Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Rotacional - Viquip??dia

Rotacional

De Viquip??dia

En c??lcul vectorial, el rotacional ??s un operador vectorial que proporciona la velocitat de rotaci?? d'un camp vectorial respecte a un punt determinat. Un camp vectorial el rotacional del qual ??s zero a tot arreu s'anomena irrotacional.

Formalment el rotacional s'expressa com

\nabla \times

on \nabla ??s l'operador nabla. Evidentment aquest operador s'aplica sobre un camp vectorial, de manera que el rotacional d'un camp vectorial F s'expressa com

\nabla \times \mathbf{F}

Descomposat en coordenades cartesianes, \nabla \times \mathbf{F} ??s (suposant F format per [Fx, Fy, Fz]):

\begin{pmatrix}
{\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\  \\
{\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}}\\  \\
{\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}}
\end{pmatrix}

Malgrat estar expressat en coordenades, el resultat ??s invariant sota rotacions pr??pies dels eixos de coordenades. Nogensmenys, el resultat s'inverteix sota reflexions.

Una altra forma d'expressar el resultat ??s com el determinant de la matriu

\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{pmatrix}

on i, j, and k s??n els vectors unitaris en els eixos x, y i z, respectivament.

En la notaci?? d'Einstein, amb el s??mbol de Levi-Civita s'expressa com

(\nabla \times F)_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m


[edita] Exemples

  • En un camp vectorial que descrigui les velocitats lineals de cada punt d'un disc en rotaci??, el rotacional t?? un valor constant arreu del disc.
  • Si describ??ssim una autopista amb un camp vectorial, i cada carril tingu??s l??mits de velocitat diferents, el rotacional a la frontera entre els diferents carrils seria diferent de zero.
  • La llei de Faraday de la inducci??, una de les equacions de Maxwell, es pot expressar de forma simple mitjan??ant el rotacional: afirma que el rotacional d'un camp el??ctric ??s igual al ritme de canvi de la densitat de flux magn??tic (amb el signe canviat).