Teorema d'exist??ncia i unicitat d'EDO
De Viquip??dia
El Teorema d'exist??ncia i unicitat d'EDO, ??s a dir, d'equacions diferencials ordin??ries, diu aix??:
Sigui X un espai de Banach, i sigui una aplicaci?? tal que
per algun (es diu que f ??s una funci?? Lipschitz de constant L). Aleshores per qualsevol
existeix una funci?? ??nica
diferenciable, tal que es compleix
A m??s, es t?? depend??ncia cont??nua de la soluci?? respecte la condici?? inicial i es poden obtenir estimacions sobre la regularitat de la soluci??.
Demostraci??: Exist??ncia. L'equaci?? que cal resoldre ??s equivalent a
Donat un k > 0 (que es fixar?? m??s endavant), s'introdueix l'espai
Es comproven les propietats seg??ents:
- E ??s un espai de Banach amb la norma
- Per tot
la funci??
-
- pertany a E.
Quan k > L, pel teorema del punt fix de Banach, l'aplicaci?? ?? ??s contractiva i admet un punt fix, que ??s una soluci??.
Unicitat. Siguin u i v dues solucions. Posant
s'obt??, a partir de la representaci?? integral de les solucions,
i aix?? implica que
Regularitat.
- ...
Depend??ncia cont??nua de les condicions inicials.
- ...