Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Rouch??-Frobenius - Viquip??dia

Teorema de Rouch??-Frobenius

De Viquip??dia

Sigui el sistema lineal d'equacions


\begin{cases}
\begin{align}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} & = \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} & = \beta^{2} \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} & = \beta^{n} \\ 
\end{align}
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad
(1)

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada


A =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ 
\end{pmatrix}
\,,\qquad
(A|b) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} & \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} & \beta^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} & \beta^{n} \\ 
\end{pmatrix}

i sistema homogeni associat


\begin{cases}
\begin{align}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} &= 0 \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} &= 0 \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} &= 0 \\ 
\end{align}
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad
(2)

Es coneix com teorema de Rouch??-Frobenius el conjunt de les seg??ents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

  • El sistema (1) ??s compatible, ??s a dir, t?? soluci??, si, i nom??s si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, aix?? ??s,


\mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b)

  • Si el sistema (1) ??s compatible, aleshores la soluci?? general del sistema s'obt?? tot sumant a una soluci?? particular la soluci?? general del sistema homogeni associat (2).

Taula de continguts

[edita] Precisions complement??ries

Com que, si \mbox{rang} \, A = m (el nombre d'inc??gnites), el sistema homogeni associat nom??s t?? la soluci?? trivial


x^{1} = x^{2} = \cdots = x^{m} = 0

resulta que el sistema (1), en cas de ser compatible, ??s determinat, ??s a dir, amb soluci?? ??nica, si, i nom??s si, \mbox{rang} \, A = m. Si \mbox{rang} \, A < m, aleshores la soluci?? de (1) no ??s ??nica i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com inc??gnites ??s infinit, el cas dels nombres racionals, \mathbb{Q}, i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, \mathbb{R}, o dels nombres complexos, \mathbb{C}, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat ??s infinit.

[edita] Justificaci??

[edita] Quant a la primera afirmaci??

La primera de les afirmacions del teorema resulta ??bvia si tenim en compte que, si en afegir la columna


b =
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

dels termes independents a la matriu A del sistema, el rang no varia, aix?? ??s perqu?? el vector columna de termes independents, b, no ??s linealment independent dels vectors columna de coeficients,


a_{1} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} \\
\alpha_{1}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{1}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{2} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{2}^{1} \\
\alpha_{2}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{2}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad\ldots\,,
a_{m} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{m}^{1} \\
\alpha_{m}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{m}^{n} \\
\end{pmatrix}

i , per tant, hi ha x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m} que fan


x^{1} a_{1} + x^{2} a_{2} + \cdots + x^{m} a_{m} = b

i el sistema (1) t?? soluci??. En canvi \mbox{rang} \, A < \mbox{rang} \, (A|b) implica la independ??ncia lineal del vector b i, per tant, la no exist??ncia dels escalars x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}, ??s a dir, la no exist??ncia de solucions.

[edita] Quant a la segona afirmaci??

La segona de les afirmacions del teorema tamb?? resulta inmediata despr??s de considerar que, si


x_{1}^{1}, x_{1}^{2}, \ldots, x_{1}^{m}

??s una soluci?? del sistema (1) i


x_{2}^{1}, x_{2}^{2}, \ldots, x_{2}^{m}

tamb?? ho ??s, aleshores


x_{1}^{1} - x_{2}^{1}, x_{1}^{2} - x_{2}^{2}, \ldots, x_{1}^{m} - x_{2}^{m}

??s una soluci?? del sistema homogeni (2).

[edita] Vegeu tamb??

Sistema lineal d'equacions