Equacions de Cauchy-Riemann

De Viquip??dia

Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real : s??n condicions necess??ries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funci?? diferenciable en sentit real perqu?? sigui diferenciable en sentit complex.

Considerem aqu?? una funci?? $\ f : U \to \mathbb{{C}}$ d'una variable complexa, definida en un obert U de $\mathbb{{C}}$ . Emprem les notacions seg??ents :

la variable complexa $\ z$ es nota per $\ x + i\, y$ , on x, y s??n reals
les parts real i imagin??ria de $\ f(z) = f(x + i\, y)$ es noten respectivament per $\ P(x, y)$ i $\ Q(x, y)$ , es a dir : $\ f(z) = P(x, y) + i\, Q(x, y)$ , on $\ P,\, Q$ s??n dues funcions reals de dues variables reals.

Les equacions de Cauchy-Riemann en $\ z_0 = x_0 + i\, y_0$ es poden escriure sota les formes equivalents seg??ents :

$\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
$\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$

Taula de continguts

1 Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex
- 1.1 Definici??
- 1.2 Un cas important
2 Caracteritzaci?? de les funcions diferenciables en sentit complex

[edita] Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex

[edita] Definici??

Diem que la funci?? $f : U \to \mathbb{C}$ ??s diferenciable en sentit complex, o $\mathbb{C}$ -diferenciable (o derivable) en un punt $\ z_0 \in U$ si existeix el l??mit (finit) $f'(z_0) = \lim_{h \to 0,\, h\, \in\, \mathbb{C}^*} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}$ , anomenat derivada de f en $\ z_0$ .

Fixem-nos que aquesta condici?? de $\mathbb{{C}}$ -diferenciabilitat per a funcions de variable complexa ??s molt m??s restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'aix?? es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt nom??s cal exigir que existeixin i siguin iguals els l??mits per la dreta i per l'esquerra quan els increments ??x tendeixen a zero, ja que s??n les dues ??niques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.

[edita] Un cas important

Es diu que una funci?? ??s holomorfa en un obert de $\mathbb{C}$ si ??s $\mathbb{C}$ -diferenciable en tot punt d'aquell obert.

[edita] Caracteritzaci?? de les funcions diferenciables en sentit complex

[edita] Teorema

Les funcions -diferenciables en un punt (on s??n reals) son aquelles funcions
- diferenciables en sentit real en $\ z_0$
- i que, a m??s a m??s, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en . Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents seg??ents :
  - $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$
  - $\frac{\partial P}{\partial x}(x_0, y_0) = \frac{\partial Q}{\partial y}(x_0, y_0)$ i $\frac{\partial P}{\partial y}(x_0, y_0) = -\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0, y_0)$
  - $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$
En aquest cas :
- la diferencial de $\ f$ al punt $\ z_0$ ??s l'aplicaci?? $\ df_{z_0} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, h \mapsto f'(z_0)\, h$
- $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = - i\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$

Demostraci?? del teorema

Es conserven les notacions precedents ; en particular, es nota per r un real tal que $\ r > 0$ i $\ B(z_0,\, r) \subset U$ , i per h un nombre complex tal que $\ |h| < r$ .

Suposem que sigui -diferenciable en : aleshores quan (hem notat per la derivada ).
- Es defineix (funci?? d'una variable complexa):
  - $\ \epsilon(0) = 0$
  - $\epsilon(h) = \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} - A$ si $h \neq 0$ (*).
    Aleshores (per definici?? de A): $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - (*) es pot escriure : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ (quan $\ h \neq 0$ , i tamb?? quan $\ h = 0$ ),
  - o sigui : $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , on $\ L(h) = A\, h$ (**)
- ??s clar que l'aplicaci?? ??s -lineal (fins i tot -lineal, propietat m??s forta). Per tant :
  - $\ f$ ??s $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\ z_0$
  - $\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = L(1) = A$ , $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = L(i) = A\, i$ , i finalment : $\frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = i\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)$ .
Rec??proc : suposem que sigui -diferenciable en i que , altrament dit : , on (no s'utilitza aqu?? cap hip??tesi de continu??tat de les derivades parcials : la hip??tesi precedent concerneix un ??nic punt. Es podria imaginar que no fos diferenciable en cap altre punt).
- Per hip??tesi, en notar per L la -diferencial de en :
  - $f(z_0+h) = f(z_0) + L(h) + h\, \epsilon(h)$ , on $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - Si $\ h = u + i\, v$ (u, v reals), aleshores per $\mathbb{R}$ -linealitat de L : $\, L(h) = u\, L(1)+ v\, L(i) = u\, \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)+ v\, \frac{\partial f}{\partial y}(z_0) = u\, A + v\, i\, A = A\, (u + i\, v) = A\, h$
  - Per tant : $f(z_0+h) = f(z_0) + A\, h + h\, \epsilon(h)$ , i $\epsilon(h) \to 0$ quan $h \to 0$
  - Si $h \neq 0$ , s'en dedueix que : $\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} = A + \epsilon(h) \to A$ quan $h \to 0$ . L'exist??ncia d'aquest l??mit prova que $\ f$ ??s $\mathbb{C}$ -diferenciable en $\ z_0$ (es a dir : $\ f'(z_0)$ existeix), i que $\ f'(z_0) = A \left(= \frac{\partial f}{\partial x}(z_0)\right)$ .
  - Aix?? prova tamb?? que quan ??s -diferenciable en :
    - la seva diferencial ??s l'aplicaci?? $\ L : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\, h \mapsto A\, h = f'(z_0)\, h$
    - $\ f'(z_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0) + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(z_0)$ , perqu?? $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}(z_0) = 0$ .

