Limite d'une fonction

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En math??matiques , la limite d'une fonction est un concept fondamental dans le calcul et l'analyse concernant le comportement de cette fonction ?? proximit?? d'un particulier entr??e. Officieusement, une fonction attribue un sortie f (x) pour chaque entr??e x. La fonction a une limite L ?? une entr??e p si f (x) est ??proche?? de L lorsque x est ??proche?? de p. En d'autres mots, f (x) deviennent de plus en plus proche de L comme x se rapprochent de plus en plus ?? la page. Plus pr??cis??ment, lorsque f est appliqu?? ?? chaque entr??e suffisamment proche de p, le r??sultat est une valeur de sortie qui est arbitrairement proche de L. Si les entr??es "Fermer" pour p sont prises ?? des valeurs qui sont tr??s diff??rentes, la limite est dit de ne pas exister. D??finitions formelles, premier con??us au d??but du 19??me si??cle , sont donn??s ci-dessous.

Histoire

Bien implicite dans le d??veloppement du calcul des 17e et 18e si??cles, la notion moderne de la limite d'une fonction remonte ?? Bolzano qui, en 1817, a pr??sent?? les bases du epsilon-delta technique. Cependant, son travail ne ??tait pas connu de son vivant. Cauchy discut?? limites dans son Cours d'analyser (1821) et semble avoir exprim?? l'essence de l'id??e, mais pas de fa??on syst??matique. La premi??re pr??sentation publique rigoureuse de la technique a ??t?? rendu par Weierstrass dans les ann??es 1850 et 1860 et est depuis devenu la m??thode standard pour traiter les limites.

La notation ??crite en utilisant l'abr??viation lim avec la fl??che ci-dessous est due ?? Hardy dans son livre Un cours de math??matiques pures en 1908.

Explication

Imaginez un avion survolant un paysage repr??sent?? par le graphe de y = f (x). Sa position horizontale est mesur??e par la valeur de x, de fa??on similaire ?? la position donn??e par une carte de la terre ou par un syst??me de positionnement global. Son altitude est donn??e par la coordonn??e y. Il vole vers la position horizontale donn??e par x = p. Comme il le fait, il se aper??oit que son altitude approches L. Si par la suite demand?? de deviner l'altitude au-dessus x = p, il serait alors r??pondre L, m??me si elle ne avait jamais atteint cette position.

Qu'est-ce que cela signifie de dire que son altitude approches L? Cela signifie que son altitude se rapproche et plus proche de L, sauf pour une ??ventuelle petite erreur dans la pr??cision. Par exemple, supposons que nous fixons un objectif de pr??cision notamment pour le plan: il doit obtenir dans les dix m??tres de L. Le plan rend compte qu'il peut obtenir dans les dix m??tres de L, car il indique que quand il est ?? moins de cinquante m??tres horizontaux de p, son altitude est toujours dix m??tres ou moins de L.

Nous changeons donc notre objectif de pr??cision: peut-il obtenir moins d'un m??tre? Oui. Si ce est moins de sept m??tres horizontaux de p, puis son altitude reste moins d'un m??tre de la cible L. En r??sum??, pour dire que l'altitude de l'avion se approche de L que sa position horizontale approche p signifie que pour chaque objectif d'exactitude cible, il ya une zone de p dont l'altitude reste dans cet objectif de pr??cision.

La d??claration informelle initiale peut maintenant ??tre explicit??e:

La limite d'une fonction f (x) lorsque x tend vers p est un nombre L ayant la propri??t?? suivante: compte tenu de ne importe quelle distance de la cible ?? partir de L, il existe une distance de p dans lequel les valeurs de f (x) restent ?? l'int??rieur de la distance de la cible.

Cette d??claration explicite est assez proche de la d??finition formelle de la limite d'une fonction ?? valeurs dans un espace topologique.

D??finitions

Les d??finitions suivantes sont ceux g??n??ralement reconnus pour la limite d'une fonction dans divers contextes.

Fonctions sur la ligne r??elle

Supposons que f: R → R est d??fini sur la ligne r??elle et p, L ∈ R alors nous disent que la limite de f quand x tend vers p est L et ?? ??crire

$\ Lim_ {x \ p} f (x) = L$

si et seulement si pour tout r??el ε> 0, il existe un r??el δ> 0 tel que 0 <| x - p | <δ implique | f (x) - L | <ε. A noter que la valeur de la limite ne d??pend pas de la valeur de f (p).

