Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema de Bayes - Viquip??dia

Teorema de Bayes

De Viquip??dia

El teorema de Bayes, ??s un dels teoremes m??s emprats a la teoria de la probabilitat. Descobert per Thomas Bayes ??s una manera particular de relacionar dues probabilitats per tal de demostrar la relaci?? entre la probabilitat d'un esdeveniment condicionada al succ??s d'un segon esdeveniment i la probabilitat d'aquest segon esdeveniment condicionada al succ??s del primer, ??s a dir, entre P(A | B) i P(B | A).

Sigui A1,A2,...,An una partici?? de l'espai E i sigui B un esdeveniment qualsevol. De l'expressi?? de la probabilitat condicionada, si P(B) \neq 0 es defineix la probabilitat del succ??s A condicionada a B tal com:

P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{P(B)}

ens d??na la probabilitat de A sabent d'entrada que s'ha verificat el succ??s B i, per tant:

 P(A_1|B) = \frac{P(B | A_1) P(A_1)}{\sum_{i=1}^n P(B | A_i) P(A_i)}

Aquesta manera de relacionar les probabilitats condicionades P(Ai | B) i P(B | Aj) del primer i darrer termes de la igualtat s'anomena f??rmula de Bayes, essent particularment ??til.

[edita] Formes alternatives del teorema de Bayes

[edita] Teorema de Bayes per a funcions de densitat de probabilitat

Existeix una versi?? del teorema de Bayes que pot aplicar-se a variables aleat??ries cont??nues. Derivar aquesta forma del teorema ??s m??s complexe matem??ticament, per?? l'expressi?? del teorema ??s tan senzilla com la presentada anteriorment:

 f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f(y)} = \frac{f(y|x)\,f(x)}{f(y)} \!

Tamb?? podem expressar el teorema de la seg??ent manera:

 f(x|y) = \frac{f(y|x)\,f(x)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(y|x)\,f(x)\,dx}.
\!

La nomenclatura ??s la seg??ent: f(x, y) ??s la funci?? de densitat conjunta de X i Y, f(x|y) ??s la densitat de X condicional a Y=y (de vegades tamb?? anomenada com a distribuci?? a posteriori de X), f(y|x) =  i f(x) i f(y) s??n les funcions de densitat marginals d'X i Y respectivament (de vegades f(x) s'anomena la distribuci?? a priori d'X).

Aqu?? hem abusat la notaci?? lleugerament, ja que hem emprat f per tots aquests termes, tot i que cadascun ??s en realitat una funci?? diferent. Les funcions es poden distingir f??cilment pel nom dels seus arguments.

[edita] Teorema de Bayes emprant derivades de Radon-Nykodim

Existeix una versi?? general del teorema de Bayes que ??s v??lid per variables aleat??ries cont??nues i discretes, aix?? com per qualsevol dues variables per les quals disposem de la derivada de Radon-Nykodim de la seva distribuci?? de probabilitat respecte una mesura sigma-finita.

Sigui PX la mesura de probabilitat de X, ??X una mesura sigma-finita que domina a PX, i anomenem  f_X= \frac{dP_X}{d\mu_X} a la derivada de Radon-Nykodim de PX respecte ??X. Definim de forma an??loga PY, ??Y i  f_Y= \frac{dP_Y}{d\mu_Y} . Considerem la mesura de probabilitat conjunta per a (X,Y), que est?? dominada per la mesura producte \lambda=\mu_X \times \mu_Y , i anomenem  f_{(X,Y)}= \frac{dP_{(X,Y)}}{d\lambda} . Aleshores la derivada de Radon-Nykodim de la mesura de probabilitat de X condicional a la sigma-algebra originada per,  f_{(X|Y)}= \frac{dP_{(X|Y)}}{d\mu_X} , satisfa:

 f_{(X|Y)}= \frac{f_{(X,Y)}}{f_Y} .

Si tant X com Y s??n variables aleat??ries discretes, aquesta f??rmula ??s equivalent a la versi?? original del teorema de Bayes. Si tant X com Y s??n variables aleat??ries cont??nues, aquesta f??rmula ??s equivalent a la versi?? del teorema per a funcions de densitat de probabilitat presentada anteriorment. Tanmateix, aquesta versi?? ??s m??s general i pot aplicar-se, per exemple, quan X ??s cont??nua i Y ??s discreta.

Aquesta versi?? del teorema pot generalitzar-se al cas de tenir m??s de dues variables aleat??ries. De fet, la generalitzaci?? ??s directe: tan sols cal considerar que X i Y s??n vectors aleatoris en lloc de variables aleat??ries. Donat que les versions presentades anteriorment en s??n casos particulars, tamb?? es poden generalitzar de forma directe al cas de tenir m??s de dues variables aleat??ries.