Vector (Matem??tiques)

De Viquip??dia

Vector s'anomena en matem??tiques a una, dues, tres, ... n components referides a un sistema de refer??ncia de la mateixa dimensi?? i on cada component del vector indica l'increment en la coordenada del sistema a la que fa refer??ncia.

M??s generalment, un vector ??s un element d'un espai vectorial.

Tamb?? el podem definir com la variaci?? del lloc. ??s la unica ferramenta que ens permet passar d'un punt a un altre. ??s una variaci?? de coordenades.

Visualment i sobretot en geometria plana, podem dir que ??s un segment orientat, que t?? una direcci?? (inclinaci?? del segment respecte un o m??s eixos de coordenades), un sentit (indicat per la punta de fletxa) i un m??dul (llargada del segment, mesurant des de la punta fins al punt d'aplicaci??, que est?? a l'altra banda)

[edita] Representaci?? dels vectors

Els vectors se solen representar en negreta (v), mitjan??ant una fletxa a sobre d'aquest ( $\vec v$ ), amb una titlla ( $\tilde v$ ) o b??, generalment quan s'escriuen a m??, subratllats (v). Tamb?? si el context ho fa evident es pot obviar aquesta notaci?? quan s'escriu a m?? i escriure'l senzillament amb una sola lletra ( $v$ ). Mentre que en el camp de les matem??tiques se sol optar per aquesta darrera possibilitat, en la f??sica se sol usar l'opci?? de la fletxa a sobre, per??, en general, aquest ??s varia en funci?? de factors diversos. En aquest article s'acostumar?? a donar prefer??ncia a la primera forma esmentada.

En gr??fics i diagrames, els vectors del pla o de l'espai es solen representar com a fletxes, com podeu veure en aquest exemple:

Fletxa de vector del punt A al punt B.

On A ??s l'origen del vector i B el seu final. Aquest vector tamb?? es podria escriure $\overrightarrow{AB}$ o AB.

En diagrames de dues dimensions, sovint es necessita representar vectors perpendiculars al pla del diagrama. En aquests casos, i per diferenciar els dos sentits possibles s'usa una notaci?? de punts o creus. S'utilitza el s??mbol de la creu (???) per a indicar vectors que entren al pla de projecci?? del diagrama en el sentit contrari a l'observador. Per als vectors que surten del pla de projecci?? en direcci?? a l'observador s'utilitza un punt (???).

Vector que entra al pla (esquerra) i vector que surt del pla (dreta).

En un espai euclidi?? d'n dimensions, els vectors poden ??sser representats com a combinaci?? lineal d'n vectors unitaris. Per exemple, a $\mathbb{R}^3$ , s'acostumen a anomenar els vectors unitaris paral??lels als eixos x, y i z com a i, j i k respectivament. Qualsevol vector $\bold a \in \mathbb{R}^3$ pot ser escrit com a $\bold a = a_1\bold i+a_2\bold j+a_3\bold k$ , on aquests tres nombres reals a₁, a₂ i a₃ deixen un??vocament definit el vector. A vegades i per a simplificar la notaci??, el vector a s'escriu com a $\bold a = (a_1,a_2,a_3)$ o b?? amb les matrius

$\bold a = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3\\ \end{bmatrix}$

$\bold a = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{pmatrix}$

tot i que aquesta notaci?? no indica la depend??ncia de les coordenades a₁, a₂ i a₃ respecte a l'espec??fic sistema de refer??ncia format per i, j, k.

[edita] Els vectors en la geometria plana

Els vectors en geometria plana es poden sumar (i per tant restar) sumant-ne (o restant-ne) elscomponents que els formen.

V=(v₁, v₂)

U=(u₁,u₂)

V+U=( v₁+ u₁, v₂+u₂)=W

On W ??s el vector resultant

El m??dul (llargada del segment del m??dul en les unitats dels eixos de coordenades) s'aconsegueix fent un teorema de pit??gores a les seves components. El m??dul d'un vector v ??s |v|

V=(v₁, v₂)

$|V| = \sqrt {v{{sub|1}}^2 + v{{sub|2}}^2} \,$