Teorema de Wilson
De Viquip??dia
El teorema de Wilson (atribu??t a John Wilson (1741-1793)) estableix que, el nombre enter p ??s primer si, i nom??s si,
aix?? ??s, si i nom??s si, (p ??? 1)! + 1 ??s divisible entre p.
El teorema de Wilson recull el fet que p ??s primer si, i nom??s si, l'anell ??s ??ntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant 1 com p ??? 1 s??n els ??nics elements que s??n inversos de s?? mateixos, el producte
cont?? parelles d'elements amb el seu invers. En conseq????ncia,
- Si p no ??s primer i
amb, posem, q < r, com que q < r < p, ??s clar que , a
, s'esdev?? que
i, per tant,
.
- Si p no ??s primer, per?? ??s la pot??ncia k d'un nombre primer q, aleshores, excepte el cas p = 4 = 22, el nombre de vegades que apareix el factor q a (p ??? 1)! no ??s inferior a k. En conseq????ncia, tamb??
.