On Amazon.it: https://www.amazon.it/Complete-Concordances-James-Bible-Azzur/dp/B0F1V2T1GJ/


Equacions de Cauchy-Riemann - Viquipèdia

Equacions de Cauchy-Riemann

De Viquipèdia

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real : són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aquí una funció  \ f : U \to \mathbb{{C}} d'una variable complexa, definida en un obert U de \mathbb{{C}}. Emprem les notacions següents :

  • la variable complexa \ z es nota per \ x + i\, y, on x, y són reals
  • les parts real i imaginària de \ f(z) = f(x + i\, y) es noten respectivament per \ P(x, y) i \ Q(x, y), es a dir : \ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y), on \ P,\, Q són dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en \ z_0 = x_0 + i\, y_0 es poden escriure sota les formes equivalents següents :

  • \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)
  • \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)  = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0) i \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)  = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)
  • \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0


Taula de continguts

[edita] Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex

[edita] Definició

Diem que la funció f : U \to \mathbb{C} és diferenciable en sentit complex, o \mathbb{C}-diferenciable (o derivable) en un punt \ z_0 \in U si existeix el límit (finit) f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} , anomenat derivada de f en \ z_0.

Fixem-nos que aquesta condició de \mathbb{{C}}-diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

[edita] Un cas important

Es diu que una funció és holomorfa en un obert de \mathbb{C} si és \mathbb{C}-diferenciable en tot punt d'aquell obert.

[edita] Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex

[edita] Teorema

  • Les funcions \mathbb{C}-diferenciables en un punt \ z_0 = x_0 + i\, y_0 \in U (on \ x_0,\, y_0 són reals) son aquelles funcions
    • diferenciables en sentit real en \ z_0
    • i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en \ z_0. Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents :
      • \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)
      • \frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0)  = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0) i \frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0)  = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)
      • \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0
  • En aquest cas :
    • la diferencial de \ f al punt \ z_0 és l'aplicació \ df_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h
    • \ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)

[edita] Un cas important

La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema : una funció \ f : U \to \mathbb{C} és holomorfa en l'obert U de  \mathbb{C} si i només si :

  1. és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
  2. i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

[edita] Exemples

  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto \bar{z} és (almenys) de classe \ C^1 en \mathbb{C}, per tant hi és \mathbb{R}-diferenciable ; però no és \mathbb{C}-diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que \ f(z) = x -\, i\, y :
    • \ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1
    • \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i : per a tot \ z \in \mathbb{C}, \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq  i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z).
  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2 és (almenys) de classe \ C^1 en \mathbb{C}, per tant hi és \mathbb{R}-diferenciable ; és \mathbb{C}-diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert : el conjunt \ \{0\} dels seus punts de \mathbb{C}-diferenciabilitat té interior buit).
  • La funció f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto z^2 és holomorfa en \mathbb{C} i per a tot \ z \in \mathbb{C}, \ f'(z) = 2\, z. En efecte, si \ z_0 \in \mathbb{C} i \ h \in\mathbb{C}^*, \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = 2\ z_0 + h \to 2\, z_0 quan \ h \to 0. Es té \ f(z) = x^2 - y^2 + 2\, i\, x\, y, per tant :
    • \ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z
    • \ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) (equacions de Cauchy-Riemann en z).

[edita] Un exemple on les derivades parcials no són contínues

Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició ; la continuïtat i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.

Static Wikipedia March 2008 on valeriodistefano.com

aa   ab   af   ak   als   am   an   ang   ar   arc   as   ast   av   ay   az   ba   bar   bat_smg   bcl   be   be_x_old   bg   bh   bi   bm   bn   bo   bpy   br   bs   bug   bxr   ca   cbk_zam   cdo   ce   ceb   ch   cho   chr   chy   co   cr   crh   cs   csb   cv   cy   da   en   eo   es   et   eu   fa   ff   fi   fiu_vro   fj   fo   fr   frp   fur   fy   ga   gd   gl   glk   gn   got   gu   gv   ha   hak   haw   he   hi   ho   hr   hsb   ht   hu   hy   hz   ia   id   ie   ig   ii   ik   ilo   io   is   it   iu   ja   jbo   jv   ka   kab   kg   ki   kj   kk   kl   km   kn   ko   kr   ks   ksh   ku   kv   kw   ky   la   lad   lb   lbe   lg   li   lij   lmo   ln   lo   lt   lv   map_bms   mg   mh   mi   mk   ml   mn   mo   mr   ms   mt   mus   my   mzn   na   nah   nap   nds   nds_nl   ne   new   ng   nl   nn   nov  

Static Wikipedia (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2007 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -

Static Wikipedia 2006 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu

Static Wikipedia February 2008 (no images)

aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu