Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Pit??gores - Viquip??dia

Teorema de Pit??gores

De Viquip??dia

demostraci?? geom??trica de:   (a+b)2 = a2 + 2??a??b + b2
demostraci?? geom??trica de: (a+b)2 = a2 + 2??a??b + b2

El teorema de Pit??gores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) ??s igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).

Expressat matem??ticament;

a2 + b2 = c2

Taula de continguts

[edita] Demostracions

[edita] Primera demostraci??

Triangle rectangle
Triangle rectangle

Suposem el triangle de catets a i b (formant un angle recte) i la hipotenusa c. Es tracta de demostrar que l'??rea del quadrat de costat c ??s igual a la suma de les ??rees dels quadrats de costat a i costat b.

Si afegim tres triangles iguals a l'original al voltant del quadrat de costat c formant la figura mostrada en la imatge, obtenim un quadrat. En efecte, si la figura central de costat c primerament dibuixada ??s un quadrat, els seus costats formaran angles rectes, llavors, si girem el triangle original 90 graus al voltant del centre del quadrat, vindr?? a ocupar un posici?? perpendicular a l'original, de mode tal que el costat a ser?? col??lineal al costat b i viceversa, formant-se un quadrat de costat a+b.

L'??rea d'aquest quadrat pot expressar-se de dues maneres:

  • El quadrat del costat:
A = (a+b)2 = a2 + 2??a??b + b2
  • Suma del quadrat original i els triangles afegits:
A = c2 + 4??(a??b/2) = c2 + 2??a??b

Igualant ambd??s expressions:

a2 + 2??a??b + b2 = c2 + 2??a??b

i simplificant:

a2 + b2 = c2 , com vol??em demostrar.

[edita] Segona demostraci??

Esta prova ??s la traducci??, en llenguatge matem??tic actual, de la ideada pel mateix Pit??gores que va emprar la figura seg??ent:

Al voltant del triangle ABC, es construeixen tres quadrats: el roig, d'??rea a2, el blau d'??rea b2, i el bicolor verd ataronjat, d'??rea c2.

  • Els triangles rectangles ABC i HBC s??n semblants (o similars) perqu?? comparteixen el mateix angle B. Per tant tenim la igualtat dels quocients: BH / BC = BC / BA, ??s a dir a'/a = a/c (hui en dia , es diria que el seu valor ??s el sinus de B).

Pel producte creuat: a2 = a' ?? c (??s el que es coneix com a teorema del catet), o siga que les ??rees roja i ataronjada s??n iguals.

  • De la mateixa manera, a partir dels triangles ABC i HAC i aplicant de nou el teorema del catet, es dedueix que b'/b = b/c (senet A) i despr??s b2 = b' ?? c , o siga que les ??rees blaves i verda s??n iguals.

Sumant les ??rees roja i blau, obtenim les ??rees ataronjades i verda, ??s a dir: a2 + b2 = c??a' + c??b' = (a' + b')c = c2

Aquesta prova utilitza el teorema de Tales, un cas particular dels triangles semblants, teorema que nom??s ??s v??lid en els espais euclidians (sense curvatura).

[edita] Relaci?? amb el teorema del cosinus

D'acord amb el teorema del cosinus, i segons la notaci?? del triangle de la imatge adjunta, es compleix que:

Triangle amb la notaci?? habitual
Triangle amb la notaci?? habitual


c^2  = a^2  + b^2  - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma

Pel cas concret d'un triangle rectangle, l'angle ?? val 90??. Com que el cosinus de 90?? val zero, l'??ltim terme de l'equaci?? s'anul??la i s'obt?? l'expressi?? del teorema de Pit??gores.

Aix?? doncs, es pot dir que el teorema de Pit??gores ??s un cas particular del teorema del cosinus per triangles rectangles.

[edita] Altres conceptes relacionats

Els terns pitag??rics s??n conjunts de tres nombres sencers positius que satisfan el teorema de Pit??gores: la suma dels quadrats dels dos primers ??s igual al quadrat de l'??ltim. Exemples de terns pitag??rics s??n

{3, 4, 5}
{5, 12, 13}
{8, 15, 17}

L'exist??ncia d'almenys un tern per a qualsevol exponent natural (no nom??s el quadrat) ??s el Teorema de Fermat.

Els terns pitag??rics van ser utilitzats profusament pels egipcis en les seves construccions. Els triangles formats amb terns pitag??rics eren de f??cil construcci??, i permetien dibuixar angles rectes nom??s utilitzant nombres naturals. Es per aix?? que als triangles formats per terns pitag??rics se'ls anomena triangles egipcis.

[edita] Exist??ncia anterior

El teorema de Pit??gores va ser conegut per moltes cultures anteriors o, en tot cas, sense la influ??ncia de Pit??gores.

Existeix una tauleta d'argila coneguda com a "Plimpton 322" i datada aproximadament del 1200 a.c. de l'??poca Babil??nica. La tauleta cont?? 4 columnes amb n??meros escrits amb escriptura cune??forme. Al principi, es creia que es tractava d'una simple transacci?? comercial, per?? O. Neugebauer i A. Sachs van publicar al 1945, una transcripci??, on en una de les interpretacions que feien d'aquesta tauleta, era que complien els terns pitag??rics (amb algun error de transcripci??).

Tamb?? es sap per les seves construccions que els egipcis utilitzaven el teorema de Pit??gores per fer triangles rectangles amb nombres naturals, i tamb?? per construir geom??tricament nombres irracionals com el nombre d'or o arrels de nombres naturals.


M??s endavant, per l'any 300 a.C.en la Proposici?? 47, del llibre I, dels Elements d'Euclides, apareix el teorema de Pit??gores, amb la segona demostraci??. No se sap qui va realitzar aquesta demostraci??, ja que Euclides es va dedicar a recollir tota la matem??tica de l'??poca i perfeccionar-la, sense deixar-se cap fissura, amb la finalitat de tenir tota la matem??tica existent en l'univers, tancada dins d'una sola obra.


A Wikimedia Commons hi ha contingut multim??dia relatiu a:
Teorema de Pit??gores