Teorema de Rolle
De Viquip??dia
En c??lcul, el teorema de Rolle estableix que
Si:
Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que
- f : [a, b] ??? ??? ??s una funci?? cont??nua en un interval tancat [a,b]
- f ??s derivable en l'interval obert (a,b)
- f(a) = f(b)
- f' (c) = 0.
Gr??ficament, aix?? significa que si una corba regular surt i arriba per la mateixa altura, sempre existeix algun punt entre ells on la tangent ??s horitzontal.
Observeu que totes les assumpcions s??n necess??ries. Per exemple, si f(x) = |x|, es t?? que f(-1) = f(+1), per?? no hi ha cap x entre -1 i +1 amb f ' (x) = 0. Aix?? ??s perqu?? tot i que la funci?? ??s cont??nua, no ??s derivable en (-1,1).
El teorema va ser enunciat per primera vegada per Michel Rolle, publicat el 1691.
El teorema de Rolle s'utilitza, entre altres coses, per demostrar el teorema del valor mitj?? de Cauchy.
Taula de continguts |
[edita] Demostraci??
Sigui f : [a, b] ??? ??? , una funci?? cont??nua en [a,b] tal que f(a) = f(b). Pel teorema de Weierstrass, la funci?? t?? un m??xim i un m??nim absoluts en l'interval [a, b]. Es diferencien diverses situacions:
- Si tant el m??xim com el m??nim absoluts de f coincideixen amb f(a) = f(b), llavors f ??s constant en [a, b] i aix??, f ' (x) = 0 en tot punt de l'interval (a, b).
- Si la funci?? assoleix un m??xim en un punt x de (a, b), caldr?? estudiar les derivades laterals de x de forma separada:
-
- Per una y < x de l'interval (a,b), com que x ??s un m??xim, el quocient incremental (f(x) ??? f(y)) / (x ??? y) ??s no-negatiu. Aix?? segueix sent v??lid a mesura que es fa tendir y a x, de manera en el l??mit quan y???x??? tamb?? ??s no-negatiu. Observeu que aquest l??mit existeix ja que f ??s diferenciable en tot l'interval (a,b).
- Per una y > x de l'interval (a,b), (f(x) ??? f(y)) / (x ??? y) ??s no-positiu. Aix?? en el l??mit quan y???x+ ??s tamb?? no-positiu.
- Finalment, com que f ??s derivable en x, ambd??s l??mits han d'??sser iguals, de manera que han de valer 0. Aix?? implica que f ' (x) = 0.
- Si la funci?? assoleix un m??nim en un punt x de (a,b), s'arriba a que f ' (x) = 0 de forma an??loga que en el cas anterior.
[edita] Generalitzaci??
El teorema normalment ??s enunciat de la mateixa manera que apareix en l'encap??alament, per?? en realitat segueix sent v??lid sota les seg??ents condicions una mica menys restrictives:
Si:
Llavors: existeix algun nombre c en l'interval obert (a,b) tal que
- f : [a, b] ??? ??? ??s una funci?? cont??nua en un interval tancat [a,b]
- Per a tot x en (a,b) el l??mit existeix o ??s igual a ?????.
- f(a) = f(b)
- f' (c) = 0.
[edita] Vegeu tamb??
- Teorema de Weierstrass
- Teorema del valor mitj?? de Cauchy
- Teorema del valor mitj?? de Lagrange
- Teorema de Bolzano
- Teorema del valor intermedi
[edita] Enlla??os externs
- Teoremes de Rolle i del valor mitj?? (angl??s)