Une d??finition plus g??n??rale se applique pour les fonctions d??finies sur des sous-ensembles de la ligne r??elle. Soit (a, b) ??tre un intervalle ouvert de R, et p un point de (a, b). Soit f une fonction r??elle d??finie sur l'ensemble de (a, b) sauf peut-??tre ?? la p. On dit alors que la limite de f quand x tend vers p L est si et seulement si, pour chaque ε r??el> 0, il existe un r??el δ> 0 tel que 0 <| x - p | <δ et x ∈ (a, b ) implique | f (x) - L | <ε. Notez que la limite ne d??pend pas de f (p) est bien d??finie.

Limites unilat??rales

En variante peuvent se approcher x p ?? partir de ci-dessus (?? droite) ou en dessous (?? gauche), auquel cas les limites peuvent ??tre ??crites en tant que

$\ Lim_ {x \ ^ p} + f (x) = L$

$\ {X lim_ \ p ^ -} f (x) = L$

respectivement. Si ces deux limites sont ??gaux ?? L, alors cela peut ??tre consid??r?? comme la limite de f (x) ?? la p. A l'inverse, se ils ne sont pas tous deux ??gaux ?? L puis la limite, en tant que tel, ne existe pas.

Une d??finition formelle est la suivante. La limite de f (x) lorsque x tend vers p est au-dessus de L si, pour tout ε> 0, il existe un δ> 0 tel que | f (x) - L | <ε chaque fois que 0 <x - p <δ. La limite de f (x) lorsque x tend vers p est au-dessous de L si, pour tout ε> 0, il existe un δ> 0 tel que | f (x) - L | <ε chaque fois que 0 <p - x <δ.

Si la limite ne existe pas, il se agit d'un non-z??ro oscillation.

Fonctions sur les espaces m??triques

Supposons f: (M, _M d) → (N, _N d) est d??finie entre deux espaces m??triques, avec x ∈ M, p a point de M et L ∈ N limite. Nous disons que la limite de f quand x tend vers p est L et ??crivons

$\ Lim_ {x \ p} f (x) = L$

si et seulement si pour tout ε> 0, il existe un δ> 0 tel que, d _N (f (x), L) <ε chaque fois que 0 <d _M (x, p) <δ. Encore une fois, notez que p ne est pas n??cessairement dans le domaine de f, pas plus que L besoin d'??tre dans la gamme de f.

Une autre d??finition en utilisant le concept de quartier est la suivante:

$\ Lim_ {x \ p} f (x) = L$

si et seulement si pour tout voisinage V de L en N, il existe un voisinage U de p dans M, tel que f (U - {p}) ⊆ V.

Fonctions sur les espaces topologiques

Supposons que X, Y sont espaces topologiques avec un Y Espace s??par??. Soit p un point de limite de X, Y et L ∈. Pour une fonction f: X - {p} → Y, nous disons que la limite de f quand x tend vers p est L (ie, f (x) → L comme x → p) et ??crire

$\ Lim_ {x \ p} f (x) = L$

si et seulement si pour tout voisinage V de L, il existe un voisinage U de p tel que f (U - {p}) ⊆ V.

A noter que le domaine de f n'a pas besoin de contenir p. Si ce est le cas, la valeur de f p est sans rapport avec la d??finition de la limite. La derni??re partie de la d??finition peut ??galement ??tre formul??e "il existe une Module: Neighbourhood_ (math??matiques) ( parler ?? ?? hist ?? ?? liens ?? sous-pages essais - r??sultats) U de p telle que f (U) ⊆ V ".

On peut formuler d'autres d??finitions similaires de la limite dans un espace topologique. Dans une version, le domaine de la fonction f est un sous-ensemble de Ω de l'espace topologique X. Dans ce cas, le point p doit ??tre un point de Ω limite, et la limite est prise par rapport ?? la topologie induite sur Ω ( limites unilat??rales, o?? la limite est prise ?? l'int??rieur d'un intervalle ?? l'une des extr??mit??s, sont un cas particulier de cette).

