte distance dans la direction oppos??e. Cela produit une charge li??e macroscopique dans le mat??riau m??me si tous les faits reproch??s sont li??s ?? des mol??cules individuelles. Par exemple, si chaque mol??cule r??pond identique, analogue ?? celui repr??sent?? sur la figure, ces petits mouvements de la charge se combinent pour produire une couche de positif li?? charge sur un c??t?? de la mati??re et une couche de charge n??gative de l'autre c??t??. La charge li??e est plus commod??ment d??crite en termes d'un polarisation, P, dans le mat??riau. Si P est uniforme, une s??paration macroscopique de charge est produite uniquement sur les surfaces o?? P entrer et sortir de la mati??re. Pour P non uniforme, une charge est ??galement produit dans la masse.

Un peu similaire, dans tous les mat??riaux constitutifs de la atomes exposition moments magn??tiques qui sont intrins??quement li??s ?? la moment angulaire des composants des atomes, notamment leurs ??lectrons. Le connexion au moment angulaire sugg??re l'image d'un ensemble de boucles de courant microscopiques. En dehors de la mati??re, un ensemble de ces boucles de courant microscopiques ne est pas diff??rent d'un courant macroscopique de circulation autour de la surface de la mati??re, malgr?? le fait qu'aucun moment magn??tique individuel se d??place d'une distance importante. Ces courants li??s peuvent ??tre d??crites en utilisant la aimantation M.

Le tr??s compliqu?? et granulaires li?? charges et des courants consolid??s, donc peuvent ??tre repr??sent??s ?? l'??chelle macroscopique en termes de P et M dont la moyenne de ces charges et de courants sur une ??chelle suffisamment grande pour ne pas voir la granularit?? des atomes individuels, mais aussi suffisamment petites qu'elles varient en fonction de l'emplacement dans le mat??riau. En tant que tel, les ??quations de Maxwell macroscopiques ignore beaucoup de d??tails sur une ??chelle fine qui peut ??tre sans importance pour comprendre les questions sur une ??chelle de grosser en calculant les champs qui sont moyenn??es sur un peu de volume de taille appropri??e.

??quations

Formulation en termes de charge et de courant *libre*
Nom	Forme diff??rentielle	Forme int??grale
La loi de Gauss	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho_f$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf D \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = Q_ {f} (V)$
La loi de Gauss ?? magn??tisme	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\ Iint _ {\ V partielle} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \;!!!!!!!!!!!!!!!!!!! \; \ ; \ subset \ \ supset \ mathbf B \;! \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf A = 0$
??quation de Maxwell-Faraday ( La loi d'induction de Faraday)	$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ de mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = - \ frac {\ partial \ Phi_ {B, S}} {\ partial t}$
Th??or??me d'Amp??re (Avec correction de Maxwell)	$\ Nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _f + \ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}$	$\ Oint _ {\ S partielle} \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = I_ {f, S} + \ frac {\ partial \ Phi_ {D, S}} {\ partial t}$

Relations constitutives

Afin d'appliquer '??quations macroscopiques de Maxwell ??, il est n??cessaire de pr??ciser les relations entre champ de d??placement D et E, et le H-champ magn??tique H et B. Ces ??quations indiquent la r??ponse de charge et de courant li??e aux domaines appliqu??s et sont appel??s relations constitutives.

D??termination de la relation entre les champs de comportement auxiliaires D et H et les champs E et B commence par la d??finition des champs auxiliaires eux-m??mes:

$\ Mathbf {D} (\ mathbf {r}, t) = \ epsilon_0 \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {P} (\ mathbf {r}, t)$

$\ Mathbf {H} (\ mathbf {r}, t) = \ frac {1} {\ mu_0} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) - \ mathbf {M} (\ mathbf {r} , t),$

o?? P est la champ de polarisation et M est la champ d'aimantation qui sont d??finis en termes de frais de microscopiques li?? et le courant li?? respectivement. Avant d'arriver ?? la fa??on de calculer M et P, il est utile d'examiner certains cas particuliers, cependant.

Sans mat??riaux magn??tiques ou di??lectriques

En l'absence de mat??riaux magn??tiques ou di??lectriques, les relations constitutives sont simples:

$\ Mathbf {D} = \ epsilon_0 \ mathbf {e}, \; \; \; \ Mathbf {H} = \ mathbf {B} / \ mu_0$

o?? ε ₀ et μ ₀ sont deux constantes universelles, appel?? permittivit?? espace libre et perm??abilit?? de l'espace libre, respectivement. En substituant ces dos en ??quations macroscopiques de Maxwell m??nent directement ?? des ??quations de Maxwell microscopiques, sauf que les courants et les charges sont remplac??s par des courants libres et charges libres. Ce est pr??vu car il n'y a aucun frais reli??s ni courants.

Mat??riaux isotrope lin??aire

Dans un ( isotrope) de mat??riau lin??aire, o?? P est proportionnelle ?? E et M est proportionnel ?? B les relations constitutives sont ??galement simple. En termes de polarizaton P et l'aimantation M ils sont:

$\ Mathbf {P} = \ epsilon_0 \ chi_e \ mathbf {e}, \; \; \; \ Mathbf {M} = \ chi_m \ mathbf {} H,$

o?? χ χ _e et _m sont ??lectrique et susceptibilit??s magn??tiques d'un mat??riau donn??, respectivement. En termes de D et H les relations constitutives sont:

$\ Mathbf {D} = \ epsilon \ mathbf {e}, \; \; \; \ Mathbf {H} = \ mathbf {B} / \ mu,$

o?? ε et μ sont des constantes (qui d??pendent de la mati??re), appel?? le permittivit?? et perm??abilit??, respectivement, du mat??riau. Ceux-ci sont li??s aux susceptibilit??s par:

$\ Epsilon = \ epsilon_0 (1+ \ chi_e) \; \; \; \ Mu = \ mu_0 (1+ \ chi_m)$

En substituant dans les relations constitutives ci-dessus dans les ??quations de Maxwell en lin??aires, dispersionless, mat??riaux invariants dans le temps (forme diff??rentielle seulement) sont:

$\ Nabla \ cdot (\ epsilon \ mathbf {E}) = \ rho_f$

$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$

$\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}$

$\ nabla \ times (\ mathbf {B} / \ mu) = \ mathbf {J} _f + \ epsilon \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ t partielle}.$

Ce sont formellement identique ?? la formulation g??n??rale en termes de E et B (ci-dessus), sauf que le permittivit?? espace libre a ??t?? remplac?? par le permittivit?? du mat??riau, la perm??abilit?? de l'espace libre a ??t?? remplac?? par le charges et des courants libres de perm??abilit?? de la mati??re, et seuls sont inclus (au lieu de tous les frais et les courants). Sauf que le mat??riau est homog??ne dans l'espace, ε et μ ne peuvent pas ??tre les exclure de l'expressions d??riv??s sur les c??t??s gauche.

