Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Variable aleat??ria - Viquip??dia

Variable aleat??ria

De Viquip??dia

En estad??stica i teoria de probabilitat una variable aleat??ria ??s una quantitat a la qual s'assigna una distribuci?? de probabilitat. Per exemple, pot ser el resultat num??ric d'un experiment aleatori. Des d'un punt de vista formal matem??tic, ??s defineix com una funci?? mesurable que pren valors en un espai mesurable.

X:\Omega\to\mathcal{S}

Habitualment, els valors de la variable aleat??ria s??n un nombre real, ??s a dir, \mathcal{S}=\mathbb{R}. Intuitivament, X assigna un nombre real a cada succ??s en l'espai mostral ??. El conjunt dels valors possibles d'una variable aleat??ria se la coneix com a domini de la variable aleat??ria. En quant a la notaci??, la variable aleat??ria se sol indicar amb X (en maj??scules) i el valor observat d'aquesta variable aleat??ria se sol indicar amb x (??s a dir, en min??scules).

Per tal de resumir el comportament probabilistic d'una variable aleat??ria X es poden calcular diverses quantitats, com ara l'esperan??a matem??tica o valor esperat o la vari??ncia poblacional de la distribuci?? de probabilitat d'X. Tanmateix, en general per a caracteritzar X completament cal con??ixer-ne la distribuci?? de probabilitat, l'espai mostral i l'espai mesurable en el que pren valors. Algunes distribucions de probabilitat queden completament caracteritzades per un nombre redu??t de par??metres, com ara la distribuci?? normal que queda definida per l'esperan??a i la vari??ncia.

Taula de continguts

[edita] Variable aleat??ria discreta

Intuitivament, una variable aleat??ria ??s discreta si el seu conjunt de valors possibles es pot enumerar, tot i que el nombre de valors possibles no ha de ser pas finit. Per exemple, una variable aleat??ria que pot prendre els valors 1, 2, 3, \ldots (on \ldots indica que la seq????ncia segueix indefinidament).

Matem??ticament, una variable aleat??ria ??s discreta si la seva mesura de probabilitat est?? dominada per la mesura comptadora. La distribuci?? d'una variable discreta sol representar-se amb la seva funci?? de distribuci??

F(x)= P(X \leq x)

o amb la funci?? de probabilitat

p(x) = P(X = x).

??s a dir, la funci?? de distribuci?? permet calcular probabilitats acumulatives i la funci?? de probabilitat permet calcular quina ??s la probabilitat de que la variable aleat??ria prengui un cert valor.

[edita] Exemple

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment s??n observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss).

?? = { cc, cs, sc, ss }

Sigui X la variable aleat??ria que identifica el nombre de cares obtingudes en el llen??ament. ??s a dir, X ??s la seg??ent funci?? dels elements d'??:

X(cc) = 2
X(cs) = X(sc) = 1
X(ss) = 0

El domini d'X ??s S = { 0, 1, 2 }. O sigui, ??s una variable discreta, doncs nom??s pot prendre els valors 0, 1 i 2.

La funci?? de probabilitat ??s p(0) = 1 / 4,p(1) = 2 / 4,p(2) = 1 / 4. La funci?? de distribuci?? ve donada per F(0) = 1 / 4,F(1) = 1 / 4 + 2 / 4,F(2) = 1.

[edita] Variable aleat??ria continua

Intuitivament, una variable aleat??ria es cont??nua si els valor que pot prendre no es poden enumerar. Per exemple, una variable que pot prendre com a valor qualsevol nombre real.

Matem??ticament, una variable aleat??ria ??s continua si la seva mesura de probabilitat est?? dominada per la mesura de Lebesgue. La distribuci?? d'una variable cont??nua sol representar-se amb la seva funci?? de distribuci??

F(x)= P(X \leq x)

o amb la funci?? de densitat de probabilitat

f(x) = dF(x) / d??(x),

on dF(x) / d??(x) ??s la derivada respecte la mesura de Lebesgue.

[edita] Exemple

El pes d'una persona ??s una variable cont??nua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisi??. Per exemple, podriem caracterizar el pes amb una distribuci?? normal amb mitjana 70 i desviaci?? est??ndard 10.


[edita] Funcions de variables aleat??ries

Aplicar una funci?? a una variable aleat??ria resulta en una variable aleat??ria. M??s formalment, si tenim una variable aleat??ria X que assigna elements de ?? a elements de R, i una funci?? measurable f: R ??? R, aleshores Y = f(X) tamb?? ??s una variable aleat??ria, ja que la composici?? de funcions mesurables tamb?? ??s mesurable. La funci?? de distribuci?? de Y ??s

F_Y(y) = \operatorname{P}(f(X) \le y).

[edita] Exemple 1

Sigui X una variable aleat??ria cont??nua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y ??s una variable aleat??ria amb funci?? de distribuci??

F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \le y).

Si y < 0, aleshores P(X2 ??? y) = 0, i per tant

F_Y(y) = 0\qquad\hbox{if}\quad y < 0.

Si y ??? 0, aleshores

\operatorname{P}(X^2 \le y) = \operatorname{P}(|X| \le \sqrt{y}) = \operatorname{P}(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}),

i per tant

F_Y(y) = F_X(\sqrt{y}) - F_X(-\sqrt{y})\qquad\hbox{if}\quad y \ge 0.

[edita] Exemple 2

Suposem que \scriptstyle X ??s una variable aleat??ria amb funci?? de distribuci??

F_{X}(x) = P(X \leq x) = \frac{1}{(1 + e^{-x})^{\theta}}

on \scriptstyle \theta > 0 ??s un par??metre fixat. Considerem la variable aleat??ria \scriptstyle Y = \mathrm{log}(1 + e^{-X}). Aleshores,

F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = P(\mathrm{log}(1 + e^{-X}) \leq y) = P(X > -\mathrm{log}(e^{y} - 1)).\,

La darrera expressi?? pot calcular-se en termes de la funci?? de distribuci?? d'X, i per tant

F_{Y}(y) = 1 - F_{X}(-\mathrm{log}(e^{y} - 1)) \,
= 1 - \frac{1}{(1 + e^{\mathrm{log}(e^{y} - 1)})^{\theta}}
= 1 - \frac{1}{(1 + e^{y} - 1)^{\theta}}
= 1 - e^{-y \theta}.\,


[edita] Refer??ncies

Probabilidad y Estad??stica. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edici??n)