Equacions de Friedmann

De Viquip??dia

Les equacions de Friedmann s??n un conjunt d'equacions en cosmologia f??sica que governen l'expansi?? m??trica de l'espai en models homogenis i is??trops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922^[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la m??trica de Friedman-Lema??tre-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia ( $??$ ) i una pressi?? ( $p$ ) i una pressi?? (p??g.) determinada.

[edita] Les equacions

Les equacions s??n:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G \rho + \Lambda}{3} - K\frac{c^2}{a^2}$

$3\frac{\ddot{a}}{a} = \Lambda - 4 \pi G (\rho + \frac{3p}{c^2})$

$??$ ??s la constant cosmol??gica possiblement causada per l'energia del buit
$G$ ??s la constant de gravitaci??
$c$ ??s la velocitat de la llum
$a$ ??s el factor d'escala de l'Univers
$K$ ??s la curvatura gaussiana quan $a = 1$ (per exemple, avui).

Si la forma de l'univers ??s hiperesf??rica i $R$ ??s el radi de curvatura ( $R 0$ en el moment actual), llavors $a = R / R 0$ . Generalment, $K \over a^2$ ??s la curvatura gaussiana. Si $K$ ??s positiva, llavors l'Univers ??s hiperesf??ric. Si $K$ ??s zero, l'Univers ??s pla i si $K$ ??s negatiu l'Univers ??s hiperb??lic. A m??s, $??$ i $p$ s??n funci?? de $a$ . El par??metre de Hubble, $H$ , ??s la velocitat d'expansi?? de l'univers.

Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressi??:

$\rho \rightarrow \rho - \frac{\Lambda}{8 \pi G}$

$p \rightarrow p + \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}$

per a obtenir:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8 \pi G}{3} \rho - K\frac{c^2}{a^2}$

$3 \, \frac{\ddot{a}}{a} = - 4 \pi G \left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right)$

El par??metre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equaci?? s??n dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el par??metre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble ??s la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equaci?? d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evoluci?? en el temps i la geometria de l'Univers com a funci?? de la densitat del fluid.

Alguns cosm??legs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equaci?? d'acceleraci?? i es reserven el terme equaci?? de Friedmann nom??s per a la primera equaci??.

[edita] El par??metre de densitat

El par??metre de densitat , $??$ , es defineix com la relaci?? de la densitat actual, o observada, math>\rho</math> respecte a la densitat cr??tica $?? c$ de l'Univers de Friedmann. Una expressi?? per a la densitat cr??tica es troba assumint que $??$ ??s zero, com ho ??s per a tots els universos de Friedmann b??sics, i establint la curvatura $K$ igual a zero. Quan se substitueixen aquests par??metres a la primera equaci?? de Friedmann trobem que:

$\rho_c = \frac{3 H^2}{8 \pi G}$

I l'expressi?? per al par??metre de densitat, ??til per a comparar diferents models cosmol??gics, ??s:

$\Omega \equiv \frac{\rho}{\rho_c} = \frac{8 \pi G}{3 H^2}\rho$

Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual $?? c$ ??s la densitat cr??tica per a la qual la geometria ??s plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul??la, si $??$ ??s m??s gran que un, la geometria ??s tancada i l'Univers eventualment parar?? la seva expansi?? i llavors es col??lapsar??. Si $??$ ??s menor que u, ser?? obert i l'Univers s'expandir?? per sempre. Tanmateix, tamb?? es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressi?? m??s general per a en el cas que aquest par??metre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors ??s una q??esti?? de mesurar els diferents components, normalment designats per sub??ndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de $??$ a causa de barions, mat??ria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espai-temps va ser mesurada pel sat??l??lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, ??s a dir, el par??metre de curvatura $K$ ??s aproximadament zero.

La primera Equaci?? de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els par??metres de densitat.

$\frac{H^2}{H_0^2} = \Omega_R a^{-4} + \Omega_M a^{-3} + \Omega_{\Lambda} - K c^2 a^{-2}$

$?? R$ ??s la densitat de radiaci?? actual;
$?? M$ ??s la densitat de mat??ria actual (la fosca m??s la bari??nica);
$?? ??$ ??s la constant cosmol??gica o la densitat de buit actual.

[edita] Equaci?? de Friedmann reescalada

Establint que $a=\tilde{a}a_0, \rho_c=3H_0^2/8\pi G, \rho=\rho_c \Omega, t=\tilde{t}/H_0, \Omega_c = -K/H_0^2 a_0^2$ on a_0 i H_0 s??n separadament el factor d'escala i el par??metre d'Hubble actuals. Llavors podem trobar que:

$\frac{1}{2}\left( \frac{d\tilde{a}}{d\tilde{t}}\right)^2 + U_{\rm eff}(\tilde{a})=\frac{1}{2}\Omega_c$

on $U_{eff}(\tilde{a}) = \Omega\tilde{a}^2/2$ . Per a qualsevol forma del potencial efectiu $U_{eff}(\tilde{a})$ , hi ha una equaci?? d'estat $p = p (??)$ que la produir??.