Web Analytics Made Easy - Statcounter

[HOME PAGE] [STORES] [CLASSICISTRANIERI.COM] [FOTO] [YOUTUBE CHANNEL]

Rotaci?? (matem??tiques) - Viquip??dia

Rotaci?? (matem??tiques)

De Viquip??dia

Per altres definicions de rotaci?? vegeu rotaci??.

En geometria i ??lgebra lineal, una rotaci?? ??s una transformaci?? al pla o a l'espai que descriu el moviment d'un s??lid r??gid al voltant d'un eix. En una rotaci?? pura els punts de l'eix s??n fixes, dit d'una altra manera, la posici?? dels punt de l'eix queden en el mateix lloc un cop transformats. Una rotaci?? es diferencia d'una translaci??, la qual despla??a tots els punts del s??lid per igual i no mant?? punts fixes, i d'una reflexi??, que tomben el s??lid creant-ne una imatge especular. Les tres transformacions descrites deixen inalterades les distancies entre parelles de punts; s??n isometries.

Una rotaci?? en dues dimensions al voltant d'un punt O.
Una rotaci?? en dues dimensions al voltant d'un punt O.

Taula de continguts

[edita] Dues dimensions

Una rotaci?? plana al voltant d'un punt, seguida d'una segona rotaci?? al voltant d'un altre punt resulta una transformaci?? total que ??s o b?? una rotaci?? (com la de la figura), o una translaci??.
Una rotaci?? plana al voltant d'un punt, seguida d'una segona rotaci?? al voltant d'un altre punt resulta una transformaci?? total que ??s o b?? una rotaci?? (com la de la figura), o una translaci??.
Una reflexi?? contra un eix seguida d'una reflexi?? contra un segon eix no paral???lel al primer resulta en una transformaci?? total que es una rotaci?? al voltant del punt intersecci?? entre ambd??s eixos.
Una reflexi?? contra un eix seguida d'una reflexi?? contra un segon eix no paral???lel al primer resulta en una transformaci?? total que es una rotaci?? al voltant del punt intersecci?? entre ambd??s eixos.

Els sistemes de refer??ncia juguen un paper cabdal per entendre les rotacions. La mateixa transformaci?? es pot explicar tan des del sistema de refer??ncia global com des del sistema de refer??ncia lligat al s??lid. En la primera, l'observador veu la rotaci?? del s??lid i els eixos de refer??ncia imm??bils. En la segona, l'observador veu la rotaci?? en sentit contrari dels eixos de refer??ncia i el s??lid imm??bil.

En el primer punt de vista, la rotaci?? del cos s'escriu com la transformaci?? de cada punt (x,y) un angle ?? obtenint unes noves coordenades, (x',y'):

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ +\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

o

x'=x\cos\theta-y\sin\theta\,
y'=+x\sin\theta+y\cos\theta\,

En el segon punt de vista, la rotaci?? del cos s'escriu com la transformcaci?? de cada punt (x,y) un angle ?? obtenint unes noves coordenades, (x',y'):

\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & +\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.

o

x'=x\cos\theta+y\sin\theta\,
y'=-x\sin\theta+y\cos\theta\,

En coseq????ncia la magnitud del vector (x, y) ??s igual que la magnitud del vector (x???, y???).

[edita] Pla complex

Un nombre complex es pot entendre com un vector de dues dimensions en el pla complex, centrat a l'origen. Sigui

z = a + ib \,

Un nombre complex. La seva part real ??s representada per la coordenada x i la seva part imagin??ria ??s representada per la coordenada y.

Then z es pot rotar un angle ?? pre-multiplicant-lo per ei?? (vegeu F??rmula d'Euler).

          e^{i \theta} z \; = (\cos \theta + i \sin \theta) (a + i b) \;
= (a \cos \theta + i b \cos \theta + i a \sin \theta - b \sin \theta) \;
= (a \cos \theta - b \sin \theta) + i (a \sin \theta + b \cos \theta) \;
= a' + i b' . \;

Es pot comprovar la total correspond??ncia amb la rotaci?? descrita a ?? 1.

Donat que la multiplicaci?? de nombres complexes ??s commutativa, la rotaci?? en 2 dimensions is commutativa, la qual cosa no ??s certa per a m??s de dues dimensions.

[edita] Tres dimensions

Una rotaci?? descriu el moviment d'un s??lid r??gid al voltant d'un eix.
Una rotaci?? descriu el moviment d'un s??lid r??gid al voltant d'un eix.
Article principal: Matriu de rotaci??

En espais tridimensionals ordinari, una rotaci?? de coordenades es pot definir per tres angles d'Euler, o per un angle de rotaci?? m??s la direcci?? de l'eix de rotaci??.

Les rotacions al voltant de l'origen es poden calcular f??cilment emprant transformacions matricials d'una matriu 3x3 anomenada matriu de rotaci??. Les rotacions al voltant de punts lluny de l'origen es poden descriure mitjan??ant una matriu 4??4 aplicada sobre coordenades homog??nies.

[edita] Quaternions

Un enfocament alternatiu a les rotacions en tres dimensions ??s el que utilitza quaternions.

Els quaternions permeten una representaci?? diferent de rotacions i orientacions en tres dimensions. Aquests s'apliquen en gr??fics per ordinador, teoria de control, processat de senyal i mec??nica celest. Per exemple, ??s emprat en pel comandament i la telemetria en sistemes de control de vehicles espacials. El fonament ??s que la combinaci?? de molts quaternions ??s m??s estable num??ricament que la combinaci?? de moltes matrius de transformaci??.

[edita] Generalitzacions

[edita] Matrius ortogonals

El conjunt de totes les matrius M(v,??) descrites m??s amunt junt amb l'operaci?? de multiplicaci?? de matrius ??s anomenat grup de rotacions: SO(3).

Dit de manera m??s general, la rotaci?? de coordenades en qualsevol dimensi?? es representa per matrius ortogonals. El conjunt de totes les matrius ortogonals de l' n-??ssima dimensi?? que descriu rotacions pr??pies (determinant = +1), junt amb l'operaci?? de multiplicaci?? de matrius, forma el grup especial de rotacions: SO(n). Vegeu tamb?? SO(4) (grup de rotacions quadridimensionals).

Les matrius ortogonals contenen elements reals. Les matrius an??logues de valors complexes s??n les matrius unit??ries. El conjunt de totes les matrius unit??ries en una dimensi?? n forma un grup unitari de grau n, U(n); i el subgrup de U(n) que representa rotacions pr??pies forma un grup unitari especial de grau n, SU(n). Els elements de SU(2) s??n emprats en mec??nica qu??ntica per rotar el spin.

[edita] Relativitat

En relativitat especial una rotaci?? de coordenades de Lorentz que rota l'eix temporal s'anomena un boost, i l'interval entre qualssevol dos punts es mant?? invariant, an??logament a la invari??ncia de la dist??ncia entre dos punts en rotacions 3D. Les rotacions de coordenades de Lorentz que no roten l'eix temporal s??n rotacions espacials tridimensionals. Vegeu: Transformaci?? de Lorentz, Grup de Lorentz.

[edita] Vegeu tamb??

  • Representaci?? de rotacions
  • Spin (f??sica)
  • Angles d'Euler
  • Grup de rotacions
  • F??rmula de rotacions de Rodrigues'
  • Matriu de rotacions
  • Orientaci?? (geometria)