Cas g??n??ral

Pour les mat??riaux du monde r??el, les relations constitutives ne sont pas lin??aires, sauf environ. Calcul des relations constitutives de premiers principes consiste ?? d??terminer la fa??on dont P et M sont cr????s ?? partir d'un E et B donn??. Ces relations peuvent ??tre empirique (fond??e directement sur mesures), ou th??orique (bas?? sur la m??canique statistique , la th??orie du transport ou d'autres outils de la physique de la mati??re condens??e ). Le d??tail peut ??tre employ?? macroscopique ou microscopique, selon le niveau n??cessaire pour le probl??me sous examen.

En g??n??ral, si les relations constitutives peuvent g??n??ralement encore ??tre ??crits:

$\ Mathbf {D} = \ epsilon \ mathbf {e}, \; \; \; \ Mathbf {H} = \ mathbf {B} / \ mu$

mais ε et μ ne sont pas, en g??n??ral, constantes simples, mais plut??t fonctions. Des exemples sont les suivants:

Dispersion et absorption o?? ε et μ sont des fonctions de la fr??quence. (Causalit?? ne permet pas de mat??riaux pour ??tre non dispersif; voir, par exemple, Kramers-Kronig relations). Ni le font les champs doivent ??tre en phase qui conduit ?? ε et μ ??tant complexe . Cela conduit ??galement ?? l'absorption.
Bi (e) isotropie o?? H et D d??pendent ?? la fois B et E:

$D = \ epsilon E + \ xi H \; \; \; B = \ mu H + \ zeta E.$

Non-lin??arit?? o?? ε et μ sont des fonctions de E et B.
Anisotropie (tels que bir??fringence ou dichro??sme) qui se produit lorsque ε et μ sont de second rang tenseurs,

$D_j = \ epsilon_ {} ij E_i \; \; \; B_j = \ mu_ {} ij h_i.$

D??pendance de P et M sur E et B ?? d'autres endroits et les heures. Cela pourrait ??tre d?? au manque d'homog??n??it?? spatiale; par exemple dans un la structure domained, h??t??rostructure ou un cristal liquide , ou le plus souvent dans la situation o?? il n'y a simplement plusieurs mat??riaux occupant diff??rentes r??gions de l'espace). Ou cela peut ??tre d?? ?? un milieu variant de temps ou du fait de hyst??r??sis. Dans un tel cas, P et M peut ??tre calcul??e comme suit:

$\ Mathbf {P} (\ mathbf {r}, t) = \ epsilon_0 \ int {\ rm d} ^ 3 \ mathbf {r} '{\ rm d} t \'; \ Hat {\ chi} _ {\ mathrm {}} elec (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', t, t'; \ mathbf {E}) \, \ mathbf {E} (\ mathbf { r} ', t')$

$\ Mathbf {M} (\ mathbf {r}, t) = \ frac {1} {\ mu_0} \ int {\ rm d} ^ 3 \ mathbf {r} '{\ rm d} t \'; \ Hat {\ chi} _ {\ mathrm {}} magn (\ mathbf {r}, \ mathbf {r} ', t, t'; mathbf \ {B}) \, \ mathbf {B} (\ mathbf { r} ', t'),$

dans lequel les fonctions de la permittivit?? et la perm??abilit?? sont remplac??s par des int??grales sur la plus g??n??rale ??lectrique et susceptibilit??s magn??tiques.

Dans la pratique, certaines propri??t??s des mat??riaux ont un impact n??gligeable dans des circonstances particuli??res, permettant la n??gligence de petits effets. Par exemple: non-lin??arit??s optiques peuvent ??tre n??glig??s pour les faibles intensit??s de champ; dispersion par la mati??re est sans importance lorsque la fr??quence est limit??e ?? un ??troit la bande passante; absorption de la mati??re peut ??tre n??glig?? pour des longueurs d'onde pour lesquelles un mat??riau est transparent; et m??taux avec conductivit?? finie sont souvent estim??s ?? micro-ondes ou des longueurs d'onde plus longues que m??taux parfaits avec une conductivit?? infinie (formant barri??res dures avec z??ro la profondeur de la peau de la p??n??tration sur le terrain).

On peut noter que les mati??res synth??tiques peuvent ??tre con??us pour avoir une permittivit?? et une perm??abilit?? sur mesure, tel que m??tamat??riaux et des cristaux photoniques.

Calcul des relations constitutives

En g??n??ral, les ??quations constitutives sont th??oriquement d??termin??es par le calcul de la fa??on dont une mol??cule r??pond aux champs locaux par l'interm??diaire du Force de Lorentz. Peuvent avoir besoin d'??tre mod??lis??s aussi bien comme vibrations r??seaux dans les cristaux ou des forces d'obligations d'autres forces. Y compris toutes les forces conduit ?? des changements dans la mol??cule qui sont utilis??es pour calculer P et M en fonction des champs locaux.

Les champs locaux diff??rent des champs appliqu??s en raison des champs produits par la polarisation et l'aimantation du mat??riau ?? proximit??; un effet qui doit ??galement ??tre mod??lis??. En outre, des mat??riaux r??els ne sont pas milieux continus; les champs locaux de mat??riaux r??els varient ??norm??ment ?? l'??chelle atomique. Les champs doivent ??tre mesur??es sur un volume appropri?? pour former une approximation de continuum.

Ces approximations du continuum n??cessitent souvent un certain type de m??canique quantique analyse tels que la th??orie quantique des champs appliqu??e ?? la physique de la mati??re condens??e . Voir, par exemple, th??orie de la fonctionnelle de la densit??, Relations-Kubo vert et La fonction de Green. Diverses ??quations de transport approximatives ont ??volu??, par exemple, la ??quation de Boltzmann ou de la ??quation de Fokker-Planck ou ??quations de Navier-Stokes. Certains exemples de ces ??quations sont appliqu??es sont magn??tohydrodynamique, la dynamique des fluides, ??lectrohydrodynamique, la supraconductivit?? , mod??lisation du plasma. Un ensemble de l'appareil physique pour traiter ces questions se est d??velopp??e. Une autre s??rie de m??thodes d'homog??n??isation (??volution d'une tradition dans les mat??riaux tels que le traitement des conglom??rats et stratifi??s) sont bas??s sur le rapprochement d'un mat??riau inhomog??ne par un homog??ne milieu effectif (valable pour excitations avec longueurs d'onde beaucoup plus grande que l'??chelle de l'h??t??rog??n??it??).

La mod??lisation th??orique des propri??t??s continuum-approximation de nombreux mat??riaux r??els comptent souvent sur la mesure ainsi, par exemple, les mesures d'ellipsom??trie.

