Equacions de Cauchy-Riemann
De Viquipèdia
Les equacions de Cauchy-Riemann caracteritzen les funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex entre les funcions diferenciables en sentit real : són condicions necessàries i suficients relatives a les derivades parcials d'una funció diferenciable en sentit real perquè sigui diferenciable en sentit complex.
Considerem aquí una funció d'una variable complexa, definida en un obert U de
. Emprem les notacions següents :
- la variable complexa
es nota per
, on x, y són reals
- les parts real i imaginària de
es noten respectivament per
i
, es a dir :
, on
són dues funcions reals de dues variables reals.
Les equacions de Cauchy-Riemann en es poden escriure sota les formes equivalents següents :
i
Taula de continguts |
[edita] Funcions d'una variable complexa diferenciables en sentit complex
[edita] Definició
Diem que la funció és diferenciable en sentit complex, o
-diferenciable (o derivable) en un punt
si existeix el límit (finit)
, anomenat derivada de f en
.
Fixem-nos que aquesta condició de -diferenciabilitat per a funcions de variable complexa és molt més restrictiva que l'equivalent per a funcions de variable real. L'origen d'això es troba en el fet que per a funcions de variable real per a la diferenciabilitat en un punt només cal exigir que existeixin i siguin iguals els límits per la dreta i per l'esquerra quan els increments Δx tendeixen a zero, ja que són les dues úniques possibilitats d'aproximar-se al punt. En canvi, en el pla complex hi ha infinites possibilitats (infinits camins) per aproximar-se a un punt determinat.
[edita] Un cas important
Es diu que una funció és holomorfa en un obert de si és
-diferenciable en tot punt d'aquell obert.
[edita] Caracterització de les funcions diferenciables en sentit complex
[edita] Teorema
- Les funcions
-diferenciables en un punt
(on
són reals) son aquelles funcions
- diferenciables en sentit real en
- i que, a més a més, compleixen les equacions de Cauchy-Riemann en
. Aquestes equacions es poden escriure sota les formes equivalents següents :
i
- diferenciables en sentit real en
- En aquest cas :
- la diferencial de
al punt
és l'aplicació
- la diferencial de



- Suposem que
sigui
-diferenciable en
: aleshores
quan
(hem notat per
la derivada
).
- Es defineix
(funció d'una variable complexa):
si
(*).
Aleshores (per definició de A):quan
- (*) es pot escriure :
(quan
, i també quan
),
- o sigui :
, on
(**)
- És clar que l'aplicació
és
-lineal (fins i tot
-lineal, propietat més forta). Per tant :
és
-diferenciable en
,
, i finalment :
.
- Es defineix
- Recíproc : suposem que
sigui
-diferenciable en
i que
, altrament dit :
, on
(no s'utilitza aquí cap hipòtesi de continuïtat de les derivades parcials : la hipòtesi precedent concerneix un únic punt. Es podria imaginar que
no fos diferenciable en cap altre punt).
- Per hipòtesi, en notar per L la
-diferencial de
en
:
, on
quan
- Si
(u, v reals), aleshores per
-linealitat de L :
- Per tant :
, i
quan
- Si
, s'en dedueix que :
quan
. L'existència d'aquest límit prova que
és
-diferenciable en
(es a dir :
existeix), i que
.
- Això prova també que quan
és
-diferenciable en
:
- la seva diferencial és l'aplicació
, perquè
.
- la seva diferencial és l'aplicació
- Per hipòtesi, en notar per L la
[edita] Un cas important
La caracterització següent de les funcions holomorfes és una conseqüència immediata del teorema precedent, aplicat en cada punt.
Teorema : una funció és holomorfa en l'obert U de
si i només si :
- és diferenciable en sentit real en tot punt de U,
- i compleix les equacions de Cauchy-Riemann en tot punt de U
[edita] Exemples
- La funció
és (almenys) de classe
en
, per tant hi és
-diferenciable ; però no és
-diferenciable en cap punt, perquè no compleix les equacions de Cauchy-Riemann en cap punt. En efecte, com que
:
: per a tot
,
.
- La funció
és (almenys) de classe
en
, per tant hi és
-diferenciable ; és
-diferenciable en 0 i només en aquest punt (no és holomorfa en cap obert : el conjunt
dels seus punts de
-diferenciabilitat té interior buit).
- La funció
és holomorfa en
i per a tot
,
. En efecte, si
i
,
quan
. Es té
, per tant :
(equacions de Cauchy-Riemann en z).
[edita] Un exemple on les derivades parcials no són contínues
Se sap que tota funció holomorfa en un obert té derivades parcials contínues en aquest obert (això no forma part de la definició ; la continuïtat i àdhuc el caràcter infinitament diferenciable de la funció és una conseqüència de la teoria de Cauchy). Tanmateix, és possible que una funció diferenciable compleixi les equacions de Cauchy-Riemann en un conjunt no obert (per exemple en un únic punt) i que les seves derivades parcials no siguin contínues.



- Es defineix
:
si
- La funció
és (almenys) de classe
en
; per tant, és
-diferenciable en
.
,
; per tant
, i se'n dedueix que
quan
:
és
-diferenciable en 0 i
; a fortiori,
és
-diferenciable en 0 i
,
(hem provat que
és
-diferenciable en
)
- Si
,
.
- Per a tot
, sigui
. Un càlcul elemental dóna : per a tot
.
- Com que
quan
i
no convergeix cap a
, la funció
no és contínua en 0. Es demostra de la mateixa manera que la funció
tampoc no és contínua en 0.