Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Wilson - Viquip??dia

Teorema de Wilson

De Viquip??dia

El teorema de Wilson (atribu??t a John Wilson (1741-1793)) estableix que, el nombre enter p ??s primer si, i nom??s si,

(p - 1)! \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)

aix?? ??s, si i nom??s si, (p ??? 1)! + 1 ??s divisible entre p.


El teorema de Wilson recull el fet que p ??s primer si, i nom??s si, l'anell \mathbb{Z}_{p} ??s ??ntegre (i, per ser finit, un cos). Aleshores, com que tant 1 com p ??? 1 s??n els ??nics elements que s??n inversos de s?? mateixos, el producte

(p - 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p - 2) \cdot (p - 1)

cont?? \frac{p - 3}{2} parelles d'elements amb el seu invers. En conseq????ncia,

(p - 1)! = 1 \cdot (2 \cdot 3 \cdots (p - 2)) \cdot (p - 1) = 1 \cdot (1 \cdot 1 \cdots 1) \cdot (p - 1) = p - 1 \equiv -1 \ (\hbox{mod}\ p)

  • Si p no ??s primer i p = q \cdot r amb, posem, q < r, com que q < r < p, ??s clar que , a \mathbb{Z}_{p}, s'esdev?? que q \cdot r  \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p) i, per tant, (p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p).
  • Si p no ??s primer, per?? ??s la pot??ncia k d'un nombre primer q, aleshores, excepte el cas p = 4 = 22, el nombre de vegades que apareix el factor q a (p ??? 1)! no ??s inferior a k. En conseq????ncia, tamb?? (p - 1)! \equiv 0 \ (\hbox{mod}\ p).
  • (4 - 1)! = 3! = 6 \equiv 2 \neq -1 \ (\hbox{mod}\ 4)