Variabile casuale normale

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

**Variabile casuale normale**
Funzione di densità La linea in verde si riferisce alla variabile casuale normale standardizzata
Funzione di ripartizione I colori corrispondono a quelli delle densità della figura precedente
Parametri	$\mu~\in~\mathbb{R}$ , $\sigma^2~\in~(0,\infty)$
Supporto	$\mathbb{R}$
Funzione di densità	$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}$
Funzione di ripartizione	$\frac{1}{2} \left(1 + \mathrm{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt2}\right) \!$
Valore atteso	$μ$
Mediana	$μ$
Moda	$μ$
Varianza	$σ 2$
Skewness	$0$
Curtosi	$0$
Entropia	$\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!$
Funz. Gen. dei Momenti	$M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$
Funz. Caratteristica	$\varphi_X(t)=\exp\left(\mu\,i\,t-\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$

La variabile casuale Normale (detta anche variabile casuale Gaussiana, curva di Gauss, Campana di Gauss, curva degli errori, curva a campana, ogiva) è una variabile casuale continua con due parametri, indicata tradizionalmente con:

$\ N(\mu;\sigma^2)$

Si tratta di una delle più importanti variabili casuali, soprattutto continue, in quanto è, o la base di partenza per le altre v.c. (vedasi la Chi Quadrato, la t di Student, e la F di Snedecor) o la v.c. alla quale altre possono essere approssimate in certe situazioni limite (vedasi la bernoulliana e la poissoniana e il teorema del limite centrale).

[modifica] Metodologia

La variabile casuale gaussiana, o normale, è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana: $f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \; e^ {- \frac{\left( t - \overline t \right)^2}{2 \sigma ^2}} ~\mbox{ con }~ - \infty < x < \infty$ .

La sua funzione generatrice dei momenti è $g(t) = e^{ \mu t + \sigma ^2 \frac{t^2}{2} }$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto μ e σ².

Non essendo possibile esprimere l'integrale della f(x) in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

68,3% = P{ μ -      σ < X <  μ +      σ }
95,0% = P{ μ - 1,96 σ < X <  μ + 1,96 σ }
95,5% = P{ μ - 2    σ < X <  μ + 2    σ }
99,0% = P{ μ - 2,58 σ < X <  μ + 2,58 σ }
99,7% = P{ μ - 3    σ < X <  μ + 3    σ }

Essendo f(x) una funzione simmetrica è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi, per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

[modifica] Teoremi

Se: X₁, X₂, ..., X_n sono n variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso μ_i e varianza σ²_i,
allora: la v.c. Y = α₁X₁ + α₂X₂ + ... + α_nX_n è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso μ = α₁μ₁ + α₂μ₂ + ... + α_nμ_n e varianza σ² = α²₁σ²₁ + α²₂σ²₂ + ... + α²_nσ²_n

Altri teoremi: Teorema di Cochran

[modifica] Relazioni con altre variabili casuali

[modifica] La Normale come derivazione da altre v.c.

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se X è distribuita come una variabile casuale binomiale con n molto grande (per dare un'idea di quanto grande possiamo dire che deve essere n>7), e approssimativamente np>10, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso pari a np e varianza uguale a npq: N( np ; npq).

Se X è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

[modifica] Variabili casuali derivate dalla Normale

Date n distribuzioni normali Z₁(0;1); Z₂(0;1); ... Z_n(0;1) con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. allora

χ²_n= Z₁² + Z₂² + .... +Z_n²

è una Variabile casuale chi quadro con n gradi di libertà.

Siano Z₁, Z₂, Z₃,...,Z_n variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre a₁, a₂, a₃,...,a_n delle costanti tali che

$\lambda=\sum{a_i^2}$

allora si indica con χ'² la v.c. chi quadro non centrale con n gradi di libertà costruita come

$\chi'^2=\sum(Z_i+a_i)^2$

Se Z~N(0;1) e X~χ²_n, allora T=Z/√X/n è distribuita come una t di Student con n gradi di libertà.

Se Z~N(0;1) e $T=\beta (\frac{\alpha Z}{2} + \sqrt{(\frac{(\alpha Z)^2}{4}+1})^2$ allora T è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $α$ e $β$ .

[modifica] La normale nell'inferenza bayesiana

[modifica] V.c. Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la variabile casuale Gamma.

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametr μ e 1/θ

f (x | θ) = N (x | μ;1 / θ)

e il parametro θ è distribuito a priori come una v.c. Gamma con i parametri a e b

g (λ) = G a m m a (λ | a; b)

allora il parametro θ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Gamma, ma con parametri a+1/2 e b+(μ-x)²/2

g (θ | x) = G a m m a (θ | a + 1 / 2; b + (μ - x) 2 / 2)

[modifica] Priori coniugati normale di una normale

Se X è distribuita come una v.c. normale con parametri m e σ²

f (x | m) = N (x | m;1 / r 2)

e il parametro m è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri μ e σ²

g (m) = N (m | μ;σ 2)

allora il parametro m è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri $(σ 2 μ + r 2 x) / (σ 2 + r 2)$ e $(σ 2 r 2) / (σ 2 + r 2)$

g (m | x) = N (m | (σ 2 μ + r 2 x) / (σ 2 + r 2);(σ 2 r 2) / (σ 2 + r 2))

[modifica] Cenni storici

Karl Friedrich Gauss descrisse la Normale studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi curva di Gauss e curva degli errori:

Nel 1835 Lambert-Adolphe-Jacques Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una Gaussiana, ma non andò oltre.

Fu Francis Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche ogiva, poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa di idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine Normale, in quanto rappresentava uno substrato normale ovvero la norma per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, in mancanza di strumenti adeguati, Galton si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.