Teorema del valor mitj??

De Viquip??dia

Per a qualsevol funci?? cont??nua en [a, b] i derivable en (a, b) hi ha algun c al interval (a, b) tal que la secant que uneix els punts extrems del interval [a, b] ??s paral???lela a latangent al punt c.

Informalment es pot dir que en c??lcul, el teorema del valor mig estableix, que donat un boc?? d???una corba derivable, hi ha un punt dins d???aquest boc?? en el qual la tangent a la corba ??s paral???lela a la recta que uneix el primer punt amb l?????ltim. O dit d???un altre forma que hi ha un punt on el pendent (o derivada) de la corba ??s igual al pendent promig (o derivada promig) de tota la corba. Aquest teorema es fa servir per a demostrat teoremes que obtenen conclusions globals de funcions a partir de hip??tesis locals referents als valors que prenen les seves derivades en punts de d???interval.

Aquest teorema es pot entendre aplicant-lo al cas de un objecte en moviment. Si un cotxe viatja cent kil??metres en una hora, es a dir si la seva velocitat promig ??s de 100 Km/h, llavors, en algun moment, la seva velocitat instant??nia haur?? hagut de ser exactament de 100 km/h.

[edita] Definici?? formal

Sia f : [a, b] ??? R una funci?? cont??nua en un interval tancat [a, b], i derivable en l??? interval obert (a, b). Llavors, existeix algun c de (a, b) tal que

$f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$

El teorema del valor mig ??s una generalitzaci?? del teorema de Rolle, el qual suposa que f(a) = f(b), de forma que el cant?? dret de la igualtat ??s zero.

El teorema del valor mig continua sent v??lid establint-lo de una forma lleugerament m??s general, nom??s cal suposar que f : [a, b] ??? R ??s una funci?? cont??nua a [a, b], i que per a cada x de (a, b) el l??mit

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Existeix com a nombre finit o ??s igual a?????.

[edita] Demostraci??

Es construeix la funci??:

$g(x)=f(x)+\frac{f(b)-f(a)}{a-b}x$

Aquesta funci?? te la propietat que en el punt a val:

$\begin{align} & g(a)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{a-b}a=\frac{a\cdot f(a)-b\cdot f(b)+a\cdot f(b)-a\cdot f(a)}{a-b}= \\ & \frac{-b\cdot f(b)+a\cdot f(b)}{a-b}=\frac{(a-b)\cdot f(b)}{a-b}=f(b) \\ \end{align}$

Per tant compleix la condici?? del teorema de Rolle segons el qual hi ha un punt c tal que la seva derivada ??s zero (o ??s la funci?? constant o t?? al menys un m??xim o un m??nim dins del interval). Per?? com que:

$g'(x)=f'(x)+\frac{f(b)-f(a)}{a-b}$