Vari??ncia

De Viquip??dia

En teoria de probabilitat i estad??stica la vari??ncia ??s un estimador de la dispersi?? d'una variable aleat??ria $X$ de la seva mitjana $E [X]$ . Es defineix com la esperan??a de la transformaci?? $\left ( X - E[X] \right )^2$ , aix?? ??s

$V(X)=E \left [ \left ( X - E[X] \right )^2 \right ]$

Est?? relacionada amb la desviaci??, que es sol definir amb la lletra grega ?? i que ??s l'arrel quadrada de la vari??ncia:

$\sigma = \sqrt {V(X)}\;\!$ o be $\sigma^2 = V(X)\;\!$

[edita] Propietats de la vari??ncia

Algunes propietats de

$V(X) \geq 0$ , propietat que permet que la definici?? de desviaci??n t??pica sigui consistent.
$V (a X + b) = a 2 V (X)$ ??ssent a i b constants qualsevols.
$V (X) = E [X 2] ??? E [X] 2$
Si X i Y s??n variables aleat??ries independents, llavors $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$
Desigualtat de Chebyshev $P \left ( \left |X-E[X] \right | \leq k \sigma \right ) \geq 1 - \frac {1}{k^2}$ , per a qualsevol constant K m??s gran que 0.

[edita] Vari??ncia mostral

Dins de la estad??stica descriptiva, la vari??ncia mostral s'utilitza com mesura de dispersi??, i la seva definici?? ??s:

$s ^ 2(x) = \frac{ \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2 }{n}$

M??tode abreujat:

$s ^ 2(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x}) ^ 2$

Tamb?? s'expressa com la difer??ncia entre el moment d'ordre 2 i el quadrat del valor esperat:

$V(X)= E[ X^2] - E[ X ]^2 \;$

Mentre que la desviaci?? est??ndard es pot interpretar com el terme mitj?? de la dist??ncia de cada punt respecte del promig, la vari??ncia est?? amidada en "unitats al quadrat".