Histoire

Relation entre l'??lectricit??, le magn??tisme et la vitesse de la lumi??re

La relation entre l'??lectricit??, le magn??tisme et la vitesse de la lumi??re peut ??tre r??sum??e par l'??quation moderne:

$c = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_0 \ varepsilon_0}} \.$

Le c??t?? gauche est la vitesse de la lumi??re, et de la droite est une grandeur li??e ?? des ??quations r??gissant l'??lectricit?? et le magn??tisme. Bien que la droite a des unit??s de vitesse, il peut ??tre d??duit ?? partir des mesures de forces ??lectriques et magn??tiques, qui impliquent aucun vitesses physiques. Par cons??quent, l'??tablissement de cette relation fourni des preuves convaincantes que la lumi??re est un ph??nom??ne ??lectromagn??tique.

La d??couverte de cette relation a commenc?? en 1855, lorsque Wilhelm Eduard Weber et Rudolf Kohlrausch d??termin?? qu'il y avait une quantit?? li??e ?? l'??lectricit?? et le magn??tisme, "le rapport de l'unit?? ??lectromagn??tique de charge absolu ?? l'unit?? ??lectrostatique de charge absolu" (en langage moderne, la valeur $1 / \ sqrt {\ mu_0 varepsilon_0 \}$ ), Et d??termin?? qu'il devrait avoir des unit??s de vitesse. Ils ont ensuite mesur?? ce rapport par une exp??rience qui a impliqu?? une charge et de d??charge Bouteille de Leyde et de mesure de la force magn??tique du courant de d??charge, et a trouv?? une valeur 3,107 ?? 10 ⁸ m / s, remarquablement proches de la vitesse de la lumi??re, qui a r??cemment ??t?? ??valu??s ?? 3,14 ?? 10 ⁸ m / s par Hippolyte Fizeau en 1848 et ?? 2,98 ?? 10 ⁸ m / s par L??on Foucault en 1850. Cependant, Weber et Kohlrausch n'a pas fait la connexion ?? la vitesse de la lumi??re. Vers la fin de 1861 tout en travaillant sur la partie III de son document Sur les lignes de la force physique, Maxwell a voyag?? de l'Ecosse ?? Londres et leva les yeux Weber et les r??sultats de Kohlrausch. Il les transforme en un format qui est compatible avec ses propres ??crits, et, ce faisant, il ??tablit la connexion ?? la vitesse de la lumi??re et a conclu que la lumi??re est une forme de rayonnement ??lectromagn??tique.

Les ??quations de Maxwell Le terme

Les quatre ??quations de Maxwell modernes peuvent ??tre trouv??s individuellement tout au long de son article 1861, d??riv??e th??oriquement en utilisant un mod??le de vortex mol??culaire de Michael Faraday de l '??lignes de force?? et en collaboration avec le r??sultat exp??rimental de Weber et Kohlrausch. Mais ce ne est qu'en 1884 que Oliver Heaviside, en m??me temps que des travaux similaires par Willard Gibbs et Heinrich Hertz, regroup?? les quatre ensemble dans un ensemble distinct. Ce groupe de quatre ??quations ??tait connue diversement comme les ??quations Hertz-Heaviside et les ??quations de Maxwell-Hertz, et sont parfois encore connu que les ??quations de Maxwell-Heaviside.

La contribution de Maxwell ?? la science dans la production de ces ??quations r??side dans la correction qu'il a faite ?? Th??or??me d'Amp??re dans son document de 1861 Sur les lignes de la force physique. Il a ajout?? que mandat actuel d??placement ?? Th??or??me d'Amp??re et cela lui a permis de tirer le Rayonnement ??lectromagn??tique dans son article ult??rieur 1865 Une th??orie dynamique du champ ??lectromagn??tique et de d??montrer le fait que la lumi??re est une onde ??lectromagn??tique . Ce fait a ??t?? confirm?? plus tard puis exp??rimentalement par Heinrich Hertz en 1887. Le physicien Richard Feynman a pr??dit que, "La guerre civile am??ricaine sera p??le dans l'insignifiance provinciale par rapport ?? cet ??v??nement scientifique important de la m??me d??cennie."

. Le concept de champs a ??t?? introduit par, entre autres, Faraday Albert Einstein a ??crit:

La formulation pr??cise des lois l'espace-temps ??tait l'??uvre de Maxwell. Imaginez ses sentiments lorsque les ??quations diff??rentielles qu'il avait formul??es lui prouv??rent que les champs ??lectromagn??tiques r??partis sous la forme d'ondes polaris??es, et ?? la vitesse de la lumi??re! Pour quelques hommes dans le monde a ??t?? une telle exp??rience daign?? ... il a fallu des d??cennies pour certains physiciens saisir la pleine signification de la d??couverte de Maxwell, si audacieux ??tait le saut que son g??nie forc?? sur les conceptions de ses collaborateurs
- (Science, 24 mai 1940)

Heaviside a travaill?? pour ??liminer les potentiels ( potentiel ??lectrique et potentiel magn??tique) que Maxwell avait utilis?? les concepts centraux dans ses ??quations; cet effort a ??t?? quelque peu controvers??, mais il a ??t?? entendu par 1884 que les potentiels doivent se propagent ?? la vitesse de la lumi??re comme les champs, ?? la diff??rence du concept de l'action instantan??e-??-la-loin, comme ?? l'??poque de la conception potentiel gravitationnel. Analyse moderne, par exemple, des antennes radio, fait pleinement usage de vecteurs et scalaires les potentiels de Maxwell pour s??parer les variables, une technique couramment utilis??e dans la formulation des solutions d'??quations diff??rentielles. Cependant les potentiels peuvent ??tre introduits par manipulation alg??brique des quatre ??quations fondamentales.