[edita] Un cas important

La caracteritzaci?? seg??ent de les funcions holomorfes ??s una conseq????ncia immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.

Teorema : una funci?? $\ f : U \to \mathbb{C}$ ??s holomorfa en l'obert U de $\mathbb{C}$ si i nom??s si :

??s diferenciable en sentit real en tot punt de U,
i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U

[edita] Exemples

La funci?? ??s (almenys) de classe en , per tant hi ??s -diferenciable ; per?? no ??s -diferenciable en cap punt, perqu?? no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 1$
- $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -i$ : per a tot $\ z \in \mathbb{C}$ , $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) \neq i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ .
La funci?? $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}, z \mapsto |z|^2$ ??s (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}$ , per tant hi ??s $\mathbb{R}$ -diferenciable ; ??s $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0 i nom??s en aquest punt (no ??s holomorfa en cap obert : el conjunt $\ \{0\}$ dels seus punts de $\mathbb{C}$ -diferenciabilitat t?? interior buit).
La funci?? ??s holomorfa en i per a tot , . En efecte, si i , quan . Es t?? , per tant :
- $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = 2\, x + 2\, i\, y = 2\, z$
- $\ \frac{\partial f}{\partial y}(z) = -2\, y + 2\, i\, x = 2\, i\, z = i\ \frac{\partial f}{\partial x}(z)$ (equacions de Cauchy-Riemann en z).

[edita] Un exemple on les derivades parcials no s??n cont??nues

Se sap que tota funci?? holomorfa en un obert t?? derivades parcials cont??nues en aquest obert (aix?? no forma part de la definici?? ; la continu??tat i ??dhuc el car??cter infinitament diferenciable de la funci?? ??s una conseq????ncia de la teoria de Cauchy). Tanmateix, ??s possible que una funci?? diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un ??nic punt) i que les seves derivades parcials no siguin cont??nues.

Contraexemple

Una funci?? $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}$ i $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0, les derivades parcials de la qual no s??n cont??nues en 0.

Es defineix :
- $f(z) = x\, y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ si $\ z \neq 0$
- $\ f(0) = 0$
La funci?? $\ f$ ??s (almenys) de classe $\ C^1$ en $\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$ ; per tant, ??s $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}^*$ .
$\forall z \in \mathbb{C}^*$ , $\ | f(z) | \leq |x\, y | \leq \frac{1}{2}\, \left(x^2 + y^2\right) = \frac{1}{2}\, |z|^2$ ; per tant $\left| \frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \right| =\frac{|f(z)|}{|z|} \leq \frac{1}{2}\, |z|$ , i se'n dedueix que $\frac{f(z) - f(0)}{z - 0} \to 0$ quan $z \to 0$ : $\ f$ ??s $\mathbb{C}$ -diferenciable en 0 i $\ f'(0) = 0$ ; a fortiori, $\ f$ ??s $\mathbb{R}$ -diferenciable en 0 i $\ \frac{\partial f}{\partial x}(0) = f'(0) = 0$ , $\ \frac{\partial f}{\partial y}(0) = i f'(0) = 0$ (hem provat que $\ f$ ??s $\mathbb{R}$ -diferenciable en $\mathbb{C}^* \cup \{0\} =\mathbb{C}$ )
Si $\ z \neq 0$ , $\ \frac{\partial f}{\partial x}(z) = y \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} - \frac{x^2 y}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ .
Per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*$ , sigui $\ z_k = \frac{1 + i}{k\, \pi \sqrt{2}}$ . Un c??lcul elemental d??na : per a tot $\ k \in \mathbb{N}^*, \frac{\partial f}{\partial x}(z_k) = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{3/2}}$ .
Com que $\ z_k \to 0$ quan $k \to +\infty$ i $\frac{\partial f}{\partial x} (z_k)$ no convergeix cap a $\frac{\partial f}{\partial x}(0) = 0$ , la funci?? $\ \frac{\partial f}{\partial x}$ no ??s cont??nua en 0. Es demostra de la mateixa manera que la funci?? $\ \frac{\partial f}{\partial y}$ tampoc no ??s cont??nua en 0.