Teorema del valor intermedi

De Viquip??dia

En matem??tiques el teorema del valor intermedi estableix que si la funci?? y=f(x) ??s cont??nua en [a,b], i u ??s un valor entre f(a) i f(b), llavors hi ha, pel capdavall, un c ??? [a,b] tal que f(c) = u.

En el cas de u=0, el teorema es coneix tamb?? amb el nom de teorema de Bolzano . Intu??tivament es pot dir que si una funci?? va des de un valor inicial fins a un altre de final, i ??s cont??nua, ha de passar per tots els valors intermedis. Aix?? representa la idea de que la gr??fica d???una funci?? cont??nua en un interval tancat es pot dibuixar sense aixecar el llapis del paper.

No confondre amb el teorema del valor mitj?? que diu que dins del interval, si la funci?? ??s derivable, hi ha d???haver un punt on el pendent coincideixi amb el pendent mitj??.

Tampoc confondre amb el Teorema de Bolzano-Weierstrass que diu que un subconjunt de $R n$ ??s seq??encialment compacte si ??s tancat i afitat.

Taula de continguts

1 Definici?? formal
2 Demostraci??
3 Generalitzaci??
4 Exemple d???utilitzaci?? per a demostracions

[edita] Definici?? formal

Si $f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ ??s una funci?? cont??nua i u ??s un nombre real tal que f(a) < u < f(b) o f(a) > u > f(b). Llavors per algun c ??? [a,b], f(c) = u.

Tamb?? es pot definir de forma equivalent dient que: si $I$ ??s un interval interval [a,b] en el conjunt dels nombres reals R i $f\colon I \rightarrow \mathbf{R}$ ??s una funci?? cont??nua. Llavors, el conjunt imatge $\displaystyle f(I)$ ??s tamb?? un interval i cont??, o b?? [f(a),f(b)], o cont?? [f(b),f(a)]; es a dir,

$\displaystyle f(I) \supseteq [f(a),f(b)]$ ,

$\displaystyle f(I) \supseteq [f(b),f(a)]$ .

El teorema es compleix gr??cies a la completesa dels nombres reals. Pel cas dels racionals ??s fals. Per exemple, la funci?? f(x) = x^2 - 2, x ??? Q satisf?? $f(0) = -2,\, f(2) = 2$ . En canvi no hi ha cap nombre racional $\displaystyle x$ tal que $\displaystyle f(x) = 0$ .

[edita] Demostraci??

Es demostrar?? el primer cas $\displaystyle f(a) < u < f (b)$ ; el segon ??s similar.

Sia $\displaystyle \text{S} = \{ x \in [a,b] : f(x) \leq u \}$ . Llavors $\displaystyle S$ no ??s buit (dons $\displaystyle a \in \displaystyle S$ ) i t?? de fita superior $\displaystyle b$ . Per tant per la propietat de completesa dels nombres reals, el suprem $c = \sup \text{S}$ existeix. Es tracta de veure que $\displaystyle f(c) = u$ .

Se suposa primer que $\displaystyle f(c) > u$ . Llavors $\displaystyle f(c) - u > 0$ , per tant hi ha un $\displaystyle \delta > 0$ tal que $\displaystyle |f(x) - f(c)| < f(c) - u$ sempre que $\displaystyle |x - c| < \delta$ , donat que $\displaystyle f$ ??s cont??nua. Per?? llavors $\displaystyle f(x) > f(c) - (f(c) - u) = u$ sempre que $\displaystyle |x - c| < \delta$ (es a dir $\displaystyle f(x) > u$ per $\displaystyle x$ en $\displaystyle(c - \delta, c + \delta)$ ). Per tant $\displaystyle c - \delta$ ??s una fita superior de $\displaystyle S$ , per?? aix?? ??s una crontradicci?? donat que $\displaystyle c$ ??s el suprem (la m??s petita de totes les cotes superiors) i $\displaystyle c - \delta < \displaystyle c$ .

Tot seguit se suposa que $\displaystyle f(c) < u$ . Altre cop, per continu??tat, hi ha un $\displaystyle \delta > 0$ tal que $\displaystyle |f(x) - f(c)| < u - f(c)$ on $\displaystyle |x - c| < \delta$ . Llavors $\displaystyle f(x) < f(c) + (u - f(c)) = u$ per $\displaystyle x$ en $\displaystyle(c - \delta, c + \delta)$ i hi ha nombres $\displaystyle x$ m??s grans que $\displaystyle c$ per als quals $\displaystyle f(x) < u$ , altre cop una contradicci?? amb la definici?? de $\displaystyle c$ .

Es dedueix que $\displaystyle f(c) = u$ tal com diu el teorema.

[edita] Generalitzaci??

El teorema del valor intermedi es pot veure com una conseq????ncia de les dues afirmacions seg??ents de topologia:

Si $\displaystyle X$ i $\displaystyle Y$ s??n espais topol??gics, $f\colon X \rightarrow Y$ ??s cont??nua, i $\displaystyle X$ ??s connex, llavors $\displaystyle f(X)$ ??s connex.
Un subconjunt de $\mathbb{R}$ ??s connex si i nom??s si ??s un interval.

[edita] Exemple d???utilitzaci?? per a demostracions

El teorema rarament s???aplica amb nombres concrets; en canvi dona algunes caracteritzacions de les funcions cont??nues. Per exemple, sia $\displaystyle g(x) = f(x) - x$ per $\displaystyle f$ cont??nua al conjunt dels nombres reals. Sia, tamb?? $\displaystyle f$ afitada (per damunt i per davall). Llavors es pot afirma que $\displaystyle g = 0$ pel capdavall un cop. Per a veure-ho, es t?? en compte el seg??ent:

Com que $\displaystyle f$ ??s afitada, es poden triar $a > \sup(f(x))$ i $b < \inf(f(x))$ . Clarament $\displaystyle g(a) < 0$ i $\displaystyle g(b) > 0$ . Si $\displaystyle f$ ??s cont??nua, llavors $\displaystyle g$ tamb?? ho ??s. Co que $\displaystyle g$ ??s cont??nua, es pot aplicar el teorema del valor intermedi i establir que $\displaystyle g$ ha de valer 0 en alg??n lloc entre $\displaystyle a$ i $\displaystyle b$ . Aquest resultat demostra que qualsevol funci?? cont??nua afitada ha de tallar la funci??, $\displaystyle x$ .