Sur les lignes de la force physique

Les quatre ??quations de Maxwell jours modernes sont apparus tout au long de 1861 papier de Maxwell sur les lignes de la force physique:

L'??quation (56) en 1861 papier de Maxwell est ∇ ⋅ B = 0.
L'??quation (112) est Th??or??me d'Amp??re avec le courant de d??placement de Maxwell ajout??. Ce est l'addition de courant de d??placement qui est l'aspect le plus important du travail de Maxwell en ??lectromagn??tisme , car il lui a permis de tirer plus tard, le Rayonnement ??lectromagn??tique dans son article 1865 Une th??orie dynamique du champ ??lectromagn??tique, et donc montrent que la lumi??re est une onde ??lectromagn??tique. Il est donc cet aspect de l'??uvre de Maxwell qui donne les ??quations leur pleine signification. (Fait int??ressant, Kirchhoff d??riv?? du les ??quations de t??l??graphistes en 1857 sans utiliser courant de d??placement. Mais il ne utiliser l'??quation de Poisson et l'??quation de continuit?? qui sont les ingr??dients math??matiques de la courant de d??placement. N??anmoins, Kirchhoff croyait ses ??quations pour ??tre applicable seulement ?? l'int??rieur d'un fil ??lectrique et donc il ne est pas cr??dit?? d'avoir d??couvert que la lumi??re est une onde ??lectromagn??tique).
L'??quation (115) est la loi de Gauss .
L'??quation (54) est une ??quation qui Oliver Heaviside dénommée «la loi de Faraday. Cette équation répond pour le moment aspect de l'induction électromagnétique variable, mais pas pour l'aspect dynamiquement induite, alors que la loi de Faraday flux d'origine adresse à ces deux aspects. Maxwell traite de l'aspect dynamiquement dépendante de l'induction électromagnétique, v × B , à l'équation (77). L'équation (77), qui est le même que l'équation (D) dans les huit équations de Maxwell initiales énumérées ci-dessous, correspond à toutes fins utiles à la modernité loi de force de jour F = q ( E + v × B ) qui se trouve à côté des équations de Maxwell et porte le nom force de Lorentz, même si Maxwell dérivé quand Lorentz était encore un jeune garçon.

La différence entre leBet lesHvecteurs peut être retracée à 1855 papier de Maxwell intituléSur les lignes de Faraday de la Forcequi a été lu à la Cambridge Philosophical Society. Le document pr??sent?? un mod??le simplifi?? des travaux de Faraday, et comment les deux ph??nom??nes ??taient li??s.Il a réduit l'ensemble des connaissances actuelles dans un ensemble lié deéquations différentielles.

Figure du modèle de vortex moléculaire de Maxwell. Pour un champ magnétique uniforme, les lignes de champ pointent vers l'extérieur à partir de l'écran d'affichage, comme on peut l'observer à partir des points noirs dans le milieu des hexagones. Le vortex de chaque molécule hexagonale tourne dans le sens antihoraire. Les petits cercles verts sont tournant à droite particules en sandwich entre les tourbillons moléculaires.

Il est ensuite précisé dans son concept d'une mer de tourbillons moléculaires qui apparaît dans son papier 1861 Sur les lignes de la force physique. Dans ce contexte, H représenté tourbillon pur (spin), tandis que B était un tourbillon pondérée qui a été pondéré pour la densité de la mer de vortex. Maxwell considéré perméabilité magnétique ?? comme une mesure de la densité de la mer à tourbillon. Ainsi la relation,

Courant d'induction magnétiqueprovoque une densité de courant magnétique
$\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}$
était essentiellement une analogie de rotation à la relation courant électrique linéaire,
Courant électrique à convection
$\mathbf{J} = \rho \mathbf{v}$

où ?? est la densité de charge électrique. B a été vu comme une sorte de courant magnétique de tourbillons alignés dans leurs plans axiaux, avec H étant la vitesse circonférentielle des tourbillons. Avec ?? représentant la densité de vortex, il en résulte que le produit de ?? avec tourbillon H conduit à la champ magnétique désigné par B .

L'équation courant électrique peut être considéré comme un courant de convection de charge électrique qui implique un mouvement linéaire. Par analogie, l'équation magnétique est un courant inductif impliquant de spin. Il n'y a pas de mouvement linéaire dans le courant inducteur le long de la direction de la chambre vecteur. Le courant inductif magnétique représente lignes de force. En particulier, il représente les lignes de force de la loi carrée inverse.

L'extension des considérations ci-dessus confirme que là où B est à H , et où J est de ?? , alors il découle nécessairement de la loi de Gauss et de l'équation de la continuité de la charge que E est de D . c.-à- B parallèles avec E , tandis que H parallèles avec D .

Une théorie dynamique du champ électromagnétique

En 1864 Maxwell publié Une théorie dynamique du champ électromagnétique dans lequel il a montré que la lumière était un phénomène électromagnétique. Confusion sur la durée "les équations de Maxwell" est exacerbée car il est aussi parfois utilisé pour un ensemble de huit équations qui sont apparus dans la partie III de 1864 papier de Maxwell Une théorie dynamique du champ électromagnétique, intitulé "Les équations générales du champ électromagnétique,« un confusion aggravée par la rédaction de six de ces huit équations que trois équations séparées (une pour chacun des axes cartésiens), résultant en vingt et vingt équations inconnues. (Comme indiqué ci-dessus, cette terminologie est pas commun: références modernes à l'expression "les équations de Maxwell» font référence à des retraitements Heaviside.)

Les huit équations de Maxwell originaux peuvent être écrites en notation moderne vecteur comme suit:

(A) La loi des courants totaux

$\mathbf{J}_{tot} = \mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}$

(B) L'équation de la force magnétique

$\mu \mathbf{H} = \nabla \times \mathbf{A}$

Circuital loi (C) Ampère

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\mathrm{tot}$

Force (D) Electromotive créé par convection, induction, et par l'électricité statique. (Ceci est en effet la force de Lorentz)

$\mathbf{E} = \mu \mathbf{v} \times \mathbf{H} - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla \phi$

(E) L'équation d'élasticité électrique

$\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon} \mathbf{D}$

La loi de (F) Ohm

$\mathbf{E} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{J}$

La loi de (G) Gauss

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$

(H) L'équation de continuité

$\nabla \cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}$

$\nabla \cdot \mathbf{J}_\mathrm{tot} = 0$

Notation: Hest lechamp magnétisant, qui Maxwell a appelé l'intensité magnétique.; J est le densité de courant (avecJ _totétant le courant total, y compris en cours de déplacement).; Dest lechamp de déplacement (appelé ledéplacement électriquede Maxwell).; ??est ladensité de charge gratuite (appeléequantité d'électricité gratuitepar Maxwell).; Aest lepotentiel magnétique (appeléeimpulsion angulairepar Maxwell).; Eest appelée laforce électromotricepar Maxwell. Le terme force électromotrice est aujourd'hui utilisé pour la tension, mais il est clair à partir du contexte que le sens de Maxwell correspondait plus à l'expression modernechamp électrique.; ??est lepotentiel électrique (qui Maxwell a également appelépotentiel électrique).; ??est laconductivité électrique (Maxwell a appelé l'inverse de la conductivité de larésistance spécifique, ce qui est maintenant appelé larésistivité).

Il est intéressant de noter le?? v×Hterme qui apparaît dans l'équation équation D. D est donc effectivement laforce de Lorentz, de façon similaire à l'équation (77) de son document de 1861 (voir ci-dessus).

