Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Teorema d'exist??ncia i unicitat d'EDO - Viquip??dia

Teorema d'exist??ncia i unicitat d'EDO

De Viquip??dia

Fusi??
Podeu col??laborar amb la Viquip??dia fusionant aquest article amb Equaci?? diferencial ordin??ria.


El Teorema d'exist??ncia i unicitat d'EDO, ??s a dir, d'equacions diferencials ordin??ries, diu aix??:

Sigui X un espai de Banach, i sigui f:X\to X una aplicaci?? tal que

|f(x)-f(y)| < L|x-y| \qquad \forall x,y\in X

per algun L\ge0 (es diu que f ??s una funci?? Lipschitz de constant L). Aleshores per qualsevol u_0\in Xexisteix una funci?? ??nica

u:[0,+\infty)\to X

diferenciable, tal que es compleix

\begin{cases}
{\frac{du}{dt}} = f(u) & \qquad\textrm{en}\ [0,+\infty) \\
 & \\
u(0) = u_0. & 
\end{cases}

A m??s, es t?? depend??ncia cont??nua de la soluci?? respecte la condici?? inicial i es poden obtenir estimacions sobre la regularitat de la soluci??.


Demostraci??: Exist??ncia. L'equaci?? que cal resoldre ??s equivalent a

u(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds.

Donat un k > 0 (que es fixar?? m??s endavant), s'introdueix l'espai

E=\{u\in C([0,+\infty);X)\ :\ \sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|<\infty\}

Es comproven les propietats seg??ents:

  • E ??s un espai de Banach amb la norma
|u|_E=\sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|
  • Per tot u\in E la funci??
(\Phi u)(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds
pertany a E.
  • |\Phi u-\Phi v|_E \le \frac{L}{k}|u-v|_E \quad \forall u,v\in E

Quan k > L, pel teorema del punt fix de Banach, l'aplicaci?? ?? ??s contractiva i admet un punt fix, que ??s una soluci??.

Unicitat. Siguin u i v dues solucions. Posant

\varphi(t)=|u(t)-v(t)|

s'obt??, a partir de la representaci?? integral de les solucions,

\varphi(t)\le L\int_0^t\varphi(s)ds\qquad\forall t\ge0

i aix?? implica que \varphi\equiv0.

Regularitat.

...

Depend??ncia cont??nua de les condicions inicials.

...