Superf??cie de Riemann

De Viquip??dia

Superf??cie de Riemann per a la funci?? f(z) = sqrt(z)

En matem??tiques i particularment en an??lisi complexa, una superf??cie de Riemann (anomenada aix?? en honor a Georg Friedrich Bernhard Riemann) ??s una varietat complexa d'una dimensi??. Les superf??cies de Riemann es poden imaginar com a "versions deformades" d'un pla complex: localment poden semblar unes 'peces' (o conjunts oberts) del pla complex, per?? la topologia global pot ??sser for??a diferent. Per exemple, poden ??sser homeomorfes a una esfera, a un torus o a un parell de fulls enganxats.

La q??esti?? principal sobre les superf??cies de Riemann ??s que es poden definir les funcions holomorfes entre elles. Avui en dia les superf??cies de Riemann s??n considerades el context natural per a estudiar el comportament global d'aquestes funcions, especialment les funcions mult??voques com la funci?? arrel quadrada o el logaritme natural.

Cada superf??cie de Riemann ??s una varietat anal??tica real de dos dimensons, per?? tamb?? t?? una estructura complexa, necess??ria per a una definici?? no ambivalent de les funcions holomorfes. Una varietat real de dos dimensions pot ??sser transformada en una superf??cie de Riemann (generalment de moltes maneres no equivalents) si i nom??s si ??s orientable. Aix?? l'esfera i el torus admeten una estructura complexa, per?? no la banda de M??bius, l'ampolla de Klein o el pla projectiu.

Els fets geom??trics a prop??sit de les superf??cies de Riemann s??n els millors possibles, i forneixen la intu??ci?? i la motivaci?? per a la generalitzaci?? a altres corbes o varietats. El teorema de Riemann-Roch ??s un exemple important d'aquesta influ??ncia.

[edita] Definici?? formal

Sigui X un espai de Hausdorff. Un homeomorfisme de un subconjunt obert U???X a un subconjunt de C s'anomena carta. Dues cartes f i g de les quals els dominis s'intersequen es diuen compatibles si les aplicacions $f\circ g^{-1}$ i $g\circ f^{-1}$ s??n holomorfes sobre els seus dominis. Si A ??s una col??lecci?? de cartes compatibles e cada $x\in X$ ??s en el domini d'una f de A, llavors es diu que A ??s un atles. El parell (X, A) s'anomena tamb?? superf??cie de Riemann.

Diversos atles poden generar la mateixa estructura de superf??cie de Riemann sobre X. Per a evitar aquesta ambival??ncia, es demana que l'atlas sigui 'maximal', ??s a dir, que no sigui contingut en cap altre atles. Cada atles A ??s contingut en un ??nic atles maximal gr??cies al Lema de Zorn.

[edita] Exemples

El pla complex amb l'aplicaci?? identitat f(z) = z.
An??logament cada subconjunt obert del pla complex o d'una superf??cie de Riemann.
Sigui S = C ??? {???} i f(z) = z si z ??? S \ {???}, g(z) = 1 / z si z ??? S \ {0}, i 1/??? ??s definit 0. Llavors f i g s??n cartes compatibles i { f, g } ??s un atles per a S, aix?? doncs S ??s una supef??cie de Riemann. Aquesta superf??cie s'anomena esfera de Riemann i pot ??sser interpretada com a l'envoltori del pla al voltant de l'esfera. Al contrari del pla, es tracta d'un espai compacte.

La teoria de les superf??cies compactes de Riemann pot ser considerada com a equivalent a la teoria de les corbes algebraiques sobre el pla complex i no singular.

Uns exemples de superf??cies de Riemann no compactes s'originen mitjan??ant continuaci?? anal??tica maximal.

[edita] Propietats

Una funci?? f : M ??? N entre dues superf??cies de Riemann s'anomena holomrofa si per a cada carta g en l'atles de M i per a cada carta h en l'atles de N l'aplicaci?? $h\circ f\circ g^{-1}$ ??s holomorfa on ??s definida. La composici?? de dues funcions holomorfes ??s holomorfa. Les dues superf??cies de Riemann M i N s'anomenen conformement equivalents si existeix una aplicaci?? holomorfa bijectiva de M a N (aquest fet implica que la inversa ??s tamb?? holomorfa). Dues superf??cies de Riemann conformement equivalents s??n de fet la mateixa superf??cie.