Lorsque Maxwell tire l' équation d'onde électromagnétique dans son document de 1865, il utilise l'équation D pour répondre à induction électromagnétique plutôt que la loi de Faraday de l'induction qui est utilisé dans les manuels modernes. (La loi de Faraday lui-même ne figure pas parmi ses équations.) Cependant, Maxwell laisse tomber le ?? v × H terme de l'équation D quand il est dériver l' équation d'onde électromagnétique, comme il considère que la situation de la trame de repos.

Un Traité sur l'électricité et le magnétisme

En Un Traité sur l'électricité et le magnétisme, un 1873traité surl'électromagnétismeécrit parJames Clerk Maxwell, onze équations générales du champ électromagnétique sont répertoriés et ceux-ci comprennent les huit qui sont énumérés dans le document de 1865.

Les équations de Maxwell et de la relativité

Équations de Maxwell originaux sont basés sur l'idée que la lumière se déplace à travers une mer de tourbillons moléculaires connus comme le « éther luminiferous ', et que la vitesse de la lumière doit être respectif pour le cadre de cet éther de référence. Mesures visant à mesurer la vitesse de la Terre à travers l'éther en conflit, si.

Une approche plus théorique a été suggéré par Hendrik Lorentz avec George FitzGerald et Joseph Larmor. Les deux Larmor (1897) et Lorentz (1899, 1904) proviennent de la transformation de Lorentz (ainsi nommée par Henri Poincaré) que celui sous lequel les équations de Maxwell étaient invariant. Poincaré (1900) a analysé la coordination des horloges en mouvement par l'échange de signaux lumineux. Il a également établi mathématiquement la propriété de groupe de la transformation de Lorentz (Poincaré 1905).

Einstein a rejeté l'éther comme inutile et a conclu que les équations de Maxwell prédisent l'existence d'une vitesse fixe de lumière, indépendante de la vitesse de l'observateur, et comme tel il a utilisé les équations de Maxwell comme le point de départ de sa théorie de la relativité . Ce faisant, il a créé la transformation de Lorentz comme étant valable pour toute la matière et non pas seulement des équations de Maxwell. Les équations de Maxwell joué un rôle clé dans le célèbre article d'Einstein sur la relativité spéciale; par exemple, dans le paragraphe du document d'ouverture, il a motivé sa théorie en notant que la description d'un conducteur se déplaçant par rapport à un aimant doit générer un ensemble cohérent de domaines indépendamment du fait que la force est calculée dans le cadre de l'aimant de repos ou celle du conducteur.

Général la relativité a également eu une relation étroite avec les équations de Maxwell. Par exemple, Theodor Kaluza et Oskar Klein montré dans les années 1920 que les équations de Maxwell peut être obtenu en étendant la relativité générale en cinq dimensions. Cette stratégie d'utilisation des dimensions supérieures à unifier les différentes forces reste un domaine de recherche actif dans la physique des particules .

Modifié pour inclure les monopôles magnétiques

Les équations de Maxwell de l'électromagnétisme concernent les champs électriques et magnétiques aux mouvements de charges électriques. La forme standard des équations pour fournir une charge électrique, mais postulent aucune charge magnétique. Il n'y a pas analogique magnétique connu d'un électron, mais récemment, les scientifiques ont décrit le comportement dans un état ??????cristallin de la matière connue comme spin-glace qui ont un comportement macroscopique comme monopôles magnétiques. (En accord avec le fait que la charge magnétique n'a jamais été vu et peut ne pas exister). Sauf pour cela, les équations sont symétriques en vertu échange de champ électrique et magnétique. En fait, des équations symétriques peuvent être écrites lorsque tous les frais sont à zéro, ce qui est la façon dont l' équation d'onde est dérivé (voir immédiatement ci-dessus).

Entièrement équations symétriques peuvent aussi être écrites si l'on permet la possibilité de charges magnétiques. Avec l'inclusion d'une variable pour ces charges magnétiques, dites ?? _m , il y aura également un "courant magnétique" variables dans les équations, J _m . Les équations de Maxwell étendues (en unités CGS de Gauss) sont comme suit:

Nom	Sans monopôles magnétiques	Avec monopôles magnétiques (hypothétique)
La loi de Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_\mathrm{e}$	$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_\mathrm{e}$
La loi de Gauss pour le magnétisme:	$\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 4 \pi \rho_\mathrm{m}$
??quation de Maxwell-Faraday ( La loi de Faraday de l'induction):	$-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$	$-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + 4 \pi \mathbf{j}_\mathrm{m}$
La loi d'Amp??re (Avec l'extension de Maxwell):	$\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} + 4 \pi \mathbf{j}_\mathrm{e}$	Dans certains cas, comme des guides d'ondes ou de la cavité des résonateurs, la région de la solution est en grande partie isolé à partir de l'univers, par exemple, par des parois métalliques, et les conditions aux limites sur les parois définissent les domaines de l'influence du monde extérieur confiné aux extrémités d'entrée / sortie la structure. Dans d'autres cas, l'univers dans son ensemble est parfois approchée par une frontière artificielle absorbant, ou, par exemple pour émettre des antennes ou des satellites de communication, ces conditions aux limites peuvent prendre la forme de limites asymptotiques imposées à la solution. En outre, par exemple dans une fibre optique ou à film mince optique, la région de la solution est souvent divisée en sous-régions avec leurs propres propriétés simplifiées, et les solutions dans chaque sous-région doit être joint à l'autre à travers les interfaces de sous-région à l'aide de conditions aux limites. Un exemple particulier de cette utilisation de conditions aux limites est le remplacement d'un matériau à polarisation de volume d'une couche de surface chargée, ou d'un matériau ayant une aimantation de volume par un courant de surface, comme décrit dans la section Bound charge et de courant . Voici quelques liens de nature générale concernant les problèmes de valeur limite: exemples de problèmes aux limites, la théorie de Sturm-Liouville, Dirichlet condition limite, Neumann condition limite, état ??????limite mixte, Cauchy condition limite, Sommerfeld état ??????de rayonnement. Inutile de dire, il faut choisir les conditions aux limites appropriées au problème est résolu. Voir aussi Kempel et le livre par Friedman. Unités de Gauss Unités de Gauss est un populaire variante de l'électromagnétisme de la deuxième système d'unités (CGS) centimètre de gramme. Dans les unités de gaussiennes, les équations de Maxwell sont: $\nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_\mathrm{f}$ $\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} + \frac{4\pi}{c} \mathbf{J}_\mathrm{f}$ où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Les équations microscopiques sont: $\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho_{\mathrm{tot}}$ $\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$ $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$ $\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{4\pi}{c}\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}.$ La relation entrechamp de déplacement électrique,champ électriqueetla densité de polarisation est: $\mathbf{D} = \mathbf{E} + 4\pi\mathbf{P}.$ Et de même la relation entre l'induction magnétique,champ magnétique et totaleaimantation est: $\mathbf{B} = \mathbf{H} + 4\pi\mathbf{M}.$ Dans l'approximation linéaire, lasusceptibilité électrique etsusceptibilité magnétique sont définis de telle sorte que: $\mathbf{P} = \chi_\mathrm{e} \mathbf{E}$ , $\mathbf{M} = \chi_\mathrm{m} \mathbf{H}.$ (Note:. Bien que les susceptibilités sont des nombres sans dimension dans les deux cgs et SI, ils diffèrent par la valeur d'un facteur de 4??) La permittivit?? et perméabilité sont: $\ \epsilon = 1+4\pi\chi_\mathrm{e}$ , $\ \mu = 1+4\pi\chi_\mathrm{m},$ de sorte que $\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}$ , $\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}.$ Dans le vide,??=??= 1, doncD=E, etB=H. La force exercée sur une particule chargée par lechamp électriqueetun champ magnétique est donnée par l'équation de la force de Lorentz: $\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right),$ où q est la charge de la particule, et v est la vitesse des particules. Ce qui est légèrement différent de l' expression unité SI-dessus. Par exemple, le champ magnétique B a les mêmes unités que le champ électrique E . Quelques équations dans l'article sont donnés en unités de Gauss mais pas SI ou vice-versa. Heureusement, il existe des règles générales pour convertir de l'un à l'autre; Voir l'article unités de Gauss pour plus de détails. D'autres formulations des équations de Maxwell La relativité spéciale motivé une formulation mathématique compacte des équations de Maxwell, en termes detenseurs covariants.La mécanique quantiquea également motivé d'autres formulations. Par exemple, considérons un conducteur se déplaçant dans le champ d'un aimant. Dans le trame de l'aimant, ce conducteur éprouve un magnétique vigueur. Mais dans le cadre d'un conducteur se déplaçant par rapport à l'aimant, le conducteur subit une force due à une électrique champ. La formulation suivante montre comment les équations de Maxwell prennent la même forme dans tout système inertiel de coordonnées. Formulation covariante des équations de Maxwell Dans la relativité restreinte, afin d'exprimer plus clairement le fait que les équations de Maxwell («microscopiques») prennent la même forme dans tout système de coordonnées inertiel, les équations de Maxwell sont écrits en termes de quatre vecteurs et tenseurs dans le «manifestement sous forme covariante ". Les composants purement spatiales de la suivante sont en Unit??s SI. Un ingrédient dans cette formulation est letenseur électromagnétique, un covariant antisymétrique de rang 2tenseur combinant les champs électriques et magnétiques: $F_{\alpha \beta} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{-E_\mathrm{x}}{c} & \frac{-E_\mathrm{y}}{c} & \frac{-E_\mathrm{z}}{c} \\ \frac{E_\mathrm{x}}{c} & 0 & B_\mathrm{z} & -B_\mathrm{y} \\ \frac{E_\mathrm{y}}{c} & -B_\mathrm{z} & 0 & B_\mathrm{x} \\ \frac{E_\mathrm{z}}{c} & B_\mathrm{y} & -B_\mathrm{x} & 0 \end{matrix} \right)$ et le résultat de l'élévation ses indices $F^{\mu \nu} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \eta^{\mu \alpha} \, F_{\alpha \beta} \, \eta^{\beta \nu} = \left( \begin{matrix} 0 & \frac{E_\mathrm{x}}{c} & \frac{E_\mathrm{y}}{c} & \frac{E_\mathrm{z}}{c} \\ \frac{-E_\mathrm{x}}{c} & 0 & B_\mathrm{z} & -B_\mathrm{y} \\ \frac{-E_\mathrm{y}}{c} & -B_\mathrm{z} & 0 & B_\mathrm{x} \\ \frac{-E_\mathrm{z}}{c} & B_\mathrm{y} & -B_\mathrm{x} & 0 \end{matrix} \right).$ L'autre ingrédient est lequatre-courant: $J^{\alpha} = (c\rho,\vec{J})$ où??est ladensité de charge etJest ladensité de courant. Avec ces ingrédients, les équations de Maxwell peuvent être écrites: $\mu_{0} \, J^{\beta} \, = \, {\partial F^{\beta\alpha} \over {\partial x^{\alpha}} } \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, \partial_{\alpha} F^{\beta\alpha} \, \stackrel{\mathrm{def}}{=} \, {F^{\beta\alpha}}_{,\alpha} \,$ et $0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F_{\alpha\beta}}_{,\gamma} + {F_{\gamma\alpha}}_{,\beta} +{F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}.