En particulier, si le domaine de f est X - {p} (ou la totalit?? de X), puis la limite de f en x → p existe et est ??gale ?? L si et seulement si pour tous les sous-ensembles Ω de X avec point limite p la limite de la restriction de f ?? Ω existe et est ??gale ?? L. Parfois, ce crit??re est utilis?? pour ??tablir la non-existence de la limite des deux c??t??s d'une fonction sur R en montrant que les limites unilat??rales soit ne parviennent pas ?? exister ou ne sont pas d'accord. Ce point de vue est fondamentale dans le domaine de topologie g??n??rale, o?? les limites et la continuit?? en un point sont d??finis en termes de familles particuli??res de sous-ensembles, appel?? les filtres, ou des s??quences connues sous le nom g??n??ralis??es filets.

Alternativement, l'exigence que Y un espace s??par?? peut ??tre assouplie ?? l'hypoth??se que Y un espace topologique g??n??ral, mais alors la limite d'une fonction ne sera pas unique. En particulier, on ne peut plus parler de la limite d'une fonction en un point, mais plut??t une limite ou l'ensemble des limites ?? un point.

Une fonction est continue dans un point de limite de p et dans son domaine et seulement si f (p) est ??le?? (ou dans le cas g??n??ral: "a") la limite de f (x) lorsque x tend vers p.

Limite d'une fonction ?? l'infini

La limite de cette fonction ?? l'infini existe.

Si le affine ??tendu syst??me de nombre r??el (droite r??elle ??tendue) R est consid??r??e, ?? savoir, R ∪ {-∞, + ∞}, alors il est possible de d??finir des limites d'une fonction ?? l'infini.

Si f (x) est une fonction r??elle, alors la limite de f lorsque x tend vers l'infini est L, not??e

$\ F {x lim_ \ infty ?? de \} (x) = L,$

si et seulement si pour tous $\ Epsilon> 0$ il existe S> 0 tel que $| F (x) - L | <\ epsilon$ lorsque x> S.

De m??me, la limite de f quand x tend vers l'infini est infini, not??e

$\ {X lim_ \ to \ infty} f (x) = \ infty,$

si et seulement si pour tout R> 0, il existe S> 0 tel que f (x)> R lorsque x> S.

D'une mani??re analogue, les termes suivants peuvent ??tre d??finis:

$\ {X lim_ \ ?? - \ infty} f (x) = L, \ x {lim_ \ to \ infty} f (x) = - \ infty, \ x {lim_ \ ?? - \ infty} f (x) = \ infty, \ x {lim_ \ ?? - \ infty} f (x) = - \ infty$ .

Ces notions de limite une tentative de fournir une interpr??tation m??trique de l'espace ?? des limites ?? l'infini. Toutefois, notez que ces notions d'une limite sont compatibles avec la d??finition de l'espace topologique de limite si

un voisinage de -∞ est d??fini pour contenir un intervalle [-∞, c) o?? c ∈ R
un quartier de ∞ est d??fini pour contenir un intervalle (c, ∞] o?? c ∈ R
un voisinage de a ∈ R est d??fini de la mani??re habituelle espace m??trique R

Dans ce cas, R est un espace topologique et toute fonction de la forme f: X → Y avec X, Y ⊆ R est subordonn?? ?? la d??finition d'une limite topologique. A noter que cette d??finition topologique, il est facile de d??finir des limites infinite finis, en des points qui ne ont pas ??t?? d??finies ci-dessus dans le sens m??trique.

??valuation limites ?? l'infini pour les fonctions rationnelles

Il ya trois r??gles de base pour l'??valuation des limites ?? l'infini pour une fonction rationnelle f (x) = p (x) / q (x):

Si le degr?? de p est plus grand que le degr?? de q, puis la limite est infini positif ou n??gatif selon les signes des coefficients d'attaque;
Si le degr?? de p et q sont ??gaux, la limite est le premier coefficient de p divis?? par le premier coefficient de q;
Si le degr?? de p est inf??rieur au degr?? de q, la limite est fix??e ?? 0.

. Si la limite ?? l'infini existe, il repr??sente une asymptote horizontale ?? x = L polyn??mes ne ont pas asymptotes horizontales; ils peuvent se produire avec des fonctions rationnelles.

fonctions de valeur complexe

Le plan complexe avec m??trique $d (x, y): = | x-y |$ est ??galement un espace m??trique. Il existe deux types de limites diff??rentes lorsque l'on consid??re les fonctions ?? valeurs complexes.

Limite d'une fonction ?? un point

Si f est une fonction ?? valeurs complexes, puis

$\ Lim_ {x \ p} f (x) = L$

si et seulement si pour tout ε> 0, il existe un δ> 0 tel que pour tous les nombres r??els x avec $0 <| x - p | <\ delta$ , Nous avons $| F (x) - L | <\ epsilon$ .

