Sistema de coordenades cartesianes

De Viquip??dia

Fig. 1 ??? Sistema de coordenades cartesianes. S'han assenyalat quatre punts: (2,3) en verd, (-3,1) en vermell, (-1.5,-2.5) en blau i (0,0), l'origen, en groc.

Fig. 2 ??? Sistema de coordenades cartesianes amb la circumfer??ncia de radi 2 centrada a l'origen dibuixada en vermell. L'equaci?? del cercle ??s x2 + y2 = 4.

Fig. 2 ??? Sistema de coordenades cartesianes amb la circumfer??ncia de radi 2 centrada a l'origen dibuixada en vermell. L'equaci?? del cercle ??s x² + y² = 4.

En matem??tiques, el Sistema de coordenades cartesianes (anomenat tamb?? sistema de coordenades rectangulars) es fa servir per a determinar un??vocament cada punt del pla a traves de dos nombres reals anomenats habitualment la coordenada x o abscissa i la coordenada y o ordenada del punt. Per a definir les coordenades, s'especifiquen dues rectes perpendiculars (leix x, i leix y) a cada una de les quals s'assigna una direcci?? considerada positiva o creixent, aix?? com la unitat de longitud, que es marca als dos eixos (vegeu Figura 1). Els sistemes de coordenades cartesianes tamb?? s'estenen a l'espai de tres dimensions i en espais de dimensions superiors.

Fent servir els sistemes de coordenades cartesianes, les formes geom??triques (com ara les corbes) es poden descriure amb equacions algebraiques, les equacions que s??n satisfetes pels punts que pertanyen a la forma geom??trica. Per exemple, el cercle de radi 2 es pot descriure amb l'equaci?? x² + y² = 4 (vegeu Figura 2).

Taula de continguts

1 Hist??ria
2 Sistema cartesi??
3 Representaci?? d'un vector en la base est??ndard
4 Canvi del sistema de coordenades
- 4.1 Translaci?? de l'origen
- 4.2 Rotaci?? entorn a l'origen
5 Orientaci?? i quiralitat
- 5.1 En dues dimensions
- 5.2 En tres dimensions
6 Aplicacions
7 Notes finals
8 Vegeu tamb??
9 Refer??ncies
10 Bibliografia
11 Enlla??os externs

[edita] Hist??ria

Cartesianes vol dir referents al matem??tic i fil??sof franc??s Ren?? Descartes (En llat?? Renatus Cartesius), qui, entra altres coses, va treballar per a fusionar l'??lgebra i la geometria euclidiana. Aquest treball va influir en el desenvolupament de la geometria anal??tica, el c??lcul infinitesimal i la cartografia.

La idea d'aquest sistema va ser desenvolupada independentment el 1637 es dos escrits per Descartes i per Pierre de Fermat, tot i que Fermat no va publicar el descobriment.^[1]

A la seva obra La Geometria, introdueix el concepte de coordenades cartesianes.^[2]

[edita] Sistema cartesi??

[edita] Sistema de coordenades de dues dimensions

Fig. 3 ??? Els quatre quadrants d'un sistema de coordenades cartesi??. Les fletxes als eixos indiquen que s'estenen indefinidament en les seves respectives direccions (es a dir infinitament).

Un sistema de coordenades cartesianes de dues dimensions es defineix habitualment amb dos eixos perpendiculars entre si formant un pla (el pla xy). L'eix horitzontal es diu normalment eix x, i l'eix vertical s'anomena normalment eix y. En un sistema de coordenades de tres dimensions, s'afegeix un altre eix , anomenat normalment eix z, que subministra una tercera dimensi?? de mesura de l'espai. Els eixos normalment es defineixen de forma que siguin m??tuament ortogonals (formen un agle recte entre ells). (Els primers sistemes permetien eixos "oblics", es a dir, eixos que no es tallaven formant angles rectes, aquesta mena de sistemes encara es fan servir ocasionalment avui en dia, tot i que principalment com a exercicis te??rics.) Tots els punts d'un sistema de coordenades cartesianes considerats com a conjunt formen el pla cartesi??. De les equacions que fan servir el sistema de coordenades cartesianes se'n diu equacions cartesianes.

