Equacions de Friedmann
De Viquipèdia
Les equacions de Friedmann són un conjunt d'equacions en cosmologia física que governen l'expansió mètrica de l'espai en models homogenis i isòtrops de l'Univers dins del context de la teoria de la relativitat general. Van ser descobertes per Alexander Friedmann el 1922[1] a partir de les equacions de camp d'Einstein per a la mètrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker i un fluid amb una densitat d'energia (ρ) i una pressió (p) i una pressió (pàg.) determinada.
Taula de continguts |
[edita] Les equacions
Les equacions són:
- Λ és la constant cosmològica possiblement causada per l'energia del buit
- G és la constant de gravitació
- c és la velocitat de la llum
- a és el factor d'escala de l'Univers
- K és la curvatura gaussiana quan a = 1 (per exemple, avui).
Si la forma de l'univers és hiperesfèrica i R és el radi de curvatura (R0 en el moment actual), llavors a = R / R0. Generalment, és la curvatura gaussiana. Si K és positiva, llavors l'Univers és hiperesfèric. Si K és zero, l'Univers és pla i si K és negatiu l'Univers és hiperbòlic. A més, ρ i p són funció de a. El paràmetre de Hubble, H, és la velocitat d'expansió de l'univers.
Aquestes equacions de vegades se simplifiquen redefinint la densitat d'energia i la pressió:
per a obtenir:
El paràmetre de Hubble pot canviar en el temps si altres elements de l'equació són dependents del temps, en particular la densitat d'energia, l'energia del buit i la curvatura. Avaluant el paràmetre de Hubble en el moment actual surt que la constant de Hubble és la constant de proporcionalitat de la llei de Hubble. Si s'aplica a un fluid amb una equació d'estat determinada, les equacions de Friedmann donen com a resultat l'evolució en el temps i la geometria de l'Univers com a funció de la densitat del fluid.
Alguns cosmòlegs anomenen la segona d'aquestes dues equacions l'equació d'acceleració i es reserven el terme equació de Friedmann només per a la primera equació.
[edita] El paràmetre de densitat
El paràmetre de densitat , Ω, es defineix com la relació de la densitat actual, o observada, math>\rho</math> respecte a la densitat crítica ρc de l'Univers de Friedmann. Una expressió per a la densitat crítica es troba assumint que Λ és zero, com ho és per a tots els universos de Friedmann bàsics, i establint la curvatura K igual a zero. Quan se substitueixen aquests paràmetres a la primera equació de Friedmann trobem que:
I l'expressió per al paràmetre de densitat, útil per a comparar diferents models cosmològics, és:
Aquest terme originalment va ser utilitzat com una manera de determinar la geometria del camp en el qual ρc és la densitat crítica per a la qual la geometria és plana. Assumint una densitat d'energia del buit nul·la, si Ω és més gran que un, la geometria és tancada i l'Univers eventualment pararà la seva expansió i llavors es col·lapsarà. Si Ω és menor que u, serà obert i l'Univers s'expandirà per sempre. Tanmateix, també es poden sintetitzar els termes de curvatura i de l'energia del buit en una expressió més general per a en el cas que aquest paràmetre de densitat d'energia sigui exactemente igual a la unitat. Llavors és una qüestió de mesurar els diferents components, normalment designats per subíndexs. D'acord amb el model Lambda-CDM, hi ha importants components de Ω a causa de barions, matèria fosca freda i energia fosca. La geometria de l'espai-temps va ser mesurada pel satèl·lit WMAP estant a prop de ser una geometria plana, és a dir, el paràmetre de curvatura K és aproximadament zero.
La primera Equació de Friedmann sovint s'escriu formalment amb els paràmetres de densitat.
- ΩR és la densitat de radiació actual;
- ΩM és la densitat de matèria actual (la fosca més la bariònica);
- ΩΛ és la constant cosmològica o la densitat de buit actual.
[edita] Equació de Friedmann reescalada
Establint que on a_0 i H_0 són separadament el factor d'escala i el paràmetre d'Hubble actuals. Llavors podem trobar que:
on . Per a qualsevol forma del potencial efectiu
, hi ha una equació d'estat p = p(ρ) que la produirà.
[edita] Vegeu també
[edita] Referències
- ↑ Friedmann, A: "Über die Krümmung des Raumes", Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducció a l'anglès a Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)