Ce est juste un cas particulier de fonctions plus les espaces m??triques avec M et N sont le plan complexe.

Limite d'une fonction de plusieurs variables

En notant que | x - p | repr??sente une distance, la d??finition d'une limite peut ??tre ??tendue aux fonctions de plusieurs variables. Dans le cas d'une fonction f: R → R ^2,

$\ Lim _ {(x, y) \ to (p, q)} f (x, y) = L$

si et seulement si

pour chaque ε> 0, il existe un δ> 0 tel que pour tout (x, y) avec 0 <|| (x, y) - (p, q) || <δ, on a | f (x, y) - L | <ε

o?? || (x, y) - (p, q) || repr??sente le Distance euclidienne. Cela peut ??tre ??tendue ?? ne importe quel nombre de variables.

Propri??t??s

Pour dire que la limite d'une fonction f en p est L ??quivaut ?? dire

pour chaque s??quence convergente _{(x n)} M avec limite ??gale ?? p, la s??quence (f (x _n)) converge avec la limite L.

Si les ensembles A, B, ... forment une partition du domaine fini de fonction, $x \ in \ overline {A} \ terres x \ in \ overline {B}$ , ... Et la limite relative pour chacun de ces ensembles existe et est l'??gal, par exemple, L, il existe alors la limite pour le point x et est ??gal ?? L.

La fonction f est continue ?? la p si et seulement si la limite de f (x) lorsque x tend vers p existe et est finie. De fa??on ??quivalente, f transforme chaque s??quence en M qui converge vers p dans une s??quence dans laquelle N converge vers f (p).

Encore une fois, si N est un espace vectoriel norm??, alors l'op??ration limite est lin??aire dans le sens suivant: si la limite de f (x) quand x tend vers p est L et la limite de g (x) quand x tend vers p est P, puis la limite de f (x) + g (x) lorsque x tend vers p est L + P. Si a est un scalaire de la base champ, puis la limite de af (x) quand x tend vers p est Al.

Prenant la limite des fonctions est compatible avec les op??rations alg??briques, ?? condition que les limites sur les c??t??s droit de l'identit?? ci-dessous existent:

$\ Begin {matrix} \ lim \ {x limits_ \ p} & (f (x) + g (x)) & = & \ lim \ {x limits_ \ p} f (x) + \ lim \ {limits_ x \ p} ?? g (x) \\ \ lim \ limits_ {x \} et de p (f (x) - g (x)) & = & \ lim \ limits_ {x \ p} f (x) - \ lim \ {x limits_ \ p} g (x) \\ \ lim \ {x limits_ \ p} & (f (x) \ cdot g (x)) & = & \ lim \ {x limits_ \ p} ?? f (x) \ cdot \ lim \ limits_ {x \ p} ?? g (x) \\ \ lim \ limits_ {x \} et de p (f (x) / g (x)) = & & {\ lim \ {x limits_ \ p} f (x) / \ lim \ {x limits_ \ p} g (x)} \ end {matrix}$

(Le dernier ?? condition que le d??nominateur est diff??rent de z??ro). Dans chaque cas ci-dessus, lorsque les limites du droit ne existent pas, ou, dans le dernier cas, lorsque les limites ?? la fois dans le num??rateur et le d??nominateur sont ??gaux ?? z??ro, n??anmoins la limite sur la gauche peut encore existe - cela d??pend de qui les fonctions F et G sont.

Ces r??gles sont ??galement valables pour les limites d'un seul c??t??, pour le cas p = ?? ∞, et aussi pour les limites infinies en utilisant les r??gles

q + ∞ = ∞ pour q ≠ -∞
q x ∞ = ∞ si q> 0
q ?? ∞ = -∞ si q <0
q / ∞ = 0 si q ≠ ?? ∞

(Voir ??tendue r??elle ligne de num??ro).

Notez qu'il n'y a pas de r??gle g??n??rale pour le cas q / 0; tout d??pend de la fa??on dont 0 est approch??. Formes ind??termin??es - par exemple, 0/0, 0 ?? ∞, ∞-∞ et ∞ / ∞ - ne sont pas couverts par ces r??gles, mais les limites correspondantes peuvent souvent ??tre d??termin??es avec R??gle de L'H??pital ou Th??or??me des gendarmes.

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