Teorema de Rouch??-Frobenius
De Viquip??dia
Sigui el sistema lineal d'equacions
|
amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada
|
|
Es coneix com teorema de Rouch??-Frobenius el conjunt de les seg??ents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:
- El sistema (1) ??s compatible, ??s a dir, t?? soluci??, si, i nom??s si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, aix?? ??s,
|
- Si el sistema (1) ??s compatible, aleshores la soluci?? general del sistema s'obt?? tot sumant a una soluci?? particular la soluci?? general del sistema homogeni associat (2).
Taula de continguts |
[edita] Precisions complement??ries
Com que, si (el nombre d'inc??gnites), el sistema homogeni associat nom??s t?? la soluci?? trivial
|
resulta que el sistema (1), en cas de ser compatible, ??s determinat, ??s a dir, amb soluci?? ??nica, si, i nom??s si, . Si
, aleshores la soluci?? de (1) no ??s ??nica i el sistema es diu indeterminat.
Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com inc??gnites ??s infinit, el cas dels nombres racionals, , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals,
, o dels nombres complexos,
, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat ??s infinit.
[edita] Justificaci??
[edita] Quant a la primera afirmaci??
La primera de les afirmacions del teorema resulta ??bvia si tenim en compte que, si en afegir la columna
|
dels termes independents a la matriu A del sistema, el rang no varia, aix?? ??s perqu?? el vector columna de termes independents, b, no ??s linealment independent dels vectors columna de coeficients,
|
i , per tant, hi ha que fan
|
i el sistema (1) t?? soluci??. En canvi implica la independ??ncia lineal del vector b i, per tant, la no exist??ncia dels escalars
, ??s a dir, la no exist??ncia de solucions.
[edita] Quant a la segona afirmaci??
La segona de les afirmacions del teorema tamb?? resulta inmediata despr??s de considerar que, si
|
??s una soluci?? del sistema (1) i
|
tamb?? ho ??s, aleshores
|
??s una soluci?? del sistema homogeni (2).