Resoluci?? de triangles

De Viquip??dia

En geometria, la resoluci?? d'un triangle consisteix en la determinaci?? dels diferents elements del triangle (longituds dels costats, mesura dels angles, ??rea) a partir d'alguns altres. Hist??ricament, la resoluci?? dels triangles va ser motivada:

en cartografia, per a la mesura de les dist??ncies per triangulaci?? ;
en geometria euclidiana, per a la resoluci?? de nombrosos problemes de geometria;
en navegaci?? mar??tima, per la part, que utilitza c??lculs de coordenades terrestres i astron??miques (trigonometria esf??rica).

Avui en dia, la resoluci?? de triangles continua sent utilitzada en un gran nombre de problemes que fan intervenir la triangulaci?? (arquitectura, aixecaments cadastrals, visi?? estereosc??pica) i la trigonometria en general (astronomia, cartografia). En geometria euclidiana, el coneixement de tres dels elements del triangle, dels quals almenys un ha de ser un costat, ??s necessari i suficient per a la resoluci?? del triangle (en algun cas pot admetre dues solucions i en algun pot no haver-hi cap soluci??). En geometria esf??rica o hiperb??lica, el coneixement dels tres angles tamb?? ??s suficient. En la resoluci?? hi interv?? la trigonometria, en particular certes relacions cl??ssiques en el triangle com el teorema del cosinus, el teorema del sinus, el teorema de la tangent i la suma dels angles.

Taula de continguts

1 Cas de resoluci?? en geometria euclidiana
2 Cas de resoluci?? en geometria esf??rica
3 Exemples d'aplicaci??
- 3.1 Triangulaci??
- 3.2 Dist??ncia entre dos punts del globus
4 Vegeu tamb??
- 4.1 Articles connexes
- 4.2 Enlla??os externs

[edita] Cas de resoluci?? en geometria euclidiana

La resoluci?? d'un triangle en geometria euclidiana utilitza un cert nombre de relacions entre elements del triangle. Les utilitzades m??s sovint s??n

el teorema del cosinus ;
la f??rmula d'Her?? ;
el teorema del sinus ;
el teorema de la tangent ;
la suma dels angles d'un triangle val ?? rad o sigui 180 ??,

Tot i que es igualment possible utilitzar altres relacions per a obtenir una soluci??.

Tot seguit es presenten els casos en funci?? dels tres elements coneguts entre els tres angles i els tres costats. Les f??rmules anal??tiques es donen per als costats i/o els angles desconeguts, aix?? com l'??rea S. Aquestes f??rmules sovint s'han d'adaptar si es pret??n fer un c??lcul num??ric perqu??, preses tal qual, donen errors importants d'arrodoniment per als triangles ??en agulla??, ??s a dir en els que un dels costats ??s petit respecte als altres i els triangles ?? gaireb?? rectangles??, ??s a dir en els que un dels angles fa aproximadament 90??.

[edita] Els tres costats

Es considera un triangle del qual es coneixen els tres costats a, b i c. Els angles es dedueixen a partir del teorema del cosinus i l'??rea, de la f??rmula d'Her?? :

$\alpha = \arccos\left( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)$
$\beta = \arccos\left( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right)$
$\gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right)$
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , amb $p=\frac12(a+b+c)$

[edita] Un angle i els dos costats adjacents

Es considera un triangle del qual es coneix l'angle, aix?? com els dos costats adjacents a i b. L'??ltim costat s'obt?? gr??cies al teorema del cosinus, els dos angles que manquen pel teorema de la tangenti el complement a ??, i l'??rea per la f??rmula del producte vectorial :

$c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$
$\alpha = \frac\pi2 - \frac\gamma2 + \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)$
$\beta = \frac\pi2 - \frac\gamma2 - \arctan\left(\frac{a-b}{a+b}\cot\frac\gamma2\right)$
$S = \frac12 ab\sin\gamma$

[edita] Un angle, el costat oposat i un costat adjacent

Es considera un triangle del qual es coneix un angle ??, aix?? com un costat adjacent d'aquest angle c i el costat oposat b. El segon angle ?? s'obt?? pel teorema del sinus, l'??ltim angle ?? per complement a ?? i l'??ltim costat pel teorema del sinus :

$\gamma = \arcsin \left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$\alpha = \pi-\beta-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$a = \sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta$
$S = \frac 12c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}+c\cos\beta\right)\sin\beta$

Si ?? ??s agut i b < c, existeix una segona soluci?? :

$\gamma = \pi-\arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$\alpha = -\beta + \arcsin\left(\frac{c\sin\beta}b\right)$
$a = c\cos\beta-\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}$
$S = \frac 12 c\left(\sqrt{b^2-c^2\sin^2\beta}-c\cos\beta\right)\sin\beta$

Fixeu-vos que la resoluci?? no ??s possible per a qualsevol conjunt de dades, per a que hi hagi soluci?? cal que es compleixi la seg??ent condici??:

$b > c \sin\beta\,$ .

[edita] Dos angles i el costat com??

Es considera un triangle del qual es coneix un costat c i els dos angles adjacents ?? i ??. L'??ltim angle s'obt?? per complement a ?? i els altres dos costats pel teorema del sinus:

$a = \frac {c\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$
$b = \frac {c\sin\beta}{ \sin(\alpha+\beta)}$
$\gamma = \pi-\alpha-\beta\,$
$S = \frac12 c^2 \, \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$

[edita] Dos angles i un costat no com??

Es considera un triangle del qual es coneixen dos angles ?? et ??, aix?? com un costat no com?? a aquests dos angles a. L'??ltim angle s'obt?? per complement a ?? i els altres dos costats pel teorema del sinus:

$b = \frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}$
$c = \frac{a\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha}$
$\gamma = \pi-\alpha-\beta\,$
$S = \frac12 a^2 \, \frac{\sin(\alpha+\beta)\sin\beta}{\sin\alpha}$

[edita] Cas de resoluci?? en geometria esf??rica

La resoluci?? d'un triangle en trigonometria esf??rica (geometria no euclidiana) ??s lleugerament diferent del cas euclidi??, ja que el teorema del sinus no permet obtenir un costat de manera un??voca - de manera ??nica el seu sinus. A de m??s, un triangle esf??ric del qual es coneixen els tres angles ??s soluble, contr??riament a un triangle del pla euclidi?? i la soluci?? ??s ??nica. Les f??rmules utilitzades per resoldre un triangle esf??ric s??n :

les generalitzacions del teorema del cosinus (variants basades en els angles i en els costats) ;
el teorema de l'Huilier ;
les analogies de Napier ;
la suma dels angles d'un triangle val ?? m??s l'exc??s E (=S/R??).