Del punt d'intersecci??, on es troben els eixos, se'n diu l'origen normalment s'etiqueta amb una O. Els eixos x i y defineixen un pla, del que es diu que ??s el pla xy. Donat un eix, es tria una unitat de longitud, i es marca la unitat repetidament damunt de l'eix, formant una graella. Per a especificar un punt particular en un sistema de coordenades de dues dimensions, s'indica primer la unitat x (abscissa), seguida de la unitat y (ordenada) de forma (x,y), una parella ordenada.

La tria de les lletres ve de la convenci?? de fer servir les ??ltimes lletres de l'abecedari per a indicar variables inc??gnites. Per contra la primera part de l'abecedari es fa servir per designar constants conegudes.

A la Figura 3 s'indica un exemple d'un punt P, fent servir les coordenades (3,5).

La intersecci?? dels dos eixos crea quatre regions, anomenades quadrants, que s'indiquen amb els nombres romans I (+,+), II (???,+), III (???,???), and IV (+,???). Per convenci??, s'etiqueten en sentit contrari de les agulles del rellotge comen??ant a partir del de dalt a la dreta ("nord-est"). En el primer quadrant, totes dues coordenades s??n positives, en el segon quadrant les coordenades x s??n negatives i les coordenades y s??n positives, al tercer quadrant totes dues coordenades s??n negatives i al quart quadrant, les coordenades, x s??n positives i les coordenades y s??n negatives (vegeu la taula de m??s avall.)

Coordenada	Primer quadrant (I)	Segon quadrant (II)	Tercer quadrant (III)	Quart quadrant (IV)
x	+	-	-	+
y	+	+	-	-

[edita] Sistema de coordenades tridimensional

Fig. 4 ??? Sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix y allunyant-se de l'observador.

Fig. 5 - Sistema de coordenades cartesianes de tres dimensions amb l'eix x apuntant cap a l'observador..

Les superf??cies cordenades de les coordenades cartesianes (x, y, z). L'eix z ??s vertical i l'eix x s'ha ressaltat de verd. Aix??, el pla vermell mostra els punts amb x=1, al pla blau mostra els punts amb z=1, i el pla groc mostra els punts amb y=-1. Les tres superf??cies s'intersequen al punt P (que es presenta com una petita esfera negra) al que li corresponen les coordenades cartesianes (1.0, -1.0, 1.0).

El sistema de coordenades cartesianes tridimensional permet determinar les tres dimensions de l'espai ??? llargada, amplada, i al??ada. Les Figures 4 i 5 mostren dues formes habituals de representar-lo.

Els tres eixos que defineixen el sistema s??n perpendiculars entre si. Les coordenades dels punts s'expressen de la forma (x,y,z). Com a exemple, la figura 4 mostra dos punts dibuixats en un sistema de coordenades cartesianes tridimensional: P(3,0,5) i Q(???5,???5,7). Els eixos es representen en la orientaci?? de les "coordenades universals" amb l'eix z senyalant cap amunt.

Les coordenades x-, y-, i z d'un punt, tamb?? es poden interpretar com les distancies als plans yz, xz, i xy respectivament. La Figura 5 mostra les dist??ncies del punt P als plans.

Els plans xy, yz, i xz divideixen l'espai tridimensional en vuit regions conegudes com octants, de forma similar als quadrants de l'espai de dues dimensions. Mentre que hi ha convencions establertes per etiquetar els quatre quadrants del pla x-y, en l'espai tridimensional nom??s s'etiqueta el primer octant. Aquest primer octant cont?? tots els punts que tenen les coordenades x, y, i z positives totes tres.

[edita] Coordenades cartesianes en dimensi?? n

Les seccions precedents construeixen les coordenades cartesianes a base d'establir una relaci?? entre parelles o triplets de nombre reals i punts del pla o de l'espai. Aquesta relaci?? es generalitza a qualsevol espai vectorial o af?? de dimensi?? finita sobre un cos K.

Si $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n})$ es una base d'un espai vectorial sobre un cos K llavors, per a tot vector $\vec{v}$ , existeix una ??nica n-upla $(x_1, x_2, \dots,x_n) \,$ element de Kⁿ tal que :

$\vec{v} = x_1\vec{e_1}+ x_2 \vec{e_2}+\dots +x_n\vec{e_n} \,$ .

