Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Stokes - Viquip??dia

Teorema de Stokes

De Viquip??dia

El teorema de Stokes en geometria diferencial ??s una declaraci?? sobre la integraci?? de formes diferencials que generalitza en diversos teoremes del c??lcul vectorial. Deu el seu nom a Sir George Gabriel Stokes (1819-1903). El teorema va agafar el seu nom per l'h??bit de Stokes en incloure'l als ex??mens de Cambridge.

Sigui M una varietat de dimensi?? n diferenciable a trossos, orientada i compacte, i sigui ?? una forma diferencial en M de grau n???1 i de classe C1 n???1. Si ???M denota el l??mit de M amb la seva orientaci?? indu??da, llavors

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega.\!\,

Aqu??, d ??s la derivada exterior, que es defineix fent servir nom??s l'estructura de varietat. El teorema de Stokes es pot considerar com una generalitzaci?? de teorema fonamental del c??lcul; de fet, aquest segon es pot treure f??cilment del primer.

El teorema es fa servir sovint en situacions on M ??s una subvarietat orientada submergida en una varietat m??s gran en la qual es defineix la forma ??.

El teorema s'est??n f??cilment a les combinacions lineals de les subvarietats diferenciables a trossos, tamb?? anomenades cadenes. Llavors, el teorema de Stokes demostra que formes tancades definides fins a una forma exacta es poden integrar sobre cadenes definides fins a una vora. Aquesta ??s la base de l'emparellament entre els grups homol??gics i la cohomologia de Rham.

El teorema de Kelvin-Stokes cl??ssic:

\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{v} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \int_{\partial\Sigma} \mathbf{v} \cdot d \mathbf{r},

que relaciona la integral de superf??cie del rotacional d'un camp vectorial sobre una superf??cie ?? en el 3-espai euclidi?? a la integral de l??nia del camp vectorial sobre la seva vora, ??s un cas especial del teorema de Stokes general (amb n = 2) a la que identifiquem un camp vectorial amb una 1-forma fent servir la m??trica al 3-espai euclidi??. La primera declaraci?? coneguda del teorema ??s per William Thomson (Lord Kelvin) i apareix a la seva carta a Stokes. Es pot reescriure com a

\iint\limits_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\,dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dxdy=\oint\limits_{\partial\Sigma}P\,dx+Q\,dy+R\,dz

on P, Q i R s??n les components de v.

Aix?? mateix, el teorema de Ostrogradsky-Gauss (tamb?? conegut com el teorema de la diverg??ncia o el teorema de Gauss)

\int_{\mathrm{Vol}} \nabla \cdot \mathbf{v} \; d\mathrm{Vol} = \int_{\partial \mathrm{Vol}} \mathbf{v} \cdot d\Sigma

??s un cas especial si s'identifica el camp vectorial en la forma n-1 obtinguda de contreure el camp vectorial a la forma de volum euclidi??.

El teorema fonamental del c??lcul i el teorema de Green tamb?? s??n casos especials del teorema general de Stokes.

La forma general del teorema de Stokes fent servir formes diferencials ??s m??s potent que els casos especials, encara que aquests ??ltims s??n els m??s accessibles i sovint els considerats com a m??s convenients pels cient??fics i enginyers.

[edita] Refer??ncies

  • (angl??s) Stewart, James. Calculus: Concepts and Contexts. 2nd ed. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole, 2001.