Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema fonamental de l'??lgebra - Viquip??dia

Teorema fonamental de l'??lgebra

De Viquip??dia

El teorema fonamental de l'??lgebra afirma que

 tot polinomi de coeficients complexos i de grau n (n ??? 1) t?? exactament n arrels

??s a dir, que per a tot polinomi del tipus:

p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0

existeixen n nombres z1, ..., zn (no necess??riament tots diferents) tals que p(z1) = 0, p(z2) = 0, ..., p(zn) = 0 i, per tant,

p(z)=(z-z_1)(z-z_2)\cdots(z-z_n).

Aquest resultat ??s fonamental perqu?? demostra que el cos dels nombres complexos ??s un cos algebraicament tancat, a difer??ncia del cos dels nombres reals. Una conseq????ncia directa ??s el fet que el producte de totes les arrels ??s igual a (???1)na0 i que la suma de totes les arrels ??s igual a ???an???1.

[edita] Demostraci??

La demostraci?? es basa en fer que la variable z escombri el conjunt dels nombres complexos i veure que necess??riament ha de passar pel valor zero. L???escombratge es fa considerant la representaci?? vectorial dels nombres complexos.

Inicialment es pren un nombre amb m??dul zero i es va fent cr??ixer el m??dul, per a cada valor del m??dul es fa que l'angle recorri els valors des de zero fins a 2??. Quan el m??dul de z ??s zero el resultat de la funci?? polin??mica ??s a0. Quan el m??dul ??s molt petit els monomis d???ordre m??s gran que a1z es poden negligir en comparaci?? amb a1z i la funci?? polin??mica al variar l'angle de z entre zero i 2?? d??na una volta entorn al punt a0. Si a0 ??s diferent de zero el punt (0,0i) queda fora del cercle. (Si a0 ??s zero el polinomi admet una arrel trivial x = 0). Quan el m??dul ??s molt gran els monomis diferents de zn es poden negligir respecte d???aquest, per tant al variar l'angle entre 0 i 2?? radiants la funci?? polin??mica descriu pr??cticament un cercle n cops entorn al punt (0,0i).

Per tant al escombrar d???aquesta forma el conjunt dels nombres complexos, la funci?? polin??mica passa de forma cont??nua de descriure un cercle on el punt (0,0i) en queda fora a descriure???n un on el punt (0,0i) en queda dins, per tant en algun punt ha de tocar (0,0i). Aquest punt (diguem-ne z0) ??s per tant una arrel del polinomi. Dividint el polinomi per (z ??? z0) s???obt?? un altre polinomi de grau n - 1 i el residu ??s zero. Repetint el proc??s n - 1 cops m??s es poden trobar les altres n - 1 arrels.

Per tant, tot polinomi de grau n amb coeficients en el cos dels nombres complexos t?? n arrels.