D'aquesta n-upla se'n diu coordenades cartesianes del vector $\vec{v}$ en la base $(\vec{e_1}, \vec{e_2}, \dots,\vec{e_n}$ ). La correspond??ncia entre els vectors i les n-uples permet de construir un isomorfisme d'espais vectorials entre V i Kⁿ.

Per treballar amb sistemes de coordenades de punts, n'hi ha prou d'afegir a la base precedent un punt O anomenat origen. Les coordenades d'un punt qualsevol M seran les del vector $\overrightarrow{OM}$ .

Finalment, per poder treballar amb dist??ncies, caldr?? construir una base ortonormal (aquella en la qual tots els vectors s??n de norma 1 i cada un ??s ortogonal a tots els altres) . La dist??ncia OM llavors s'expressa de la forma seg??ent:

$OM = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2} \,$

En el cas de sistemes de quatre dimensions les coordenades s'acostumen a anomenar (x,y,z,t).

[edita] Representaci?? d'un vector en la base est??ndard

Un punt en un sistema de coordenades cartesianes tamb?? es pot representar com un vector, el qual es pot pensar com una fletxa que va des de l'origen del sistema de coordenades fins al punt. Si les coordenades representen posicions a l'espai (despla??aments) ??s habitual de representar el vector des de l'origen al punt d'inter??s com $\mathbf{r}$ . En tres dimensions, el vector des de l'origen fins al punt de coordenades cartesianes $(x, y, z)$ devegades s'escriu com^[3]:

$\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$

on $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , i $\mathbf{k}$ s??n vectors unitaris que apunten en les mateixes direccions que els eixos $x$ , $y$ , i $z$ , respectivament. Aquesta ??s la representaci?? amb un quaterni?? del vector, i va ser introdu??da per Sir William Rowan Hamilton. Dels vectors unitaris $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ , i $\mathbf{k}$ se'n diu versors del sistema de coordenades, i s??n els vectors de la base est??ndard en tres dimensions.

[edita] Canvi del sistema de coordenades

Fer un canvi de sistema de coordenades ??s canviar els valors de les coordenades que representen un punt en un determinat sistema de coordenades per tal que expressin el mateix punt en un altre sistema de coordenades. O en general canviar les equacions que representen una determinada figura geom??trica en un determinat sistema de coordenades per tal que representin la mateixa figura geom??trica en un altre sistema de coordenades. Vegeu l'article Llista de transformacions can??niques de coordenades per canvis entre diferents tipus de sistemes de coordenades. En el cas de dos sistemes de coordenades cartesianes, tant en el cas pla com tridimensional, es poden considerar dos canvis: Translaci?? (de l'origen) i Rotaci?? (entorn un eix). En el cas de sistemes tridimensionals tamb?? es pot plantejar la simetria especular respecte d'un pla.

[edita] Translaci?? de l'origen

Translaci?? de l'origen en coordenades cartesianes

A partir d'un sistema de coordenades inicial S1 amb origen a O i eixos x e y

$S1 = \{O;\; x,y \}$

SI les coordenades d'un punt A donat, Al sistema S1 s??n:

$A = (x_A ,\; y_A )$

Es tracta de trobar les coordenades de A en una altre sistema de refer??ncia S2

$S2 = \{O^\prime ;\; x^\prime,y^\prime \}$

Tal que els eixos dels dos sistemes (x, x??; y y, y??) s??n paral???lels dos a dos i les coordenades de O??, respecte de S1 s??n:

$O^\prime = (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime})$

Les coordenades de A en S2 s'anomenar??n:

$A^\prime = (x^\prime_A ,\; y^\prime_A )$

Es planteja la seg??ent equaci?? vectorial (veure figura de la dreta):

$\overline{OA} = \overline{O O^\prime} + \overline{O^\prime A}$

Operant

$\overline{O^\prime A} = \overline{OA} - \overline{O O^\prime}$

$(x^\prime_A ,\; y^\prime_A ) = (x_A ,\; y_A ) - (x_{O^\prime} , \; y_{O^\prime})$

Per tant:

$x^\prime_A = x_A - x_{O^\prime}$

$y^\prime_A = y_A - y_{O^\prime}$

I ampliant-ho a tres dimensions:

$z^\prime_A = z_A - z_{O^\prime}$

[edita] Rotaci?? entorn a l'origen

Rotaci?? entorn a l'origen en coordenades cartesianes

A partir del sistema de coordenades pla S1 amb origen O i eixos x i y:

$S1 = \{ O; \; x,y \}$

Es pren una base ortonormal:

$B1 = \{ \vec{i} , \vec{j} \}$

Tal que en aquest sistema sigui $i = \left( {1,0} \right),j = \left( {0,1} \right)$ , llavors, un punt qualsevol A del pla, es pot escriure emprant la base ortonormal:

${A} = x_A \, \vec{i} + y_A \, \vec{j}$

Per a un segon sistema S2 tal que est?? girat un angle $\alpha \,$ , respecte del primer:

$S2 = \{ O; \; x^\prime , y^\prime \}$

Com que la base ortonormal del primer sistema expresada en aquest segon es:

$\begin{array}{l} i = \left( {\cos \alpha , - \sin \alpha } \right) \\ j = \left( {\sin \alpha ,\cos \alpha } \right) \\ \end{array}$

El punt A ??s:

$A = x_A \left( {\cos \alpha , - \sin \alpha } \right) + y_A \left( {\sin \alpha ,\cos \alpha } \right)$

I operant resulta:

$A = \left( {x_A \cos \alpha + y_A \sin \alpha ,y_A \cos \alpha - x_A \sin \alpha } \right)$

Per tant:

$x^\prime_A = \; x_A \, \cos {\alpha} + y_A \, \sin {\alpha}$

$y^\prime_A = - x_A \, \sin {\alpha} + y_A \, \cos {\alpha}$

Que s??n les coordenades de A en B2, en funci?? de las coordenades de A en B1 y de ${\alpha} \,$ .

[edita] Orientaci?? i quiralitat

Article principal: Orientaci?? (matem??tiques)

vegeu tamb??: regla de la ma dreta

[edita] En dues dimensions

La regla de la ma dreta.

En fixar o triar l'eix x queda determinat l'eix y tret de la seva direcci??. Es a dir, l'eix y cal que sigui perpendicular a l'eix x al punt origen 0 sobre l'eix x. Per?? encara manca de triar quina de les dues semirectes de la perpendicular es designa com a positiva i quina com a negativa. Cada una d'aquestes dues possibles tries determina una orientaci?? diferent del pla cartesi??.

La forma usual d'orientar el eixos, amb la part positiva de l'eix x apuntant cap a la dreta i la part positiva de l'eix y apuntant cap amunt (i sent l'eix x el "primer" i l'eix y el "segon" ) es considera la orientaci?? positiva o est??ndard, anomenada tamb?? orientaci?? a dretes.

Independentment del tipus d'orientaci?? triada pels eixos, les rotacions del sistema de coordenades preserven la orientaci??. Intercanviant el paper dels eixos x i y inverteix la orientaci??.

[edita] En tres dimensions

Fig. 7 ??? L'orientaci?? a esquerres es presenta a l'esquerra i l'orientaci?? a dretes a la dreta.

Fig. 8 ??? El sistema de coordenades cartesianes a dretes indicant els plans de coordenades.

Un cop s'han especificat els eixos x i y, queda determinada la recta sobre la que ha de quedar l'eix z, per?? hi ha dies possibles direccions. Dels dos possibles sistemes de coordenades que en resulten se'n diu 'a dretes' i 'a esquerres'. De la orientaci?? est??ndard, on el pla xy ??s horitzontal i l'eix z assenyala cap a munt (i els eixos x e y formen un sistema de coordenades bidimensional amb orientaci?? positiva en el pla xy si s'observa des de damunt del pla xy) se'n diu a dretes o positiu.

El nom prov?? de la regla de la ma dreta. Si el dit ??ndex de la ma dreta senyala cap endavant, el dit mig es doblega cap a dins formant un angle recte amb l'??ndex i el dit polze forma un angle recte respecte a tots dos, els dits indiquen les direccions relatives entre els eixos x, y, i z en un sistema a dretes. El polze indica l'eix x, l'??ndex indica l'eix y' i el dit mig indica l'eix z. Per altra banda, si es fa el mateix amb la ma esquerra, en resulta un sistema a esquerres.

