Semblança

De Viquipèdia

Les formes geomètriques del mateix color són semblants

Es diu que entre dos objectes hi ha una relació de semblança si es pot establir una relació entre els punts d’un dels objectes i els punts de l’altre de forma que la distància entre qualsevol parell de punts després de la transformació sigui la mateixa d’abans multiplicada per una constant.

Taula de continguts

1 Definició
2 Composició de relacions de semblança
- 2.1 Cas de l’espai euclidià
- 2.2 Triangles semblants
3 Auto semblança

[edita] Definició

De manera més formal,

si $x$ i $y$ són elements d’un espai mètric M i

la funció $d\left( M,M \right)\to \Re$ és la distància en $M$

i per a dos subconjunts de M, $A 1, A 2$ existeix una funció bijectiva $f\left( A_{1} \right)\to A_{2}$ tal que

$d\left( f\left( x \right),f\left( y \right) \right)=c\times d\left( x,y \right)$

Per a tot x,y de , $A 1$ i per algún c de $\mathbb{R}$ ,

llavors els conjunts $A 1$ i $A 2$ són semblants.

De la funció $y=f\left( x \right)$ que aplicada a tots els elements de $A 1$ genera $A 2$ es diu que és una relació de semblança

[edita] Composició de relacions de semblança

La composició de dues relacions de semblança és també una relació de semblança dons:

Si $d\left( f\left( x \right),f\left( y \right) \right)=c_1\times d\left( x,y \right)$ i $d\left( g\left( x \right),g\left( y \right) \right)=c_2\times d\left( x,y \right)$ Llavors :

$\begin{align} & d\left[ \left( f\circ g \right)\left( x \right),f\circ g\left( y \right) \right]=d\left[ f\left( g\left( x \right) \right),f\left( g\left( y \right) \right) \right] \\ & =c_{1}\times d\left[ g\left( x \right),g\left( y \right) \right]=\left( c_{1}\times c_{2} \right)\times d\left( x,y \right) \\ \end{align}$

[edita] Cas de l’espai euclidià

En el cas de l’espai euclidià la distància entre dos punts $x=\left( \begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ \end{matrix} \right)$ i $y=\left( \begin{matrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\ \end{matrix} \right)$ és:

$d\left( x,y \right)=\sqrt{\left( x_{1}-y_{1} \right)^{2}+\left( x_{2}-y_{2} \right)^{2}+\left( x_{3}-y_{3} \right)^{2}}$

Amb aquesta distància, les translacions, les rotacions, les simetries i les homotècies són relacions de semblança. Per tant qualsevol composició de funcions d’aquest tipus també és una relació de semblança. Per veure-ho n’hi ha prou en aplicar la definició de distància a la transformació de dos punts qualsevol per cada una d’aquestes funcions.

Translació.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( \left( x_{1}+t_{1} \right),\left( x_{2}+t_{2} \right),\left( x_{3}+t_{3} \right) \right)$

Rotació entorn a l’eix 3 (sense pèrdua de generalitat perquè sempre es pot fer un canvi de sistema de coordenades per que qualsevol rotació es pugi fer entorna al l’eix 3.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( \left( x_{1}\cos \theta -x_{2}sin\theta \right),\left( x_{1}sin\theta +x_{2}\cos \theta \right),x_{3} \right)$

Simetria respecte al pla $x 3 = 0$ (també sense pèrdua de generalitat pel mateix motiu).

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( x_{1},x_{2},-x_{3} \right)$

Homotècia.

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right)=\left( t\times x_{1},t\times x_{2},t\times x_{3} \right)$

[edita] Triangles semblants

En un espai euclidià dos triangles són semblants si i només si els seus angles són iguals. De fet com que els tres angles (en l’espai euclidià) sumen sempre 180º, n’hi ha prou amb dir que dos dels seus angles siguin iguals. Un cas particular d’això és el teorema de Tales. Cal tenir en compte que si l’espai no és euclidià això no és veritat. De fet comprovar qualsevol d’aquestes afirmacions (suma dels angles del triangle o semblança de triangles amb igualtat d’angles) és una forma per verificar si l’espai físic és euclidià o no.