$ La première équation de tenseur est une expression des deux équations de Maxwell non homogènes, la loi de Gauss et la loi d'Ampère avec correction de Maxwell. La seconde équation est une expression des deux équations homogènes, la loi de Faraday de l'induction et la loi de Gauss pour le magnétisme. La deuxième équation est équivalente à $0 = \epsilon^{\delta\alpha\beta\gamma} {F_{\beta\gamma}}_{,\alpha}$ o?? $\, \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ est la version contravariant dusymbole de Levi-Civita, et ${ \partial \over { \partial x^{\alpha} } } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \nabla\right)$ est le 4-gradient. Dans les équations de tenseurs ci-dessus, les indices répétés sont additionnées selon Einstein convention de sommation. Nous avons affiché les résultats dans plusieurs notations communes. Haut-composants de plus bas et d'un vecteur, v ^?? et v ^?? respectivement, sont échangés avec le tenseur fondamental g , par exemple g = ?? = diag (1, 1, 1, 1). Présentations covariantes alternatifs des équations de Maxwell existent aussi, par exemple en termes dequatre potentiel; voir formulation covariante de l'électromagnétisme classique pour plus de détails. Formulation en potentiel En mécanique classique avancés et en mécanique quantique (où il est nécessaire), il est parfois utile d'exprimer les équations de Maxwell dans un «formulation potentiel» impliquant le potentiel électrique (aussi appelé potentiel scalaire), ?? , et le potentiel magnétique, A , (également appelé potentiel vecteur). Ceux-ci sont définis de telle sorte que: $\mathbf E = - \mathbf \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t},$ $\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A.$ Avec ces définitions, les deux équations de Maxwell homogènes (loi de Faraday et la loi de Gauss pour le magnétisme) sont automatiquement remplies et que les deux autres équations (non homogènes) donnent les équations suivantes (pour "équations de Maxwell microscopiques»): $\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}$ $\left ( \nabla^2 \mathbf A - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf A}{\partial t^2} \right ) - \mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = - \mu_0 \mathbf J.$ Ces équations, prises ensemble, sont aussi puissants et complets que les équations de Maxwell. En outre, si nous ne travaillons qu'avec les potentiels et d'ignorer les champs, le problème a été quelque peu réduite, que les champs électriques et magnétiques ont chacun trois composants qui doivent être résolus pour (six composants au total), tandis que les potentiels électriques et magnétiques ont seulement quatre composants ensemble. De nombreux choix différents de A et ?? sont en accord avec une donnée E et B , ce qui rend ces choix physiquement équivalent - une flexibilité connu comme la liberté de la jauge. Choix approprié de A et ?? peut simplifier ces équations, ou peut les adapter à une situation particulière. Quatre possibilités Dans le Jauge de Lorentz, les deux équations qui représentent les potentiels peut être réduite à une manifestementéquation invariante de Lorentz, l'utilisationdes quatre vecteurs: lequatre-courant défini par $j^\mu = \left( \rho c, \mathbf{j} \right)$ formé à partir de la densité de courantjet la charge de la densité ??, et lequatre-potentiel électromagnétique définie par $A^\mu = \left( \varphi , \mathbf{A} c \right)$ formé à partir du potentiel vecteurAet le potentiel scalaire $\varphi \,$ .L'équation unique résultant, en raison deArnold Sommerfeld, une généralisation d'une équation en raison deBernhard Riemannet connu comme l'équation de Riemann-Sommerfeld ou la forme covariante des équations de Maxwell, est: $\Box A^\mu = \mu_0 j^\mu$ , o?? $\Box=\partial^2=\partial_\alpha\partial^\alpha$ est le opérateur d'Alembertien, ou quatre Laplace, $\left( {\partial^2 \over \partial t^2} - \nabla^2 \right)$ parfois écrites $\ Box ^ 2$ Ou $\Box \cdot \Box$ O?? $\Box$ est le de quatre dégradé. formulations de différentielles En espace libre, où ?? = ?? ₀ et ?? = ?? ₀ sont constants partout, les équations de Maxwell simplifier considérablement une fois que le langage de la géométrie différentielle et formes différentielles est utilisé. Dans ce qui suit, les unités CGS de Gauss, pas les unités SI sont utilisés. (Pour convertir à SI, voir ici.) Les champs électriques et magnétiques sont maintenant décrits conjointement par un 2-forme F dans un 4-dimensionnelle collecteur espace-temps. Les équations de Maxwell réduisent alors à l' identité de Bianchi $\mathrm{d}\bold{F}=0$ où d désigne ladérivée extérieure - coordonner un cadre naturel et opérateur différentiel métrique indépendante agissant sur ??????les formes - et l'équation de la source $\mathrm {d} * {\bold{F}}=\bold{J}$ où le (bi)Hodge opérateur étoile * est une transformation linéaire à partir de l'espace de deux formes dans l'espace de (2.4) -Formulaires défini par la métrique dansl'espace de Minkowski (en quatre dimensions, même par une métriqueconforme à cette métrique ), et les champs sont enunités naturelles où 1 / 4pe ₀= 1. Ici, le 3-formeJest appelée laforme de courant électriqueou du courant 3-formesatisfaisant laéquation de continuité $\mathrm{d}{\bold{J}}=0.$ Le 3-forme actuelle peut être intégré sur une région en 3 dimensions d'espace-temps. L'interprétation physique de cette intégrale est la charge dans cette région si elle est de type espace, ou la quantité de charge qui circule à travers une surface dans un certain laps de temps si cette région est une surface de type espace traverser un intervalle de type temps. Comme dérivé extérieur est défini sur un collecteur , la version de la forme différentielle de l'identité de Bianchi logique pour chaque collecteur 4 dimensions, tandis que l'équation de source est défini si le collecteur est orienté et a une métrique de Lorentz. En particulier la version de forme différentielle des équations de Maxwell sont une formulation pratique et intuitive des équations de Maxwell en relativité générale. Dans un linéaire, théorie macroscopique, l'influence de la matière sur le champ électromagnétique est décrite par la transformation linéaire plus générale dans l'espace de deux formes. Nous appelons $C:\Lambda^2\ni\bold{F}\mapsto \bold{G}\in\Lambda^{(4-2)}$ la transformation constitutive. Le rôle de cette transformation est comparable à la transformation de la dualité de Hodge. Les équations de Maxwell dans la présence de la matière deviennent alors: $\mathrm{d}\bold{F} = 0$ $\mathrm{d}\bold{G} = \bold{J}$ où le 3-forme actuelleJrépond encore la continuité équation dJ= 0. Lorsque les champs sont exprimées comme des combinaisons linéaires (deproduits extérieurs) de base formulaires??^p, $\bold{F} = \frac{1}{2}F_{pq}\bold{\theta}^p\wedge\bold{\theta}^q.