Teorema de Rolle

De Viquip??dia

En c??lcul, el teorema de Rolle estableix que

Si:

f : [a, b] ??? ??? ??s una funci?? cont??nua en un interval tancat [a,b]

f ??s derivable en l'interval obert (a,b)

f(a) = f(b)

Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que

f' (c) = 0.

Gr??fic per exemplificar el teorema

Gr??ficament, aix?? significa que si una corba regular surt i arriba per la mateixa altura, sempre existeix algun punt entre ells on la tangent ??s horitzontal.

Observeu que totes les assumpcions s??n necess??ries. Per exemple, si f(x) = |x|, es t?? que f(-1) = f(+1), per?? no hi ha cap x entre -1 i +1 amb f ' (x) = 0. Aix?? ??s perqu?? tot i que la funci?? ??s cont??nua, no ??s derivable en (-1,1).

El teorema va ser enunciat per primera vegada per Michel Rolle, publicat el 1691.

El teorema de Rolle s'utilitza, entre altres coses, per demostrar el teorema del valor mitj?? de Cauchy.

[edita] Demostraci??

Sigui f : [a, b] ??? ??? , una funci?? cont??nua en [a,b] tal que f(a) = f(b). Pel teorema de Weierstrass, la funci?? t?? un m??xim i un m??nim absoluts en l'interval [a, b]. Es diferencien diverses situacions:

Si tant el m??xim com el m??nim absoluts de f coincideixen amb f(a) = f(b), llavors f ??s constant en [a, b] i aix??, f ' (x) = 0 en tot punt de l'interval (a, b).
Si la funci?? assoleix un m??xim en un punt x de (a, b), caldr?? estudiar les derivades laterals de x de forma separada:

Per una y < x de l'interval (a,b), com que x ??s un m??xim, el quocient incremental (f(x) ??? f(y)) / (x ??? y) ??s no-negatiu. Aix?? segueix sent v??lid a mesura que es fa tendir y a x, de manera en el l??mit quan y???x^??? tamb?? ??s no-negatiu. Observeu que aquest l??mit existeix ja que f ??s diferenciable en tot l'interval (a,b).
Per una y > x de l'interval (a,b), (f(x) ??? f(y)) / (x ??? y) ??s no-positiu. Aix?? en el l??mit quan y???x⁺ ??s tamb?? no-positiu.

Finalment, com que f ??s derivable en x, ambd??s l??mits han d'??sser iguals, de manera que han de valer 0. Aix?? implica que f ' (x) = 0.

Si la funci?? assoleix un m??nim en un punt x de (a,b), s'arriba a que f ' (x) = 0 de forma an??loga que en el cas anterior.

[edita] Generalitzaci??

El teorema normalment ??s enunciat de la mateixa manera que apareix en l'encap??alament, per?? en realitat segueix sent v??lid sota les seg??ents condicions una mica menys restrictives:

Si:

f : [a, b] ??? ??? ??s una funci?? cont??nua en un interval tancat [a,b]

Per a tot x en (a,b) el l??mit $\lim_{h\to 0} (f(x+h)-f(x))/h$ existeix o ??s igual a ?????.

f(a) = f(b)

Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que

f' (c) = 0.