Simetria

De Viquip??dia

El concepte de simetria ??s un terme molt usat a les diferents branques de les ci??ncies. En general hom denomina simetria al fet que certs objectes no canvien en aplicar una certa operaci??. Aquesta definici?? tan ??mplia es pot visualitzar amb el seg??ent exemple: suposem que ens col??loquem davant d'un mirall amb els peus i els bra??os estesos. Aviat comprovarem que la part esquerra i dreta del nostre cos son (com a m??nim a primer cop d'ull) iguals. Aquest exemple ??s el que s'anomena simetria bilateral. En aquest cas l'objecte seria el nostre cos i l'operaci?? ??s la comparaci?? entre els dos costats. Aquest senzill exemple es tecnifica molt al emprar-lo en ??rees del coneixement com les matem??tiques o la f??sica.

[edita] Simetria a la f??sica

En f??sica el concepte de simetria est?? molt estretament lligat a la invari??ncia del Hamiltoni?? o del Lagrangi??. B??sicament es tracta d'un conjunt d'operacions (com per exemple la translaci?? o la rotaci??) que no produeixen cap canvi en el sistema, aix?? ??s, el deixen invariant.

Per veure-ho posem un exemple. Suposem que tenim un sistema que ve descrit per un Lagrangi?? L i que aquest ??s invariant sota la translaci??:

$q_i \to q_i + \delta q_i$

on $q i$ denota la posici?? de la part??cula. El fet que L "??s invariant" sota la translaci?? s'expressa matem??ticament com:

$\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

??s a dir: el sistema no depen d'aquesta. Si fem servir aix?? a les equacions de Lagrange:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

obtenim que:

$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} = \frac{dp_i}{dt} = 0$

on hem fet servir la definici?? de moment can??nic:

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

Per tant: si L ??s invariant respecte la translaci?? a $q i$ , llavors el moment can??nic conjugat (el corresponent a $q i$ ) ??s constant (diem que es conserva, que no canvia en el temps).

El teorema central que tracta les simetries ??s el teorema de Noether. A grosso modo aquest ve a dir que per cada simetria tenim una quantitat conservada. En el nostre exemple: a la simetria de translaci?? li correspon la conservaci?? del moment.