$ la relation constitutive prend la forme $G_{pq} = C_{pq}^{mn}F_{mn}$ où les fonctions de coefficients de domaine sont antisymétrique des indices et des coefficients constitutifs sont antisymétrique dans les paires correspondantes. En particulier, la dualité de Hodge transformation conduisant à des équations de vide décrites ci-dessus sont obtenus en prenant $C_{pq}^{mn} = \frac{1}{2}g^{ma}g^{nb} \epsilon_{abpq} \sqrt{-g}$ qui jusqu'à mise à l'échelle est le seul tenseur invariant de ce type qui peut être défini avec la métrique. Dans cette formulation, l'électromagnétisme généralise immédiatement l'une tubulure orientée quatre dimensions ou de petites adaptations tout collecteur, ce qui nécessite même pas une métrique. Ainsi l'expression des équations de Maxwell en termes de formes différentielles conduit à une plus grande simplification de notation et conceptuel. Alors que les équations de Maxwell pourraient être écrites comme deux équations tensorielles au lieu de huit équations scalaires, à partir de laquelle la propagation de perturbations électromagnétiques et de l'équation de continuité pourrait être dérivé avec un peu d'effort, en utilisant des formes différentielles conduit à une dérivation encore plus simple de ces résultats. Compréhension conceptuelle de cette formulation Sur le plan conceptuel, du point de vue de la physique, ce qui montre que les deuxième et troisième équations de Maxwell devraient être regroupés, être appelé ceux homogènes, et être considérés comme des géométrique identités exprimant rien d'autre que: le champ F dérive d'un plus "fondamentale" potentiel A . Alors que le premier et le dernier devrait être considéré comme les dynamique équations du mouvement , obtenus via le principe de Lagrange de la moindre action, depuis le "terme d'interaction" AJ (introduit par jauge dérivées covariantes), couplant le champ à la matière. Souvent, le dérivé de temps dans la troisième loi motive l'appel de cette équation "dynamique", qui est quelque peu trompeur; dans le sens de l'analyse qui précède, cela est plutôt un artefact de rupture relativiste covariance en choisissant une direction de temps préféré. Pour avoir des degrés de liberté physiques propagée par ces équations de champ, il faut inclure un terme cinétique *F F pour A ; et prennent en compte les degrés non-physiques de liberté qui peuvent être éliminés par transformation de jauge A ??? A ' = A -. d?? Voir ??galement jauger fixation et Faddeev-Popov fantômes. Geometric Algebra (GA) formulation En algèbre géométrique, les équations de Maxwell sont réduites à une seule équation, $\left(\frac{1}{c}\partial_t + \boldsymbol{\nabla}\right)F = \mu_0 c J,$ oùFetJsont multivecteurs $F = \bold{E} + Ic\bold{B}$ et $J = c \rho + \bold{J}.$ avec l'unitépseudoscalaireI ²= -1 L'opérateur gradient spatial GA???agit sur ??????un champ de vecteurs, de telle sorte que $\boldsymbol{\nabla}\bold{F} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \bold{F} + I \boldsymbol{\nabla} \times \bold{F},$ En algèbre de l'espace-temps en utilisant le même produit l'équation géométrique est simplement $\nabla F = \mu_0 c J,$ le dérivé de l'espace-temps du champ électromagnétique est la source. Voici le (non gras) gradient de l'espace-temps $\nabla = \gamma^\mu \partial_\mu$ est un vecteur de quatre, de même que la densité de courant $J = \gamma_{\mu} J^{\mu} = \gamma_0 c \rho + J^k \gamma_k = (c \rho + \bold{J})\gamma_0.$ Pour une démonstration que les équations données reproduisent les équations de Maxwell voir l'article principal. L'électrodynamique classique que la courbure d'un faisceau de ligne Une manière élégante et intuitive pour formuler les équations de Maxwell est d'utiliser complexes fibrés ou fibrés principaux avec de la fibre U (1). Le lien $\ Nabla$ sur le faisceau de la ligne a une courbure $\bold{F} = \nabla^2$ qui est un deux-forme automatiquement satisfait $\mathrm{d}\bold{F} = 0$ et peuvent être interprétées comme une intensité de champ . Si le faisceau de la ligne est trivial en référence plat connexion d , nous pouvons écrire $\nabla = \mathrm{d}+\bold{A}$ et F = d A avec A la 1-forme composée du potentiel électrique et le potentiel vecteur magnétique. En mécanique quantique, la connexion elle-même est utilisée pour définir la dynamique du système. Cette formulation permet une description naturelle de l' effet Aharonov-Bohm. Dans cette expérience, un champ magnétique statique traverse un fil magnétique longue (par exemple, un fil de fer magnétisé longitudinalement). En dehors de ce fil l'induction magnétique est égal à zéro, à la différence du potentiel vecteur, qui dépend essentiellement du flux magnétique à travers la section transversale du fil et qui ne disparaît pas à l'extérieur. Comme il n'y a pas de champ électrique soit, le tenseur de Maxwell F = 0** dans toute la région d'espace-temps à l'extérieur du tube, pendant l'expérience. Cela signifie par définition que la connexion $\ Nabla$ est plat il. Cependant, comme mentionné, la liaison dépend du champ magnétique à travers le tube depuis la holonomie long d'une courbe non-contractile qui entoure le tube est le flux magnétique à travers le tube dans les unités appropriées. Ceci peut être détecté quantique mécanique avec une expérience de diffraction d'électrons à double fente sur une vague d'électrons voyageant autour du tube. Le holonomie correspond à un décalage de phase supplémentaire, ce qui conduit à un changement dans le motif de diffraction. Espace courbe Formulation traditionnelle La matière et l'énergie génèrent courbure de l'espace-temps. ce fait l'objet de la relativité générale . Courbure de l'espace-temps affecte l'électrodynamique. Un champ électromagnétique ayant une énergie et l'élan génère également courbure dans l'espace-temps. Les équations de Maxwell dans l'espace-temps courbe peuvent être obtenus en remplaçant les dérivés dans les équations dans l'espace-temps plat avec d??riv??es covariantes. Les équations provenant de source et libre-deviennent ((Que ce soit la généralisation appropriée exige une enquête séparée.) unités CGS de Gauss): ${ 4 \pi \over c }j^{\beta} = \partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} + {\Gamma^{\alpha}}_{\mu\alpha} F^{\mu\beta} + {\Gamma^{\beta}}_{\mu\alpha} F^{\alpha \mu} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ D_{\alpha} F^{\alpha\beta} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {F^{\alpha\beta}}_{;\alpha} \, \!$ et $0 = \partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma} = D_{\gamma} F_{\alpha\beta} + D_{\beta} F_{\gamma\alpha} + D_{\alpha} F_{\beta\gamma}.\,$ Ici, ${\Gamma^{\alpha}}_{\mu\beta} \!$ est un Christoffel symbole qui caractérise la courbure de l'espace-temps etD_??est la dérivée covariante. Formulation en termes de formes différentielles La formulation des équations de Maxwell en termes de formes différentielles peut être utilisé sans changement de la relativité générale. L'équivalence de la formulation relativiste général plus traditionnel en utilisant la dérivée covariante avec la formulation de la forme différentielle peut être considérée comme suit. Choisissez coordonnées locales x ^?? qui donne une base de 1-formes d x ^?? dans chaque point de l'ouvert où les coordonnées sont définies. En utilisant cette base et unités CGS de Gauss nous définissons Le tenseur de champ infinitésimal antisymétrique $F_{\alpha\beta}$ , correspondant au champ 2-formeF $\bold{F} := \frac{1}{2}F_{\alpha\beta} \,\mathrm{d}\,x^{\alpha} \wedge \mathrm{d}\,x^{\beta}.$ Le courant-vecteur infinitésimal 3-formeJ $\bold{J} := {4 \pi \over c } j^{\alpha} \sqrt{-g} \, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta}.$ Icigest comme d'habitude le déterminant de la métrique $g_{\alpha\beta}$ .Un petit calcul qui utilise la symétrie dessymboles de Christoffel (ie, la torsion-liberté de laconnexion de Levi Civita) et la transmission permanente covariante de l'opérateur étoiles Hodge montre ensuite que, dans cette coordonnée quartier, nous avons: l'identité de Bianchi $\mathrm{d}\bold{F} = 2(\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma})\mathrm{d}\,x^{\alpha}\wedge \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} = 0,$ l'équation de la source $\mathrm{d} * \bold{F} = {F^{\alpha\beta}}_{;\alpha}\sqrt{-g} \, \epsilon_{\beta\gamma\delta\eta}\mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\eta} = \bold{J},$ l'équation de continuité $\mathrm{d}\bold{J} = { 4 \pi \over c } {j^{\alpha}}_{;\alpha} \sqrt{-g} \, \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}\mathrm{d}\,x^{\alpha}\wedge \mathrm{d}\,x^{\beta} \wedge \mathrm{d}\,x^{\gamma} \wedge \mathrm{d}\,x^{\delta} = 0.$