Tensor de Ricci
De Viquip??dia
En geometria diferencial, el tensor de curvatura de Ricci (anomenat aix?? a partir de Gregorio Ricci-Curbastro) ??s un tensor???(0,2)???bivalent, obtingut com una tra??a del tensor de curvatura complet. El tensor de Ricci es pot representar segons els vectors u i v, usualment representat per Ric(u,v) i es pot definir com a la tra??a de l'endomorfisme
on R ??s el tensor de curvatura de Riemann. En coordenades locals, es pot escriure (fent servir la notaci?? d'Einstein)
on
.
??s a dir, es pot expressar com a un laplaci?? del tensor m??tric riemani?? en el cas de les varietats de Riemann. En dimensions 2 i 3 el tensor de curvatura ??s determinat totalment per la curvatura de Ricci.
Hom pot pensar en la curvatura de Ricci en una varietat de Riemann com un operador a l'espai tangent.
Per qualsevulla vectors u i v el vector Ric(u) satisf??
- Ric(u,v) = g(Ric(u),v)
Aix?? es pot deduir del fet de que la s??mbol de Levi-Civita no presenta torsi??.
Si aquest operador ??s multiplicat simplement per una constant, llavors tenim varietat d'Einstein. La curvatura de Ricci ??s proporcional al tensor m??tric en aquest cas.
La curvatura de Ricci es pot explicar en termes de la curvatura seccional de la manera seg??ent: per a un vector unitari v, (v), v > ??s summa de les curvatures seccionals de tots els plans travessats pel vector v i un vector d'un marc ortonormal que cont?? a v (hi ha n-1 d'aquests plans). Aqu?? R(v) ??s la curvatura de Ricci com un operador lineal en el pla tangent, i ,.> ??s el producte escalar m??tric. La curvatura de Ricci cont?? la mateixa informaci?? que totes les aquestes sumes sobre tots els vectors unitaris. En dimensions 2 i 3 aquest ??s igual que especificar totes les curvatures seccionals o el tensor de curvatura, per?? en dimensions m??s altes la curvatura de Ricci cont?? menys informaci??. Per exemple, les varietats d'Einstein no han de tenir curvatura constant en les dimensions 4 i m??s.
Si es canvia la m??trica g per el factor conformal e2f la curvatura de Ricci canvia a
que ??s un tensor (0,2).
[edita] Aplicacions del tensor de curvatura de Ricci
La curvatura de Ricci es pot utilitzar per a definir les classes de Chern d'un varietat, que s??n invariants topol??gics (per tant independents de l'elecci?? de la m??trica). La curvatura de Ricci tamb?? s'utilitza en el flux de Ricci, on una m??trica ??s deformada en la direcci?? de la curvatura de Ricci. En superf??cies, el flux produ??x una m??trica de curvatura de Gauss constant i es segueix el teorema d'uniformitzaci?? per a les superf??cies. La curvatura de Ricci ocupa un paper important en relativitat general, on ??s el terme dominant en les equacions de camp d'Einstein.
[edita] Topologia global i la geometria de curvatura de Ricci positiva
El teorema de Myers establix que si la curvatura de Ricci ??s limitada per baix en una varietat completa de Riemann per 
, llavors el seu di??metre ??s 
, i la varietat ha de tenir un grup fonamental finit. Si el di??metre ??s igual a 
, llavors la varietat ??s isom??trica a una esfera de curvatura constant k.
La desigualtat de Bishop-Gromov establix que si la curvatura de Ricci d'una varietat m-dimensional completa de Riemann ??s ???0 llavors el volum d'una bola ??s m??s petit o igual al volum d'una bola del mateix r??dio en el m-espai euclidi??. M??s encara, si vp(R) denota el volum de la bola amb centre p i radi R en la varietat i el V(R) = cmRm denota el volum de la bola de radi R en el m-espai euclidi?? llavors la funci?? vp(R) / V(R) ??s no creixent. (l'??ltima desigualtat es pot generalitzar a una cota de curvatura arbitr??ria i ??s el punt dominant en la prova de el El teorema de compacitat de Gromov.)
El teorema de partici?? de Cheeger-Gromoll indica que si una varietat completa de Riemann amb el Ricc ???0 t?? una l??nia recta (??s a dir una geod??sica minimitzant infinita a ambd??s costats, aix?? ??s una geod??sica ?? tal que d(??(u),??(v)) = | u ??? v | per tots els 
)) llavors ??s isom??trica a un espai R x L, on L ??s una varietat de Riemann.
Tots els resultats de dalt demostren que la curvatura de Ricci positiva t?? cert significat geom??tric, en contrari, la curvatura negativa no ??s tan restrictiva, en particular com va ser demostrat per Joachim Lohkamp, qualsevol varietat admet una m??trica de curvatura negativa.