Cada superf??cie de Riemann simplement connexa ??s conformement equivalent a una de les superf??cies a continuaci??:

C, el pla complex
C ??? {???} l'esfera de Riemann
{z ??? C : |z| < 1} el disc unitat obert.

Aquest enunciat ??s conegut com al Teorema d'uniformitzaci?? de Riemann.

Cada superf??cie de Riemann connexa pot ??sser transformada en una varietat Riemanniana real a 2 dimensions amb curvatura constant

-1 : es diu una superf??cie hiperb??lica
0 : es diu una superf??cie parab??lica
+1: es diu una superf??cie el??l??ptica.

L'estrctura Riemanniana ??s ??nica a menys de multiplicaci?? per una constant real.

[edita] Exemples de superf??cies hiperb??liques

El disc unitat obert amb la m??trica de Poincar??
Cada superf??cie de g??nere g>1.

[edita] Exemples de superf??cies parab??liques

C
El torus de 2 dimensions reals

[edita] Exemples de superf??cies el??l??ptiques

L'esfera de Riemann

[edita] Modelitzaci??

Cada superf??cie de Riemann parab??lica tancada t?? el grup fonamental isom??rfic al grup reticle de rang 2, per tant la superf??cie pot ??sser constru??da com a C/??, on ?? ??s el grup reticle. Els conjunts representatius de les classes d'equival??ncia s'anomenen dominis fonamentals.

Per a tota superf??cie de Riemann hiperb??lica el grup fonamental ??s isom??rfic a un grup fuchsi??, per tant la superf??cie pot ??sser constru??da com a H/??, on ?? ??s el grup grup fuchsi?? i H el semipl?? superior.

Els conjunts representatius de les classes d'equival??ncia s'anomenen conjunts regulars lliures i poden ??sser modelats en pol??gons fonamentals m??trics.

Quan una superf??cie de Riemann hiperb??lica ??s compacta, l'??rea total de la superf??cie ??s $4??(g ??? 1)$ , on g ??s el g??nere; l'??rea ??s obtinguda aplicant el teorema de Gauss-Bonnet a l'??rea del pol??gon fonamental.

[edita] Orientabilitat

Totes les superf??cies de Riemann, aix?? com ara les varietat complexes, s??n orientables com a varietats reals. La ra?? ??s que, per a cartes complexes f i g , amb funci?? de transici?? h = f(g^-1(z)), es pot considerar h com una aplicaci?? entre subconjunts de R²: en aquest cas, el determinant Jacobi?? a un punt z ??s la multiplicaci?? per a h'(z). De tota manera, el determinant real d'una multiplicaci?? per a un nombre complex ?? ??s igual a |??|^2, aix?? doncs ??s positiu, i l'atles complex ??s orientat.

[edita] Funcions

Cada superf??cie de Riemann no compacta admet funcions holomorfes no constants (a valors en $\mathbb{C}$ ). De fet, cada superf??cie de Riemann no compacta ??s una varietat de Stein.

Al contrari, sobre una superf??cie de Riemann compacta, totes les funcions holomorfes a valors en $\mathbb{C}$ s??n constants gr??cies al principi del m??xim. Per?? existeixen funcions meromorfes (??s a dir, funcions holomorfes a valors en l'esfera de Riemann) no constants.

[edita] A l'art i la literatura

Una de les obres de M.C. Escher, Print Gallery, consisteix en una mena de graella o quadr??cula que creix c??clicament i que ha estat descrita com a una superf??cie de Riemann.
A la novel??la d'Aldous Huxley Un m??n feli??, el tenis a la superf??cie de Riemann ??s un joc popular.

[edita] Vegeu tamb??

Geometria algebr??ica
Geometria confurme
Varietat de K??hler
Espai da Teichm??ller
Esfera da Riemann
Teoremes sobre les superf??cies de Riemann
- Teorema de Riemann-Roch
- F??rmula de Riemann-Hurwitz
- Teorema de l'aplicaci?? da Riemann
- Teorema d'uniformitzaci?? de Riemann
- Teorema dels automorfismes de Hurwitz

[edita] Refer??ncies

Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4
J??rgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X
Riemann Surface en PlanetMathM??bius strip,

Categories: An??lisi complexa | Geometria