Teorema de Taylor
De Viquip??dia
En c??lcul, el Teorema de Taylor, rep el seu nom del matem??tic brit??nic Brook Taylor, qui el va enunciar al 1712. Aquest teorema permet aproximar una funci?? derivable en l'entorn redu??t al voltant d'un punt a: I (a, d) mitjan??ant un polinomi els coeficients del qual depenen de les derivades de la funci?? en aquest punt. En termes matem??tics: Si n???0 ??s un enter i f una funci?? que ??s derivable n vegades en l'interval tancat [a, x] i n+1 en l'interval obert (a, x), llavors es complix que:
On, n! denota el factorial de n, i R ??s la resta, terme que dep??n x i ??s petit si x est?? pr??xim al punt a. Existeixen dues expressions per a R que s'esmenten a continuaci??:
on ??, a, x, n perteneixen als reals
Si R ??s expressat de la primera forma, se l'anomena Terme complementari de Lagrange, at??s que el teorema de Taylor s'exposa com una generalitzaci?? del Teorema del Valor Mig del C??lcul Diferencial, mentre que la segona expressi?? de R mostra el teorema com una generalitzaci?? del Teorema fonamental del c??lcul integral.
Per a algunes funcions f(x), es pot provar que la resta, R, s'aproxima a zero quan n s'acosta a ???; aquestes funcions poden ser expressades com a s??ries de Taylor en un entorn redu??t al voltant d'un punt a i s??n denominades funcions anal??tiques.
El teorema de Taylor amb R expressat de la segona forma ??s tamb?? v??lid si la funci?? f t?? nombres complexos o valors vectorials. A m??s existeix una variaci?? del teorema de Taylor adaptat a funcions amb m??ltiples variables.