La Figura 7 ??s un intent de presentar un sistema de coordenades a dretes i un a esquerres. Com que els objectes tridimensionals es representen en una pantalla de dues dimensions, en resulta una distorsi?? i una ambig??itat. L'eix que apunta cap a baix (i cap a la dreta) tamb?? significa que apunta cap a l'observador, mentre que l'eix "del mig" significa que apunta allunyant-se de l'observador. El cercle vermell ??s paral??lel al pla horitzonta xy i indica rotaci?? des de l'eix x cap a l'eix y (en tots dos cassos). Per tant la fletxa vermella passa per davant de l'eix z.

La Figura 8 ??s un altre intent de presentar un sistema de coordenades a dretes. Altre cop, hi ha una ambig??itat causada pel fet de projectar el sistema de coordenades tridimensional en el pla. Mols observadors veuen la Figura 8 com si "bascul??s cap a dins i cap a fora" entre un cub convex i una "cantonada" c??ncava. Aix?? correspon a les dues orientacions possibles del sistema de coordenades. Si es veu la figura com a convexa, es t?? un sistema de coordenades a esquerres. Per tant la forma "correcta" de veure la Figura 8 ??s imaginant l'eix x apuntant cap a l'observador i per tant veient una cantonada c??ncava.

[edita] Aplicacions

Els sistemes de coordenades cartesianes sovint es fan servir per a representar les dues o tres dimensions de l'espai, per?? tamb?? es poden fer servir per a representar moltes altres quantitats (com ara massa, temps, for??a, etc.). En aquests cassos els eixos de coordenades s'etiqueten normalment amb altres lletres (com ara m, t, F, etc.) en lloc de of x, y, i z. Cada eix tamb?? pot tenir diferents unitats de mesura associades (com ara kilograms, segons, lliures, etc.). Tamb?? ??s possible de definir sistemes de coordenades amb m??s de tres dimensions per a representar relacions entre m??s de tres quantitats. Tot i que els espais de quatre i m??s dimensions s??n dif??cils de visualitzar, l'??lgebra dels sistemes de coordenades es pot estendre de forma relativament f??cil a quatre o m??s variables, de forma que es poden fer certs c??lculs que impliquen moltes variables. (Aquesta mena d'extensions algebraiques ??s el que es fa servir per a definir la geometria d'espais multi dimensionals, lo qual pot esdevenir m??s aviat complicat.) Rec??procament, sovint ??s ??til de fer servir la geometria de les coordenades cartesianes en dues o tres dimensions per a visualitzar relacions algebraiques entre dues o tres (potser dues o tres de entre moltes) variables no espacials.

[edita] Notes finals

En inform??tica gr??fica els sistema de coordenades cartesianes ??s el fonament de a manipulaci?? algebraica de les formes geom??triques. Des de els temps de Descartes s'han desenvolupat molts altres sistemes de coordenades. Un conjunt de sistemes com?? fa servir les coordenades polars; ??s astr??noms i els f??sics sovint fan servir les coordenades esf??riques un tipus tridimensional de coordenades polars.

[edita] Vegeu tamb??

Llista de transformacions can??niques de coordenades
Gr??fica d'una funci??
Orientaci?? (matem??tiques)
Regla de la ma dreta
Coordenades curvil??nies
Punt (geometria)
Coordenades (matem??tiques)
Sistemes de coordenades
Coordenades polars
Coordenades cartesianes

[edita] Refer??ncies

Descartes, Ren??. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.

??? "analytic geometry". Encyclop??dia Britannica (Encyclop??dia Britannica Online). (2008). Retrieved on 02-08-2008.
??? Descartes, R. La G??om??trie. (franc??s)
??? David J. Griffith (1999). Introduction to Electromagnetics, Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

[edita] Bibliografia

Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I, New York: McGraw-Hill, p. 656. ISBN 0-07-043316-X, Plantilla:LCCN.

Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry, New York: D. van Nostrand, p. 177. Plantilla:LCCN.

Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, New York: McGraw-Hill, pp. 55???79. Plantilla:LCCN, ASIN B0000CKZX7.

Sauer R, Szab?? I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs, New York: Springer Verlag, p. 94. Plantilla:LCCN.

Moon P, Spencer DE (1988). ???Rectangular Coordinates (x, y, z)???, Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print ed., New York: Springer-Verlag, pp. 9???11 (Table 1.01). ISBN 978-0387184302.

[edita] Enlla??os externs

Categoria: Geometria